专题十五 不等式与不等式组-【冲刺2026】2025年中考数学真题汇编

专题十五 不等式与不等式组 一．选择题（共9小题） 1．（2025•长春）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣1＜b﹣1 B． C．﹣a＞﹣b D．2a＞a+b 3．（2025•攀枝花）不等式组的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．x＜﹣2或x＜3 4．（2025•宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 5．（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 6．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 7．（2025•山西）不等式组的解集是（　　） A．x＜2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．无解 8．（2025•宜宾）满足不等式组的解是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 9．（2025•泸州）对于任意实数a，b，定义新运算：a※b，给出下列结论： ①8※2＝8； ②若x※3＝6，则x＝6； ③a※b＝（﹣a）※（﹣b）； ④若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共12小题） 10．（2025•常州）若则x﹣y　 　 0．（填＞、＜或＝）． 11．（2025•哈尔滨）不等式组的解集是　 　 ． 12．（2025•宁夏）不等式组的解集是 　 　 ． 13．（2025•黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 14．（2025•内江）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　 ． 15．（2025•大庆）不等式组的整数解有 　 　 个． 16．（2025•青海）在平面直角坐标系中，点P（a﹣2，1+a）在第三象限，则a的取值范围是 　 　 ． 17．（2025•浙江）不等式组的解集是　 　 ． 18．（2025•新疆）不等式组的解集是　 　 ． 19．（2025•江西）不等式﹣x+1＞0的解集为　 　 ． 20．（2025•上海）不等式组的解集是　 　 ． 21．（2025•南充）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共23小题） 22．（2025•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 23．（2025•资阳）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包．购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． （1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 24．（2025•重庆）求不等式组：的所有整数解． 25．（2025•滨州）（1）计算：（﹣3）016÷（﹣4）； （2）解不等式：x﹣3（x﹣2）≥4． 26．（2025•哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元． （1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 27．（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等． （1）求A种材料和B种材料的单价； （2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？ 28．（2025•陕西）解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 29．（2025•北京）解不等式组：． 30．（2025•济南）解不等式组，并写出它的所有整数解． 31．（2025•攀枝花）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝﹣20x+2200． （1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； （2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 32．（2025•盐城）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同． （1）求A，B两款机器人的单价． （2）如果购买A，B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 33．（2025•西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 34．（2025•海南）（1）计算：|﹣1|×2； （2）解不等式组：． 35．（2025•甘肃）解不等式组：． 36．（2025•武汉）解不等式组． 37．（2025•广州）解不等式组并在数轴上表示解集． 38．（2025•兰州）解不等式组：． 39．（2025•贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线．已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t． （1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ （2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000t，至少需要安装多少条A型生产线？ 40．（2025•辽宁）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元． （1）求B种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？ 41．（2025•深圳）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：　 　 ， 由不等式②得：　 　 ， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为 　 　 ． 42．（2025•天津）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　 ． 43．（2025•河北）（1）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 44．（1）计算：（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2|； （2）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 参考答案 一．选择题 1．【答案】B 【解析】解：A．∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为x＞2，故此选项不符合题意；B．∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意；C．判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为x＜﹣1，故此选项不符合题意；D．判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2，故此选项不符合题意；故选：B． 2．【答案】D 【解析】解：A、a＞b，则a﹣1＞b﹣1，选项错误；B、a＞b，则，选项错误； C、a＞b，则﹣a＜﹣b，选项错误；D、a＞b，则a+a＞a+b，即2a＞a+b，选项正确， 故选：D． 3．【答案】A 【解析】解：，解不等式①，得x＜﹣2，解不等式②，得x＜3， 所以不等式组的解集是x＜﹣2，故选：A． 4．【答案】C 【解析】解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80，解得：x≥12，∴x的最小值为12， ∴他至少要答对的题数是12道． 5．【答案】A 【解析】解：∵x﹣3＞2，∴移项得：x＞2+3，合并同类项得：x＞5 6．【答案】A 【解析】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c． 7．【答案】C 【解析】解：，由①得x＞2，由②得：x≤3， 则不等式组的解集为2＜x≤3． 8．【答案】C 【解析】解：不等式组的解为0＜x≤2，故满足不等式组的解是1． 9．【答案】B 【解析】解：①∵8＞2，∴8※2＝8，正确；②若x≥3，则x＝6； 若x＜3，则﹣x＝6，此时x＝﹣6；错误；③若a＞b，则﹣a＜﹣b， ∴a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝a，则a※b＝（﹣a）※（﹣b）； 若a＜b，则﹣a＞﹣b，∴a※b＝﹣a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a； 若a＝b，则a※b＝a，（﹣a）※（﹣b）＝﹣a，此时a※b≠（﹣a）※（﹣b）， 所以此结论错误； ④若2x﹣4≥2，即x≥3时，由（2x﹣4）※2＜5x得2x﹣4＜5x，解得x；此时x≥3； 若2x﹣4＜2，即x＜3时，由（2x﹣4）※2＜5x得﹣2x+4＜5x，解得x；此时x＜3； 综上，若（2x﹣4）※2＜5x，则x的取值范围为x．此结论正确。 二．填空题 10．【答案】＞． 【解析】解：∵，∴不等式两边都乘以3得x＞y，∴x﹣y＞0，故答案为：＞． 11．【答案】2＜x＜7． 【解析】解：由2x+1＞5得，x＞2，由x﹣4＜3得，x＜7， 所以不等式组的解集为2＜x＜7． 12．【答案】x＜2． 【解析】解：，由①得：x＜2，由②得：x≤5，∴x＜2。 13．【答案】﹣2≤a＜﹣1． 【解析】解：由2x﹣3≤0得，x．由x﹣a＞0得，x＞a． 因为此不等式组恰有3个整数解，则这3个整数解为1，0，﹣1， 所以﹣2≤a＜﹣1． 14．【答案】﹣17≤P＜﹣7． 【解析】解：由题意，∵G（x，y）＝x+3y， ∴关于a的不等式组，即为， ∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：． ∵不等式组有3个整数解，∴整数解为﹣1，0，1， ∴．∴﹣17≤P＜﹣7． 15．【答案】2． 【解析】解：，由①得：x﹣2＜14﹣3x，x＜4， 由②得：3x﹣5＞2x﹣4，x＞1，∴1＜x＜4，∴整数解为2，3，共2个， 故答案为：2． 16．【答案】a＜﹣1． 【解析】解：∵点P（a﹣2，1+a）在第三象限内， ∴．∴a＜﹣1． 17．【答案】﹣2≤x＜4． 【解析】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4，所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4． 18．【答案】x≥1． 【解析】解：由x+2＞0，得x＞﹣2；又∵x≥1，∴不等式组的解集为：x≥1． 19．【答案】x＜1． 【解析】解：﹣x+1＞0，﹣x＞﹣1，x＜1。 20．【答案】x＞2． 【解析】解：由1＞0得：x＞2，由2x+3≥x得：x≥﹣3，则不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2． 21．【答案】m≤3． 【解析】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2，由﹣x＜﹣m+1得：x＞m﹣1， ∵不等式组的解集为x＞2，∴m﹣1≤2，解得m≤3，故答案为：m≤3． 三．解答题 22．【答案】﹣3＜x≤1．负整数解有：﹣2、﹣1． 【解析】解：，由①得，x≤1，由②得，x＞﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1．负整数解有：﹣2、﹣1． 23．【答案】（1）购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元； （2）至少购买A款材料包35份． 【解析】解：（1）设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元； （2）设购买A款材料包m份，则购买B款材料包（50﹣m）份， 根据题意得：16m+18（50﹣m）≤830，解得：m≥35，∴m的最小值为35． 答：至少购买A款材料包35份． 24．【答案】见试题解答内容 【解析】解：， 解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 所以不等式组的所有整数解为﹣1，0，1． 25．【答案】（1）﹣5； （2）x≤1． 【解析】解：（1）原式＝1﹣2+（﹣4）＝﹣5； （2）x﹣3（x﹣2）≥4，x﹣3x+6≥4，﹣2x≥﹣2，x≤1． 26．【答案】（1）1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）该工厂最少可以购买20盆甲型节能灯． 【解析】解：（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得：，解得：． 答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯， 根据题意得：6m+8（50﹣m）≤360，解得：m≥20，∴m的最小值为20． 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 27．【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）最多能购买A种材料20件． 【解析】解：（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元， 由题意得：4x＝6（x﹣3），解得：x＝9，∴x﹣3＝6， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件， 由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，解得：m≤20， 答：最多能购买A种材料20件． 28．【答案】x≤2，． 【解析】解：3（2x﹣1）≤4x+1，去括号，得6x﹣3≤4x+1， 移项，合并同类项，得2x≤4，系数刷化为1，x≤2， 原不等式的解集在数轴上表示如图： ． 29．【答案】﹣3＜x＜1． 【解析】解：， 解不等式①，得：x＞﹣3， 解不等式②，得：x＜1， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1． 30．【答案】﹣2＜x＜4，整数解为：﹣1，0，1，2，3． 【解析】解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x＜4，综上，﹣2＜x＜4， ∴所有整数解解为﹣1，0，1，2，3． 31．【答案】（1）12000元； （2）86≤x≤95． 【解析】解：（1）∵y＝﹣20x+2200， ∴当x＝80时，y＝﹣20×80+2200＝600， ∴600×（80﹣60）＝12000（元）， 答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元； （2）由题意得：，解得：86≤x≤95， 答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95． 32．【答案】（1）A款机器人的单价为5万元，则B款机器人的单价为4万元； （2）购买成本最少的方案是购买A款机器人4台，B款机器人8台． 【解析】解：（1）设A款机器人的单价为x万元，则B款机器人的单价为（x﹣1）万元， 根据题意得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣1＝4。 答：A款机器人的单价为5万元，则B款机器人的单价为4万元； （2）设购买A款机器人m台，则购买B款机器人（12﹣m）台， 根据题意得：m（12﹣m），解得：m≥4，设购买成本为w元， 根据题意得：w＝5m+4（12﹣m）＝m+48，∵1＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m＝4时，w有最小值，此时，12﹣m＝8， 答：购买成本最少的方案是购买A款机器人4台，B款机器人8台． 33．【答案】﹣2＜x＜4． 【解析】解：，由①得：x＞﹣2， 由②得：3x﹣6＜x+2，2x＜8，x＜4，∴﹣2＜x＜4， 34．【答案】（1）1； （2）2＜x＜4． 【解析】解：（1）原式＝1×2﹣2+1 ＝2﹣2+1 ＝1； （2）解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜4， 故原不等式组的解集为2＜x＜4． 35．【答案】﹣4≤x＜5． 【解析】解：，由①得，x≥﹣4，由②得，x＜5，∴不等式组的解集为：﹣4≤x＜5． 36．【答案】﹣1＜x≤2． 【解析】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣1， 故原不等式组的解集为﹣1＜x≤2． 37．【答案】0.5≤x＜4；数轴见解析． 【解析】解：解第一个不等式得：x≥0.5，解第二个不等式得：x＜4， 故原不等式组的解集为0.5≤x＜4，在数轴上表示其解集如图所示： ． 38．【答案】3＜x＜5． 【解析】解：解第一个不等式得：x＜5，解第二个不等式得：x＞3， 故原不等式组的解集为3＜x＜5． 39．【答案】（1）一条A型生产线每月生产抹茶120吨，一条B型生产线每月生产抹茶80吨； （2）至少需要安装3条A型生产线． 【解析】解：（1）设一条A型生产线每月生产抹茶x吨，一条B型生产线每月生产抹茶y吨，根据题意得：，解得：． 答：一条A型生产线每月生产抹茶120吨，一条B型生产线每月生产抹茶80吨； （2）设需要安装m条A型生产线，则安装（5﹣m）条B型生产线， 根据题意得：4×120m+4×80（5﹣m）≥2000， 解得：m，∵m为正整数，∴m的最小值为3． 答：至少需要安装3条A型生产线． 40．【答案】（1）B种文创产品每件的进价为4元； （2）小张最多可以购进50件A种文创产品． 【解析】解：（1）设B种文创产品每件的进价为x元，根据题意可得： 2（x+3）+3x＝26，解得：x＝4， 答：B种文创产品每件的进价为4元； （2）设小张购进m件A种文创产品，由（1）可知，A种文创产品每件的进价为4+3＝7元，则：7m+4（100﹣m）≤550，解得：m≤50； 答：小张最多可以购进50件A种文创产品． 41．【答案】x≥﹣1；x＜4；﹣1≤x＜4． 【解析】解：，解不等式①，得：x≥﹣1，解不等式②，得：x＜4， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜4， 故答案为：x≥﹣1；x＜4；﹣1≤x＜4． 42．【答案】（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅲ）数轴见解答；（Ⅳ）﹣2≤x≤1． 【解析】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来， ； （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1． 43．【答案】（1）x≤3，数轴见解析过程； （2）x＞﹣2，数轴见解析过程； （3）﹣2＜x≤3． 【解析】解：（1）2x≤6，x≤3， 数轴表示如下： ． （2）3﹣x＜5，﹣x＜2，x＞﹣2，数轴表示如上图． （3）由（1）（2）知，不等式组的解集为：﹣2＜x≤3． 44．【答案】（1）2； （2）x≤1，数轴表示见解答． 【解析】解：（1）（1）0﹣（﹣1）2+|﹣2| ＝1﹣1+2 ＝2； （2）， 3（3x﹣1）≤2（2x+1）， 9x﹣3≤4x+2， 9x﹣4x≤2+3， 5x≤5， x≤1，∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $