第二节 简谐运动的回复力和能量（导学案）物理沪科版2020选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦简谐运动的回复力和能量，引导学生理解回复力特征、动力学规律及能量转化。通过“知识回顾”衔接胡克定律、牛顿第二定律等旧知，“自主预习”初步构建概念框架，形成新旧知识的学习支架。 以弹簧振子模型为核心，通过“思考与讨论”驱动科学探究，例题与分层习题强化模型建构和科学推理，帮助学生深化运动和相互作用观念、能量观念，培养分析综合能力，适合自主学习与课堂互动。

2. 简谐运动的回复力和能量 导学案 1. 理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征。 2. 会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。 3. 会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律。 重点： 1. 机械振动与平衡位置、位移的概念。 2. 弹簧振子简谐运动的x−t图像特征及信息提取。 3. 振幅、周期、频率的物理意义及相互关系。 难点： 1. 将“位移为零而速度最大”“位移最大而速度为零”等结论与图像对应。 2. 通过x−t图像判断任意时刻的加速度方向与大小变化。 3. 对“全振动”与“半振动”概念的精确把握，以及路程与振幅的数量关系。 【知识回顾】 1．胡克定律：在__________内，弹簧所受的拉力与__________成__________比。表达式为__________。 2．弹簧振子的振动图像与__________或__________图像一致时，弹簧振子的这种振动称为__________运动。这是一种__________运动。 3．牛顿第二定律：物体的加速度大小与它所受的__________成__________比，与物体的__________成__________比，加速度的方向与__________的方向相同‌。表达式为__________。 4．系统机械能守恒的条件：只有系统内的__________和__________做功。 5．做简谐运动的物体完成一次__________所需要的时间，叫作振动的周期，用__________表示。在国际单位制中，周期的单位是__________（__________）。单位时间内完成__________的次数，叫作振动的频率，用__________表示。周期和频率的关系：__________。 6．势能具有__________，某一点的势能大小与__________的选取有关。势能__________正负，其正负号表示__________。动能具有__________，速度的大小与__________的选择有关。动能__________正负，只能为__________值。 【自主预习】 1．使振动物体回到__________的力叫回复力。回复力总是指向__________。回复力可能由__________、__________或____________________提供。 2．如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置__________的大小成__________，并且总是指向__________，质点的运动就是简谐运动。简谐运动回复力公式：__________。其中k是比例系数，__________是弹簧的劲度系数。其值由__________决定，与__________无关。“﹣”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向__________。 3．弹簧振子运动的过程就是__________和__________互相转化的过程。在最大位移处，__________最大，__________为零。简谐运动的能量由__________和__________决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越__________。在简谐运动中，振动系统的机械能__________。 4．简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep__________，Ek＝__________；在平衡位置处，F＝__________，a＝__________，Ep＝__________，Ek__________。位移增大时，回复力、加速度和势能__________，速度和动能__________；位移减小时，回复力、加速度和势能__________，速度和动能__________。 思考与讨论： 如图所示为水平方向的弹簧振子模型。 （1）当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？ （2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？ 一、简谐运动的回复力 1. 回复力 （1）定义：使振动物体回到__________的力。 （2）方向：总是指向__________，回复力为__________的位置就是平衡位置。 （3）回复力的性质：回复力是根据力的__________命名的，可能由__________、__________或__________ __________提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的__________。 水平方向的弹簧振子，__________充当回复力。 竖直方向的弹簧振子，______________________________充当回复力。 2. 简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置__________的大小成__________，并且总是指向__________，质点的运动就是简谐运动。 （1）简谐运动回复力公式：__________。其中k是比例系数，__________是弹簧的劲度系数。其值由__________决定，与__________无关。“﹣”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向__________。 （2）简谐运动的加速度：由回复力公式__________及牛顿第二定律__________可知：__________，加速度a与位移x的大小成__________比，方向与位移方向__________。 （3）物体做简谐运动的判断方法 方法一：简谐运动的回复力满足__________； 方法二：简谐运动的振动图像是__________。 【例1】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　） A.物块A受重力、支持力及B对它施加的大小和方向都随时间变化的摩擦力 B.物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的大小和方向都随时间变化的弹力 C.物块A受重力、支持力及B对它施加的恒定的摩擦力 D.物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的恒定的弹力 【例2】如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（　　） A. m做简谐运动，OC＝OB B. m做简谐运动，OC≠OB C. 回复力F＝－kx D. 回复力F＝－2kx 二、简谐运动的能量 如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。 （1）从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？ （2）如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？ （3）实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 1. 能量转化：弹簧振子运动的过程就是__________和__________互相转化的过程。 （1）在最大位移处，__________最大，__________为零。 （2）在平衡位置处，__________最大，__________最小。 简谐运动的能量由__________和__________决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越__________。 2. 能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能__________，而在实际运动中都有一定的__________，因此简谐运动是一种__________的模型。 （1）简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的__________能和__________能之和。在振动过程中，__________能和__________能相互转化，__________能守恒。 （2）在简谐运动中，振动的能量__________，所以振幅__________，只要没有能量损耗，它将__________地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，__________能和__________能完成__________次周期性变化。物体的位移减小，__________能转化为__________能；位移增大，__________能转化为__________能。 【例3】如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。 （1）简谐运动的能量取决于__________，振子振动时动能和__________相互转化，总机械能__________。 （2）振子在振动过程中，下列说法中正确的是__________。 A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小 B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变 （3）若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是__________。 A. 振幅不变 B. 振幅减小 C. 最大动能不变 D. 最大动能减小 三、简谐运动中各物理量的变化 1. 【问题情境】如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表。 振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向 __________ __________ __________ __________ 大小 __________ __________ __________ __________ 回复力 方向 __________ __________ __________ __________ 大小 __________ __________ __________ __________ 加速度 方向 __________ __________ __________ __________ 大小 __________ __________ __________ __________ 速度 方向 __________ __________ __________ __________ 大小 __________ __________ __________ __________ 振子的动能 __________ __________ __________ __________ 弹簧的势能 __________ __________ __________ __________ 系统总能量 __________ __________ __________ __________ 2. 说明： （1）简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移__________，加速度、回复力__________，但是速度、动能、势能____________________。 （2）简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep__________，Ek＝__________；在平衡位置处，F＝__________，a＝__________，Ep＝__________，Ek__________。 （3）位移增大时，回复力、加速度和势能__________，速度和动能__________；位移减小时，回复力、加速度和势能__________，速度和动能__________。 【例4】一质点做简谐运动的图像如图所示，在0.1～0.15s这段时间内，质点的（　　） A.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相同 B.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反 C.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同 D.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反 【例5】如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定（　　） A. t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B. 0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C. t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D. t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 【归纳总结】分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 （1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以__________为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均__________，速度、动能均__________；反之，则产生__________的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变__________。 （2）分析过程中要特别注意简谐运动的__________和__________。位移相同时，__________、__________、__________、__________可以确定，但速度可能有__________个方向，由于周期性，__________也不确定。 【针对训练】如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是（　　） A. 在t＝0.2s时刻，弹簧振子运动到O位置 B. 在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C. 从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D. 在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 课堂小结： 1. （简谐运动的回复力）关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A.简谐运动的回复力不可能是恒力 B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相同 C.简谐运动中回复力的公式中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 2. （简谐运动的回复力）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（　　） A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向由O指向B 3. （简谐运动的能量）物体做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A.当物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同 B.当物体的速度变化最快时，其动能最大 C.当物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小 D.在物体的动能相等的两个时刻，其加速度相同 4. （简谐运动中各物理量的变化）一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，，如图所示，则（　　） A. t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相同 B. 在t1～t2时间内，振子的加速度先增大后减小 C. 在t1～t2时间内，振子的动能先增大后减小 D. 在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大 5．下列说法中，属于简谐运动的是（　　） A．图甲中，小球在粗糙水平面上左右振动 B．图乙中，小球在竖直方向上下振动 C．图丙中，小球沿固定粗糙斜面上下振动 D．图丁中，小球在固定弧面上大幅度左右振动 6．如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样。则注射器通过（　　） A．点时向左摆动 B．点时的速度最大 C．点时的回复力最大 D．点时的加速度最大 7．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则（　　） A．甲、乙两振子的振幅之比为1：2 B．甲、乙两振子的频率之比为1：2 C．t=2s时，甲弹簧振子的回复力最大，乙弹簧振子的动能最小 D．0～8s时间内甲、乙两振子通过的路程之比为4：1 8．如图甲所示，装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略空气阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得玻璃管振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管（包括管内液体），下列说法正确的是（　　） A．回复力等于玻璃管所受的浮力 B．在t1~t2时间内，玻璃管加速度减小，速度增大 C．在t1时刻玻璃管加速度为零，速度为正向最大 D．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 9．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，以D点所在水平面为重力势能等于零时的参考平面，则下列说法正确的是（　　） A．振子在C、D时速度为0，加速度相同 B．t=0.15s，振子处于超重状态 C．t=0.1s，振子的加速度沿y轴正方向 D．t=0.05s，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小 10．如图所示，假想沿地轴方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。已知一个质量分布均匀的薄球壳对位于球壳内任意位置质点的万有引力都等于0。现从隧道口P点由静止释放一小球，则（　　） A．小球将一直做匀加速运动 B．小球先做匀加速运动，后做匀减速运动 C．小球以O点为平衡位置做简谐运动 D．小球将运动到地心后减速到0，最终悬停在地心 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 在本节课的学习中，应用到了哪些物理方法？重点解决了哪些问题？ 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2. 简谐运动的回复力和能量 导学案 1. 理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征。 2. 会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。 3. 会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律。 重点： 1. 机械振动与平衡位置、位移的概念。 2. 弹簧振子简谐运动的x−t图像特征及信息提取。 3. 振幅、周期、频率的物理意义及相互关系。 难点： 1. 将“位移为零而速度最大”“位移最大而速度为零”等结论与图像对应。 2. 通过x−t图像判断任意时刻的加速度方向与大小变化。 3. 对“全振动”与“半振动”概念的精确把握，以及路程与振幅的数量关系。 【知识回顾】 1．胡克定律：在弹性限度内，弹簧所受的拉力与形变量成正比。表达式为。 2．弹簧振子的振动图像与正弦或余弦图像一致时，弹簧振子的这种振动称为简谐运动。这是一种非匀变速运动。 3．牛顿第二定律：物体的加速度大小与它所受的合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同‌。表达式为。 4．系统机械能守恒的条件：只有系统内的重力和弹力做功。 5．做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒（s）。单位时间内完成全振动的次数，叫作振动的频率，用f表示。周期和频率的关系：。 6．势能具有相对性，某一点的势能大小与零势能点的选取有关。势能有正负，其正负号表示大小。动能具有相对性，速度的大小与参照系的选择有关。动能没有正负，只能为正值。 【自主预习】 1．使振动物体回到平衡位置的力叫回复力。回复力总是指向平衡位置。回复力可能由合力、某个力或某个力的分力提供。 2．如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。简谐运动回复力公式：。其中k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。其值由振动系统决定，与振幅无关。“﹣”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3．弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。在最大位移处，势能最大，动能为零。简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。在简谐运动中，振动系统的机械能守恒。 4．简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大。位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 思考与讨论： 如图所示为水平方向的弹簧振子模型。 （1）当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？ 【答案】弹簧的弹力使振子回到平衡位置。 （2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？ 【答案】弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。 一、简谐运动的回复力 1. 回复力 （1）定义：使振动物体回到平衡位置的力。 （2）方向：总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置。 （3）回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力。 竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力。 2. 简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 （1）简谐运动回复力公式：。其中k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。其值由振动系统决定，与振幅无关。“﹣”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 （2）简谐运动的加速度：由回复力公式及牛顿第二定律可知：，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 （3）物体做简谐运动的判断方法 方法一：简谐运动的回复力满足； 方法二：简谐运动的振动图像是正弦曲线。 【例1】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　） A.物块A受重力、支持力及B对它施加的大小和方向都随时间变化的摩擦力 B.物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的大小和方向都随时间变化的弹力 C.物块A受重力、支持力及B对它施加的恒定的摩擦力 D.物块A受重力、支持力及弹簧对它施加的恒定的弹力 【答案】A 【解析】 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由知，摩擦力大小和方向都随时间变化，故A正确。 【例2】如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（　　） A. m做简谐运动，OC＝OB B. m做简谐运动，OC≠OB C. 回复力F＝－kx D. 回复力F＝－2kx 【答案】A 【解析】 以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB＝A，故A正确。 二、简谐运动的能量 如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。 （1）从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？ 【答案】振子的动能先增大后减小，弹簧的弹性势能先减小后增大，总机械能保持不变。 （2）如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？ 【答案】振子回到平衡位置的动能增大，振动系统的机械能增大，振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。 （3）实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 【答案】实际的振动系统，能量逐渐减小。理想化的弹簧振动系统，能量不变。 1. 能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 （1）在最大位移处，势能最大，动能为零。 （2）在平衡位置处，动能最大，势能最小。 简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 2. 能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 （1）简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能；位移增大，动能转化为势能。 【例3】如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。 （1）简谐运动的能量取决于__________，振子振动时动能和__________相互转化，总机械能__________。 （2）振子在振动过程中，下列说法中正确的是__________。 A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小 B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变 （3）若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是__________。 A. 振幅不变　　　　B. 振幅减小 C. 最大动能不变　　D. 最大动能减小 【答案】（1）振幅，弹性势能，守恒；（2）ABD；（3）AC。 【解析】 （1）简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。 （2）振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确； 在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确； 振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，所以C错误，D正确。 （3）振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误； 由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误。 三、简谐运动中各物理量的变化 1. 【问题情境】如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表。 振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 2. 说明： （1）简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。 （2）简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大。 （3）位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 【例4】一质点做简谐运动的图像如图所示，在0.1～0.15s这段时间内，质点的（　　） A.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相同 B.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反 C.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同 D.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反 【答案】B 【解析】 由题图可知，在0.1～0.15s这段时间内，位移为负且增大，质点沿负方向远离平衡位置，则加速度增大，速度减小，二者方向相反。故选B。 【例5】如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定（　　） A. t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B. 0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C. t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D. t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 【答案】A 【解析】 t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确； 0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误； t2到t3时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误； t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。 【归纳总结】分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 （1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 （2）分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 【针对训练】如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是（　　） A. 在t＝0.2s时刻，弹簧振子运动到O位置 B. 在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C. 从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D. 在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 【答案】C 【解析】 由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，则在t＝0.2s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错； 在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错； 从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C对； 在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错。 课堂小结： 1. （简谐运动的回复力）关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是（　　） A.简谐运动的回复力不可能是恒力 B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相同 C.简谐运动中回复力的公式中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零 【答案】A 【解析】 根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误； 物体的回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B错误； 做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误。 2. （简谐运动的回复力）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（　　） A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向由O指向B 【答案】A 【解析】 弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误； 回复力与位移的大小成正比，振子由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误； 回复力的方向总是指向平衡位置，故D错误。 3. （简谐运动的能量）物体做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A.当物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同 B.当物体的速度变化最快时，其动能最大 C.当物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小 D.在物体的动能相等的两个时刻，其加速度相同 【答案】A 【解析】 当物体的位移减小时，物体向平衡位置运动，速度的方向指向平衡位置，加速度的方向始终指向平衡位置，所以其速度和加速度的方向一定相同，故A正确； 当物体的速度变化最快时，其加速度最大，物体处于最大位移处，速度为零，所以其动能也为零，故B错误； 加速度方向始终指向平衡位置，当加速度与速度反向时，速度的方向指向最大位移处，位移增大，回复力增大，故C错误； 动能相等的两个时刻，速度大小相等，位移不一定相同，其加速度也不一定相同，故D错误。 4. （简谐运动中各物理量的变化）一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，，如图所示，则（　　） A. t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相同 B. 在t1～t2时间内，振子的加速度先增大后减小 C. 在t1～t2时间内，振子的动能先增大后减小 D. 在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大 【答案】C 【解析】 由题图可知t1、t2时刻振子的加速度大小相等、方向相反，A错误； 在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以振子的加速度先减小后增大，B错误； 在t1～t2时间内，振子的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确； 简谐运动的机械能守恒，D错误. 5．下列说法中，属于简谐运动的是（　　） A．图甲中，小球在粗糙水平面上左右振动 B．图乙中，小球在竖直方向上下振动 C．图丙中，小球沿固定粗糙斜面上下振动 D．图丁中，小球在固定弧面上大幅度左右振动 【答案】B 【详解】AC．做简谐运动的弹簧振子，系统的机械能保持不变，小球在粗糙水平上或者斜面上振动时，机械能减小，故AC错误； B．当小球处于平衡位置时，有 若小球偏离平衡位置的位移为x时，有 故B正确； D．当小球在固定且光滑的弧面上做小角度摆动时，小球的运动才属于简谐运动，故D错误。 故选B。 6．如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样。则注射器通过（　　） A．点时向左摆动 B．点时的速度最大 C．点时的回复力最大 D．点时的加速度最大 【答案】D 【详解】A．同侧法可知，过点时向右摆动，故A错误； B．图像可知过C点时位移最大，速度最小，故B错误； C．图像可知A点是平衡位置点，回复力最小，故C错误； D．图像可知过D点时位移最大，回复力最大，加速度最大，故D正确。 故选D。 7．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则（　　） A．甲、乙两振子的振幅之比为1：2 B．甲、乙两振子的频率之比为1：2 C．t=2s时，甲弹簧振子的回复力最大，乙弹簧振子的动能最小 D．0～8s时间内甲、乙两振子通过的路程之比为4：1 【答案】D 【详解】A．根据甲、乙两个振子做简谐运动的图像可知，两振子的振幅 所以甲乙两振子的振幅之比为2：1，故A错误； B．甲振子的周期为4s，频率为 乙振子的周期为8s，频率为 甲、乙两振子的频率之比为2：1，故B错误； C．t=2s时，甲振子处于平衡位置，所以甲的回复力为0；乙振子处于负位移最大值处，乙的速度为0，动能最小，故C错误； D．0~8s这段时间内，甲振子运动了两个周期，通过的路程为 乙振子运动了一个周期，通过的路程为 所以两振子的路程之比为4：1，故D正确。 故选D。 8．如图甲所示，装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略空气阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得玻璃管振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管（包括管内液体），下列说法正确的是（　　） A．回复力等于玻璃管所受的浮力 B．在t1~t2时间内，玻璃管加速度减小，速度增大 C．在t1时刻玻璃管加速度为零，速度为正向最大 D．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 【答案】B 【详解】A．玻璃管（包括管内液体）只受到重力和水的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力等于重力和浮力的合力，故A错误； BC．由图像可知，在t1~t2时间内，玻璃管位移减小，则加速度减小，玻璃管向着平衡位置做加速运动，速度增大，t1时刻处于负向最大位移处，速度为零，加速度为正向最大，故B正确，C错误； D．玻璃管在做简谐运动的过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以振动的过程中玻璃管的机械能不守恒，故D错误。 故选B。 9．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，以D点所在水平面为重力势能等于零时的参考平面，则下列说法正确的是（　　） A．振子在C、D时速度为0，加速度相同 B．t=0.15s，振子处于超重状态 C．t=0.1s，振子的加速度沿y轴正方向 D．t=0.05s，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小 【答案】D 【详解】A．振子在C、D时速度为0，加速度大小相等，方向相反，故A错误； B．t=0.15s，振子到达最高点C，加速度方向向下，处于失重状态，故B错误； C．t=0.1s，振子处于平衡位置，加速度为零，故C错误； D．t=0.05s，振子处于最低点，弹簧的弹性势能最大，动能为零，振子的重力势能最小，故D正确。 故选D。 10．如图所示，假想沿地轴方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。已知一个质量分布均匀的薄球壳对位于球壳内任意位置质点的万有引力都等于0。现从隧道口P点由静止释放一小球，则（　　） A．小球将一直做匀加速运动 B．小球先做匀加速运动，后做匀减速运动 C．小球以O点为平衡位置做简谐运动 D．小球将运动到地心后减速到0，最终悬停在地心 【答案】C 【详解】AB．设小球距地心距离为x，地球的密度为ρ，小球的质量为m，根据题意，质量均匀的球壳对内部任意质点的万有引力为零，根据牛顿第二定律有 所以 由此可知，当小球下落时，在O点上方时，x越来越小，则a越来越小，加速度与速度同向，速度不断增大，到达O点时，有 ， 小球的速度达到最大，在O点下方时，x越来越大，则a越来越大，但加速度与速度方向相反，小球速度减小，则小球下落过程中，先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB错误； CD．小球下落过程中所受引力的大小为 引力的大小与小球到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O点为平衡位置做简谐运动，故C正确，D错误。 故选C。 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 在本节课的学习中，应用到了哪些物理方法？重点解决了哪些问题？ 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $