4.4 解直角三角形的应用作业本-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

4.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 1.如图，从一艘船上（点A处）测得海岸上高为42m的灯塔顶部（点B处）的仰角是30°， 则船离灯塔的水平距离OA为 ( ) A.42√3m B.14√3m C.21m D.42m 30° 159 D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，一架人字梯的梯长AB=AC=2m,AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚之间的 距离BC为 ( ) A.4cos a m B.4sin a m C.4tan a m D.4 -m cos a 3.如图，在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°，45°，热气球C的高度CD为 100m,点A,D,B在同一条直线上，则A,B两点的距离为 ( A.200m B.200√3m C.220√3m D.(1003+100)m 4.如图，为测量某建筑物AB的高度，在离该建筑物底部20m的点C处，目测建筑物顶端 A处的仰角为38.5°.已知目高CD为1.6m,求建筑物AB的高度.（结果精确到1m, 参考数据：sin38.5°≈0.623，cos38.5°≈0.783，tan38.5°≈0.795) D3859 ·28· 第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1.如图，一枚钢球沿坡角为31°的斜坡向上滚动了5m,则钢球距离地面的高度是( 5 A.5cos31°m B.5sin31°m C. sin31°m D.5tan31°m B 北 i=1:5 ,319 东 →东 7￥TT7 1717T777 A (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔5 n mile的点A处.若轮船沿 正南方向航行到灯塔的正东方向，则轮船航行的路程AB是 ( ) A.53 n mile B.5 n mile C.2.5 n mile D.5⑤ n mile 3 3.如图，一山坡的坡度i=1：√3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200m到达点B, 则小辰上升了 m, 4.如图，湖泊AB旁有C,D两个村庄，点B在点A的正北方向，AB⊥AC,AB⊥BD,村庄D位 于村庄C的北偏东30°方向上.若CD=8km,则该湖泊两端的距离AB约为 km. (结果精确到0.01km,参考数据：w2≈1.414，w3≈1.732) 5.如图，一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔P40√2 n mile的A处，它沿正东方 向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB 北 D 4560 ·29·第3章图形的相似 +-4.,EF-v6+-2而s-平是=平= 3解：在R△ABC中，AB=8,inA=号，BC=AB·inA=5.AC- 3.1比例线段 3.1.1比例的基本性质 VaB-C=V丽.B-福- 1.D2.A3号 平部-提器△ACADEF. 3.4.2相似三角形的性质 第2课时特殊角的正弦值及用计算器求锐角的正弦债 4.解：(1)根据题意，得a:b=c：d,即5(-2)=4d..5d=(一2)×4， 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 1.B2.C3.40° 解得d=一g.(2)根据题意，得a6=c1d,即厄：6=216.∴26=2X 1.A2.D3.D4.5.6 5.解：：∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,△ADE∽△ACB.AF平分 4解：原式=2×号-4×号-反-2反.(2)原式=()+号×号 4 √6，解得b=√3. ∠BAC9-把即OF景GF=2 3.1.2成比例线段 是+ 第2课时相似三角形面积和周长的性质 1.C2.53.5-1 第3课时锐角的余孩 1.A2.B3.B4.A5.20cm,30cm6.4￥5 4.解：(1)由题意，得4b=3:6=1:2.(2)线段a,b,cd成比例，∴.31 1.B2.C32549 6=12:d,解得d=24cm. 7.a证明：BD=5,CD=4BC=BD+CD=9.AC=6,瓷-号， 3.2平行线分线段成比例 是-景能-是：∠C=∠C,△ABC△DAC(2)解：△ABC 5.解：原式=（合》广+(}'-1.2）原式=巨×号是-是 1.D2D3是4.28 ADac号-(-号S=188e-号5=8 6.解：1在R△ABC中，b=6,c=2v3,c0sA=点=号∠A=45 3.3相似图形 ∴S△BD=S△ABe-SAnMC=l0. 1.B2.C3.(1)60°(2)5 3.5相似三角形的应用 (2)在R△ABC中，c=12,c0sB=2∴a=t·cosB=6.∴b=VC-a- 3.4相似三角形的判定与性质 1.D2.C3.404.2 6V3. 3.4,1相似三角形的判定 解：连接MN.6-0品晨-品品-银 30 4.2正切 第1课时利用平行线判定三角形相似 1.c2.B3.34.7 :∠A=∠A△ABCo△ANM祭-S,即票=品MN= 1.A2.11.4998(21232 5证勇：DE∥BC,△ADMO△ABN,△AMEO△ANC. 1500m-1.5km.答：M,N两点之间的距离为1,5km. 4.解：1)原式=3×3+2×号=3+区.(2②)原式=8×()'+1-4×写 3.6位似 AM EM AM.DM EM.DM BN 第1课时位似图形的概念及画法 =7-25. AN'CN-AN·BN=CN"EMCN 1.D2.1;9 第2课时相似三角形的判定定理1 3.解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求 5.解：1)在Rt△ABC中，BC=4,血B=客，AC=BC·s如B=万 1.C2.C3.A4∠D=∠B(答案不唯-)5.9 ∴AB=√BC-AC=3.(2)在Rt△ABC中，AB=3,AC=√7，∴.tanC= 6.(1)证明：，AB平分∠CAD,∠CAB=∠BAD.∠ABC=∠D= AB_37 AC7· 90△ABC0△ADB.(2解：△ABC△ADBS-8脚后 4.3解直角三角形 AB..AB-2./6cm. 1.C2.C3A4号 第2课时平面直角坐标系中的位似 第3课时相似三角形的判定定理2 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=4√5，∴∠A=90°-∠B 1.A 1.C2.C3B4号5.1.5 2.解：(1)如图，四边形A'B'CD'即为所求.(2)A'(一3,3)，B(一4,1)， -30AC-BC.t B-12.AB 6解：△ABB0△CER,理曲知下：器-器号，能-9-专瞟 C(-2,0),D(-1,2) 6.解：在R△ACD中，：∠C=90,AC=8,AD=165,cos∠CAD= 3 S.又：∠AEB=∠CEF,△AEBO△CER S-.∠CAD=30.:AD平分∠CAB,∠CAB=2∠CAD=60 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.A3.2 ∠B=90-∠CAB=30.BC=ASB=88 4箭：铝-能-3△MBCn△ADE∠BAC=∠DAE=6C 4.4解直角三角形的应用 第4章锐角三角函数 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 .∠BAD=20°，∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=40°. 4.1正弦和余弦 1.A2.A3.D 5.解：△ABC△DEF,理由如下：由勾股定理，得AC=√2+下=√5，AB 第1课时锐角的正弦 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE为矩形，'.DE=BC= =√2+=2V5,BC=√3+=5，DF=√2+2=2V2,DE=1.A2.6 20m,BE=CD=1.6m.在Rt△ADE中，∠ADE=38.5°，.AE=DE· -49— -50 —51— tnn∠ADE≈15.9m..AB=AE十BE≈18m.答：建筑物AB的高度约为 18m. 6.解：1)把A(3,1)代人y=是，得1=夸，解得=3.“函数y=会的表达十4，得m=-音×4+4=2.∴点B的坐标为(4,2》把B(4,2)代人y=兰 第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 式为y=子(2)连接OB,设AB与x轴的交点为M.:点A和点C关于原得2=冬，解得=8.“反比例函数的表达式为y=是(x>0).(2)在y 1.B2.C3.1004.6.93 5.解：过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△ACP中，AP=40√2 n mile, 点对称，0A=OC.∴Sam=号SAC=4.:Saw=号，Saw=SA 一7c+4中，当x=0时，y=4.点C的坐标为(0,40.“S60m=SAx十 ∠APC=45°，∴.PC=AC=AP·sin∠APC=40 n mile..在Rt△BCP中， -Sm=号受-名解得m=士6m<0m=-5. Sax=2×4X2+号×4×4=12. ∠BPC=60°，.BC=PC·tan∠BPC=40W3 n mile...AB=AC+BC 7.解：)点C(m,2》,D1,m+3)在反比例函数y=产的图象上，。- 基本功专练（二）解一元二次方程 (40+40√3)n mile.答：航程AB为(40+40√3)n mile. 1.解：(1)把方程左边因式分解，得x(x一4)=0.由此得x=0或x一4=0， 第5章用样本推断总体 2m=m十3，解得m=3.∴k=6.“反比例函数的表达式为y=（x>0). 解得x=0,x=4.(2)根据平方根的意义，得2x十3=4或2x十3=一4.因 5.1总体平均数与方差的估计 1.B2.B3.C4.200 (2)存在.由(1)，得C(3,2),D(1,6),.BE=3-1=2.,AB=8, 此，原方程的根为-7=一名(3)根据平方根的意义，得3x一1= 5.解：(1)这8天的平均日销售量是(33+32+28+32+25+24十31+35) SaA=2X8=16,CF=8-2=6.∴5ame=75m=8,设P(m, +1或3x一1=一x一1.因此，原方程的根为x1=1,x2=0.(4)原方程可化 ÷8=30(听).(2)上半年该店能销售这种饮料约30×181=5430（听）. 为x2=5.根据平方根的意义，得x=士√5.因此，原方程的根为x1=√5，x 5.2统计的简单应用 9),则2CF·3-m=8,即号×6×3-m=8,解得m-名攻m=号 =-V5.(5)这里a=1,b=-5,c=2.因而-4ac=(-5)2-4×1×2=17 第1课时用样本的“率”去估计总体相应的“率” 1.D2.B3.300 点P的坐标为（行18）或号》。 >0x=（一5》士亚_5±，厘.因此，原方程的根为，=5+厘 2×1 2 第2课时对事物发展趋劳做出判断和预测 阶段微测试（一） 1.202.三 =5-正(6)原方程可化为r-2x=之配方，得父-2x十1-1= 2 1.B2.D3D4D5C6.C7.1(答案不唯-)8-号9.号 阶段微测试 10.(w2,2√2) 合：因此红-10=是由此得x一1=或x一1=-解得=1+写 基本功专练（一）与反比例函数的图象和性质有关的计算 11.解：：反比例函数y=mx-5的图象经过第二、四象限，∴m一5=一1， -1-9.()移项得52-4+1-0这里a-5,6-4c-1.因面公 1.解：把A(-1,6代人y”,8,得=6，解得m=2.（2由题意. 且m<0,解得m=一2.∴该反比例函数的表达式为y=一二 一4ac一（一4）一4×5×1一一4<0，.原方程无实数根.(8)原方程可化为 -1 12.解：(1)，四边形AMON为正方形，且面积为4，.OM=ON=2.,点 x2十4x=3.配方，得x2+4x十2-2=3.因此(x十2)=7.由此得x十2= 得m一8>0，解得m>8. A在第二象限内，∴A(-2,2).(2)把A(-2,2)代人y=冬，得2=车2解 √7或x十2=-√7，解得x1=一2十√7，x=-2-√7，(9)原方程可化为(x十 2.解：1把(3，一台)代入y一兰得-音专解得=-4这个反比例 3)(x一3)-4(x-3)=0.把方程左边因式分解，得(x一3)(x十3一4)=0. 函数的表达式为y=兰(2②%<%<： 得=一4.“反比例函数的表达式为y=一兰(3)-2<<0 由此得x一3■0或x一1■0，解得x1=3,x■1，(10)移项，得x2一2W5x 13.解：(1)由题意，得当x=-2时，号-2x+k,即与 -1.配方，得x2-2√5x十(5)-(W⑤)=-1.因此(x-√5)2=4.由此得x 3.解：(1)由题意，得k一4>0，解得>4.(2)由题意，得a十5>2a十1，解得 =一4十k,解得k -√5=2或x一√5=-2，解得x1=√5+2，x2■√5-2. a<4.,a>0,.a的取值范围是0<a<4. =3.(2)k=3,.y:=2x+3.易得一次函数y=2x+3的图象与x轴的 2.解：(1)公式法①(2)原方程可化为2x2一x一1=0.这里a=2,b= 4解：1)：A(2,m),0B=2,AB=m.:S60=20B·AB=5,心号× 交点坐标为(-2,0），结合图象可知，当<%<0时，x的取值范围是 -1,c=-1.因而-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9>0,x= 2m=5,解得m=5A2,5).把A2,5)代人y号，得5=号，解得表 -2<<-2 二（2议若法5-毕，因此，原方程的根为4=1场=一云 2×2 =1.(2)由(1，得反比例函数的表达式为y-碧当x=8时y一景∴当 3.解：根据题意，得2(m一2)2十1一(2m一1)=2.整理，得m2一5m十4=0， 14.解：1)设=专(S>0).把(0.1,100)代人，得1000=0奇，解得k= 解得m1=1,m2=4. x≥8时，y的取值范围是0<y≤ 5 10.p关于S的函数表达式为p-1g0(S>0.(②)403)当p=100 4.解：将x-1代入(a+2)x2+x+a2-2a-9-0,得a+2+1十a2-2a-9 =0,即a2一a-6=0,解得41=-2，ag=3.又a十2≠0，∴.a≠-2.∴.a=3. 5解：4泥A(-2.3》代人y-兰得3=乌解得-6六反比例函数时，S=00-0,1:当分=400时，S=20。-0,025,∴受力面积S的变 5.解：①当x-1≥0，即x≥1时，原方程可化为x2+x一1一1=0，即x2十x 一2=0，解得x1=1,x2=一2（不合题意，舍去）：②当x一1<0，即x<1时， 的表达式为y=-兰把B(3,m)代入，得=-号=一2.B(3,-2).把化范围是0.025<5<0.1 原方程可化为x2+1一x一1=0，即x2一x=0,解得x1=0,x=1(不合题 意，舍去).综上所述，原方程的根为1=1，x2=0. A(-2,3),B(3,-2)代人y=ax+b,得 2a+6=3解得=，1： 15解：1把A(-2m)代人y=-只得m=一号解得m-5点A的 3a+b=-2, b=1. 阶段微测试（二） 1 次函数的表达式为y=一x十1.(2)由图象可知，关于x的不等式ax+b< 坐标为(-2.5.把A(-2,5)代人y-之+6，得5=-含×(-2)+6， 1.C2.A3.C4.C5.A6.A7.28.39.610.4 11.解：(1)根据平方根的意义，得2x一1=13或2x一1=一13.因此，原方 皇的解集为-2<<0或x>3. 解得b=4.六一次函数的表达式为y=一2十4.把B(4,n)代人y= 程的根为x1=7,x:■一6.(2)把方程左边因式分解，得(3x十2十2x)(3x十 52 53 -54