专题五、三角汇编-上海市2025-2026学年高一上学期数学期末复习

专题五、三角 【知识梳理】 a=∈R 一、任意角和弧度制( ) B=2kπ+，k∈Z (号所在象限) 1.终边相同的角： 2.象限角：平分象限法 3轴线角： 2,k∈z a=- n° 180°π 4.角度制和弧度制： 5.扇形弧长公式和面积公式： 1=ar v=rsina,x=rcosa=P(r cosa,rsina) 二、三角公式fami 点P(x,)是角C终边上一点： sina= cosa= tana= 【r=Vx2+y2】 任意角的 正弦、余弦 x=cos∈[-1，l] kπ &正切 单位圆：r= y=sin a E[-1,1] 土0 【2 】看k的春偶把看成锐 角 各象限符号 sin(x-a)=sina【互补】 正：一全二正弦，三切四余弦 诱导公式 sin(-a)=c0osa【条 奇变偶不变，符号看象限 “】”的代换 无中生有 sin a tan a 同角三角 (1)sin2a+cos2a=1 (2) cos a 切化弦，弦化切【齐n次式，同除 关系 cos"a】 已知正弦、 (sin0+cos)2+(sin0-cos0)2=2 1 ）sinx=sina, 则x=2kπ+a或x=2kr+π-a,k∈Z, 即 余弦或 正切值求角 x=kπ+(-1)·a,k∈Z 2)c0Sx=cosa,则x=2kπ±a,k∈Z (3)tanx=tana,则r=kπ+a,k∈Z sin(a±β)=sina cos B±cos a sinβ tana±tanB tan(a±B)= 两角和差 l千tan a tan B 公式 cos(a±B)=cosa cos B年sin a sin B AABC中 tan A+tan B+tan C tan A tan B tan C b sin⑩= 6时+=Va+snq位 Va+bcosp=- b tan⑩= 辅助角公式 ( a2+b2 ) sin 2a =2sin a cosa=sin a cosa= 2sin 2a 2tana tan 2a= cos 2a cos2 a-sin2 a 2 cos2 a-1=1-2sin2 a 1-tan2a 二倍角公式 sin2a 1-cos2a 1-cos 2a=2sin2a (sing±cos a=1tsina 降幂 (1) 2 (3) 扩角 cos2 a= 1+cos2a 1+cos 2a=2cos2a cos2Q -sin 2 a cosa (2) 2 (4) 2 2 b 正弦定理 =2R (1)sin A sin B sinC (R为外接圆半径)(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC b2+c2-a2 ( 3 (1)a2=b2+c2-2bccosA →CosA= 2be c2=a2+b2-2abcos C 余弦定理 ↓ 2)=a2+c2-2acosB→c0sB-+e2-b cosC=a+b-c 2ac 2ab 1 1 S= 2absinC= b 三角形面积 bcsin A=acsin B= 20九 sm4>simB台2R2R令0>b台A>月 2 2 【期末真题】 (一)任意角和弧度制 1.【24华二1】2025°是第 象限角 2.【24同一2】写出与6终边相同的角的集合是 3.【24杨高6】已知。是第二象限角，则)终边在第象限. 4.【24复附19】一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为lcm的圆）的圆周上爬动，且 两只蚂蚁均从点 1,0同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过“角，黑蚂蚁每秒爬过P角 (其中0<a<B<180 .如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于 第二象限. ()求“，B的值 (2)两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程. a (二)扇形的弧长和面积公式 5.【24金中1】已知扇形的弧长为2π，面积为3π，则扇形所在圆的半径为一 6.【24晋元2】已知扇形的弧所对的圆心角为3，且半径为10cm,则该扇形的面积为一 7.【24复附2】已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为 8.【24交附3】扇形的圆心角为6，半径长为2，则此扇形的面积为一 9.【24格致4】弧长为12π，半径为10的扇形的面积为一. 300° 10.【24杨高4】半径为，圆心为的圆弧的长为 墙体 A 11.【24宜川6】已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的 C D 弧度=一 RtAPOB,∠PBO=90°O OB 12.【24吴淞15】在 中， ，以为圆心， 为半 径作圆弧交OP于点A,若弧AB等分△POB的面积，且∠AOB=C弧度，则( A.tana=a B.tana=2a C.sina=2cosa D.2sina=cosa 13.【24上东15】勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛 首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为 圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形 ABC 就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形 的面积为( A.2π-V5 B.2π-2V5 C.4x-3 D.4-2V5 14.【24复附15】“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有 圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径 几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一 寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中， 截面如图所示，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，则阴影部分面积约为（注：π≈3.14 ,sin22.5° 13,1尺=10寸) A.6.33平方寸 B.6.35平方寸 C.6.37平方寸 D.6.39平方寸 (三)任意角的正弦、余弦和正切 5.【24金中4若为第四象限角，且sima=一了则ang的值是二 16.【24进才7)已知角o的终边上一点1，m),月sina=V6 3,则m=一 ππ ∈ 17.【24复附10】已知“3’2，且a与B的终边关于直线y=-x对称，则cosB的最大 值为一· 18.【24建平13】若sinx<0,且cosx>0,则角x是( A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 (四)诱导公式与同角三角关系 π sin (2 2-acos(3π+aj 19.【24宜川3】化简： 3π 2aeos2+acot(π-a sin(π-aj 20【24晋元5】已知角a的终边经过点P2,-3引，则sm（及a一 5)1 cos cos π 21.【24华二5】6 后元+x厂3，则气6)的值是一 1-sin20 22.【24洋泾8】若 则cos0的值是 ano+n =3 sin0+cos0 23.【24交附10】已知a4)厂，则cos0-sin0一 24.【24华二17】已知sin0+cos0=】 2· inθcos0 (1)求 的值； (2)求sin8+cos0的值 25.【24建平17】已知角“的终边过点P34 2sina +cosa (1)求sina-cosa 的值： 2y来a-}ma+的值. 26【24复附17】已知P叫4川0m<0是角。终边上一点，且sina=号 (1)求：实数m的值 π sinπ-a)-cos (2 (2)求： tanπ+a) x0中，角”以0r为始边，它的终边与单位圆交于 xOy 27.【24同一18】在平面直角坐标系： P(m,n 第二象限内的点 2sin(π+a)+cosa （)若n-号求ann及cos+a)+2cosa的值： 5 tana (2)若sin+cos=行，求点p的坐标」 1 28.【24格致18】已知sn“及0s“是关于"的方程2r+4+3k=0的两个实根，求 sina cosa 1-cota 1-tana 的值. (五)已知正弦、余弦和正切值求角 29.【24交附6】已知tanx=3,t∈/π3π 2’2,则角x为一 30【24行知7】已知mr= 2xe(0,2m,则x= 31.【24吴淞7】当ina+5cosa=1,a=_. 32【24同-15】“0-后是“sm0-分”的( 1 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (六)两角和差公式、辅助角公式和二倍角公式 12 3【24同=5】已知cosa=3sin明= 5,且，B都是第二象限角，则sina-B)=一 34.【24宜川5】用ota和of表示ot(a+B)= 35.【24吴淞6]已知sn0-号sin0cas0<0,则en20的值为一 36.【24晋元&交附7】若存在x∈R,使3cosr=4sinx+k成立，则实数k的取值范围是一 37.【24交附8】已知sina+cosa=5,则si2的值为 0∈(0，π) 1-2sin 2a cos2a 38.【24晋元9】已知 ，且有 ,则cosa= 39.【24吴淞】已知cosa+刷-osa-l=行，则ot-amAl- 专题五、三角 【知识梳理】 一、任意角和弧度制（） 1.终边相同的角： 2.象限角：平分象限法 3.轴线角： 4.角度制和弧度制： 5.扇形弧长公式和面积公式：、 二、三角公式family 任意角的 正弦、余弦 &正切 点是角终边上一点：，， 单位圆：， 【】看的奇偶，把看成锐角 各象限符号 正：一全二正弦，三切四余弦 诱导公式 同角三角 关系 （1） （2）切化弦，弦化切【齐次式，同除】 已知正弦、余弦或 正切值求角 （1），则，即 （2），则 （3），则 两角和差 公式 辅助角公式 （） 二倍角公式 降幂扩角 （1） （3） （2） （4） 正弦定理 （1）（为外接圆半径）（2） 余弦定理 （1） （3） （2） 三角形面积 【期末真题】 （一）任意角和弧度制 1.【24华二1】是第 象限角. 【答案】三 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，而终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故答案为：三. 2.【24同一2】写出与终边相同的角的集合是 . 【答案】； 【分析】根据终边相同角的表示方法即可得解． 【详解】终边相同角相差的整数倍， 因此与终边相同的角的集合是． 故答案为：. 3.【24杨高6】已知是第二象限角，则终边在第 象限. 【答案】一或三 【分析】根据象限角的范围即可求出结果. 【详解】由题意知， 则， 当时，， 此时终边在第一象限， 当时，， 此时终边在第三象限. 所以终边在第一和三象限. 故答案为：一或三. 4.【24复附19】一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据题中条件，先设，，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，，列出不等式求解，得出和的值，即可得出结果； （2）先设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒，根据题中条件求出，根据弧长的计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，与都是的整数倍， 不妨设，， 则，， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，， 即，； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒， 则，即，解得， 所以红蚂蚁爬过的角度为， 因为圆的半径为， 所以红蚂蚁爬过的路程为. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到与都是的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解. （二）扇形的弧长和面积公式 5.【24金中1】已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解即得. 【详解】令扇形所在圆的半径为，依题意，，所以. 故答案为：3 6.【24晋元2】已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 7.【24复附2】已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为 . 【答案】8 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：该扇形的面积为. 故答案为：8. 8.【24交附3】扇形的圆心角为 ，半径长为2，则此扇形的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式求面积即可. 【详解】由题设，圆心角，半径，扇形面积为. 故答案为： 9.【24格致4】弧长为，半径为的扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为弧长为，半径为，所以扇形的面积. 故答案为：. 10.【24杨高4】半径为，圆心为的圆弧的长为 . 【答案】 【分析】将扇形的圆心角化为弧度数，然后利用扇形的弧长公式即可计算出答案. 【详解】弧度，半径为，圆心为的圆弧的长. 故答案为：. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，解题时要注意扇形的圆心角应化为弧度，考查计算能力，属于基础题. 11.【24宜川6】已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 . 【答案】6或 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或； 当，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 12.【24吴淞15】在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为. 直角三角形POB中，，△POB的面积为. 由题意得，所以. 故选：B 13.【24上东15】勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勒洛三角形的面积为3个圆心角为 60°的扇形面积减去2个正三角形面积，即可得解. 【详解】如图：，以为圆心的扇形面积是， 的面积是， ∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 故选：B. 14.【24复附15】“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸） A．6.33平方寸 B．6.35平方寸 C．6.37平方寸 D．6.39平方寸 【答案】A 【分析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积． 【详解】连接OC，设半径为r，寸，则 在直角三角形中， 即，解得 则 ，所以 则 所以扇形的面积 三角形的面积 所以阴影部分面积为 所以选A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题． （三）任意角的正弦、余弦和正切 15.【24金中4】若为第四象限角，且 则的值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得. 【详解】由为第四象限角，，得， 所以. 故答案为： 16.【24进才7】已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 17.【24复附10】已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设点是角的终边上的任意一点（除原点外），求出点关于对称的点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得； 【详解】解：设点是角的终边上的任意一点（除原点外），则其关于直线的对称点为； 已知角的终边与角的终边关于直线对称，所以点必在角的终边上， 由三角函数的定义有，又， 所以，因为 所以， 所以的最大值为 故答案为： 18.【24建平13】若，且，则角是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案. 【详解】由，可得为第三、第四象限角及轴非正半轴上的角； 由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角． 取交集可得，是第四象限角． 故选：D． （四）诱导公式与同角三角关系 19.【24宜川3】化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可. 【详解】原式. 故答案为：． 20.【24晋元5】已知角α的终边经过点，则= ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【详解】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 21.【24华二5】，则的值是 . 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 22.【24洋泾8】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【详解】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 23.【24交附10】已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【详解】， 原式 . 故答案为：. 24.【24华二17】已知. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）－； （2）. 【分析】（1）将等式两边平方，结合即可求解； （2）利用立方和公式，将已知代入即可. 【详解】（1）由已知，两边平方得. 因为，所以. （2）由立方和公式. 25.【24建平17】已知角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据角的终边过点求出角的三个三角函数值，代入求解即可； （2）由两角差的余弦公式和两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以到原点的距离， 则，，， 所以； （2） . 26.【24复附17】已知是角终边上一点，且 （1）求：实数的值 （2）求： 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义运算求解即可； （2）先求得，再利用诱导公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，解得 又，所以. （2）由（1）可知：，则， 所以. 27.【24同一18】在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． （1）若，求及的值； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）. 【分析】（1）求出值，再利用三角函数定义求出，利用诱导公式化简，借助齐次式法求值即得. （2）利用同角公式求出，再结合三角函数定义求出点的坐标. 【详解】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，由，得， 所以，可得． （2）依题意，，，又， 两边平方，得，即， 因此， 联立，解得，，所以点的坐标为. 28.【24格致18】已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： ， 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， . （五）已知正弦、余弦和正切值求角 29.【24交附6】已知，，则角为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用在区间上的单调性和的周期性，即可求解. 【详解】因为在区间上单调递增， 当时，由，得，又的最小正周期为， 又，所以角为， 故答案为：. 30.【24行知7】已知，则 . 【答案】或 【分析】根据任意角三角函数的定义分析求解. 【详解】因为，所以或. 故答案为：或. 31.【24吴淞7】当， ． 【答案】或， 【分析】由辅助角公式可得，再取角即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 32.【24同一13】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，充分性成立， 反过来，当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. （六）两角和差公式、辅助角公式和二倍角公式 33.【24同一5】已知，且都是第二象限角，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，都是第二象限角， 得， 所以. 故答案为： 34.【24宜川5】用和表示 . 【答案】 【分析】利用两角和与差的正弦和余弦公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 35.【24吴淞6】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 36.【24晋元&交附7】若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 37.【24交附8】已知，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将两边平方即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 即，所以. 故答案为： 38.【24晋元9】已知，且有，则 . 【答案】 【分析】运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 因此由， 而，把代入得： ，而， 因此. 故答案为： 39.【24吴淞9】已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 40.【24晋元14】若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合同角三角函数的商数关系及二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 解得， 故选：C. 41.【24宜川18】已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【详解】（1），且，，， ，， 且，，，， ； （2），.，， ，∴， ，. 42.【24吴淞19】如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． （1）试用表示点B的坐标； （2）若，求及线段的长度 【答案】（1）； （2），. 【分析】（1）由三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度. 【详解】（1）因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. （2）因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . （七）解三角形 43.【24吴淞8】在中，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为， 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 44.【24吴淞10】甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数."查看标准答案发现该三角形有一解.若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理得到，再由三角形只有一个解，可得的范围，进而求解即可 【详解】由题，由正弦定理可得，则， 因为三角形有一解，则或，则或 故答案为 【点睛】本题考查利用正弦定理处理三角形的个数问题，考查数形结合思想 45.【24进才10】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形分别在边上）边长为多少？在求得正方形的边长后，可进一步求得的正切值为 . 【答案】 【分析】利用三角形相似求出正方形边长，再利用及两角差的正切公式，即可求解. 【详解】设正方形的边长为，则， 由，可得，即，解得， 因为， 所以. 故答案为：. 46.【24宜川17】在中，已知， （1）若，求该三角形的外接圆半径； （2）当时，求该三角形面积的最大值. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式对式子进行化简可解得角，再利用正弦定理即可求解的外接圆半径； （2）由结合正弦定理及三角形内角和定理，可得和，代入三角形面积公式，根据二倍角公式、辅助角公式及正弦函数的性质即可求解三角形面积的取值范围. 【详解】（1），， 即，. ，，或，解得或. 或2，该三角形的外接圆半径或1. （2），，，. ， ，， . ，，， 即该三角形面积的最大值为. 47.【24吴淞18】在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，，所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为，所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 48.【24交附20】已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】（1）， ；（2）；（3） 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. （3）， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $