专题四 函数及应用汇编-上海市2025-2026学年高一上学期数学期末复习

专题四 函数及应用 一、函数的概念与表示方法 【知识梳理】 1. 概念：一对一，多对一 2. 三要素：定义域，对应法则，值域【配方法，换元法，基本不等式法，分离常数法，判别式法】 3. 表示方法：解析法，列表法，图像法，分段表示法 【期末真题】 1.【24上中1】函数的定义域为 ． 2.【24交附2】函数的定义域是 . 3.【24建平6】函数的定义域为 ． 4.【24华东模范3】函数，则 . 5.【24敬业3】若，则 . 6.【24格致5】已知，则方程的解为 ． 7.【24晋元10】设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 8.【24吴淞16】设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（     ） A． B． C． D．0 二、函数的性质与应用 【知识梳理】 1. 函数常用方法：数形结合，分离参数，分类讨论，换元消元 2. 函数的性质： （1）奇偶性【关于原点对称】，对称性 （2）单调性【复合函数单调性法则：同增异减】 （3）最值 （4）周期性 3. 函数的应用： （1）零点：零点存在定理 （2）用函数的观点求解方程与不等式 （3）二分法 4. 解答题解决函数性质的基本方法：定义法 【期末真题】 （一）奇偶性 1.【24华二3】偶函数的定义域是，则 . 2.【24复附4】已知函数为上的奇函数，则实数 ． 3.【24上实5】若函数是定义在上的奇函数，则 . 4.【24同一9】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则= ． 5.【24上中7】已知是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则 . 6.【24晋元8】已知函数是定义在上的偶函数，.当时，，则不等式的解集为 . 7.【24金中9】已知函数是偶函数，则实数的值为 . 8.【24行知10】已知函数是奇函数，则 ． （二）单调性 9.【24金中3】若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 10.【24复附3】已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 . 11.【24敬业4】若幂函数是严格增函数，则实数 . 12.【24同一7】函数的单调递减区间是 . 13.【24杨高9】已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ． 14.【24上东6】已知函数的单调递增区间为 . 15.【24向明9】函数的单调递增区间为 . 16.【24上东9】若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 . 17.【24敬业10】已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 18.【24上实9】已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意，都有，则k的取值范围是 . （三）奇偶性与单调性 19.【24上中6】已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 20.【24进才8】已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 21.【24交附9】已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 22.【24敬业11】已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 23.【24延安13】已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 24.【24上中10】设函数，给出下列命题： ①，时，方程只有一个实数根； ②时，的图象关于原点对称； ③方程至多有两个实根； ④的图象关于点对称． 上述四个命题中所有的正确命题的序号为 . 25.【24金中14】下列函数中，在上既是奇函数又是严格减函数的是（     ） A． B． C． D． 26.【24进才14】函数的部分图像大致是（     ） A． B． C． D． （四）最值与值域 27.【24上中3】函数的最小值是 ． 28.【24同一6】函数在区间上值域为 ． 29.【24华东模范7】若函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 30.【24复附8】已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 31.【24建平7】函数的值域为 ． 32.【24敬业8】已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 33.【24华二7】函数的定义域是，则它的值域是 . 34.【24延安9】函数的最大值为 ． 35.【24进才9】已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是 . 36.【24上实8】已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是 . 37.【24延安11】已知，则函数的值域为 ． 38.【24华东模范12】已知函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（     ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．在区间上单调递增 39.【24晋元15】若函数的最小值3，则实数的值为（ ） A．5或8 B．或5 C．或 D．或 （五）零点 （1）定义：方程的根 （2）题型：零点个数与图像交点个数 40.【24敬业5】函数的零点为 . 41.【24复附6】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 . 42.【24格致9】关于x的方程在区间[﹣1，1]上有解，则实数k的取值范围是 . 43.【24金中10】已知且，，则实数的取值范围是 . 44.【24格致10】已知为实数 ，，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 . 45.【24控江10】设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ． 46.【24晋元11】已知函数 与 的图像有3个不同公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 . 47.【24上中11】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 . 48.【24敬业12】已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是 ． 49.【24杨高12】已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 50.【24格致14】下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（     ） A． B． C． D． 51.【上东14】函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 52.【24交附14】函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 53.【24复附13】小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（     ） A． B． C． D． 54.【24洋泾13】函数的零点所在的区间为（     ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 55.【24杨高15】若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（     ） A． B．2，3 C． D． 56.【24敬业15】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 57.【24向明15】已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58.【24格致15】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（     ） A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 59.【24上中15】若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （六）用函数的观点求解方程与不等式 60.【24华东模范5】不等式的解集为 . 61.【24延安8】不等式的解集是 ． 62.【24杨高10】已知，若实数且，则的最小值是 ． 63.【24华二10】已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为 . 64.【24敬业14】“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （七）拓展：周期性，性质综合 65.【24上实7】已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 . 66.【24复附9】已知定义在是的函数满足，且是奇函数，则 . 67.【24杨高11】设函数定义域为R，对于下列命题: ①若存在常数M，使得对任意的，都有成立，则M是函数的最大值; ②若函数的图像是一条连续不断的曲线，且对区间，有，则函数在区间上不存在零点; ③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数; ④若函数满足对任意的，任意的，都有成立，则函数在R上严格递增; 其中，所有假命题的序号为 . （八）解答题 68.【24杨高18】已知函数为幂函数，且为奇函数. （1）求的值； （2）求函数在的值域. 69.【24敬业18】设函数，其中． （1）若有两个零点．求实数的取值范围； （2）求在区间上的最值． 70.【24复附18】已知函数为奇函数 （1）求：的值 （2）解关于x的不等式， 71.【24敬业19】已知函数（是常数）． （1）若，求函数的值域； （2）若为奇函数，求实数的值，并证明的图像始终在的图像的下方． 72.【24格致19】已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 73.【24华东模范15】已知函数. （1）若函数的图象过原点，求的解析式； （2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 74.【24上中19】已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 75.【24敬业20】已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是严格增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 76.【24杨高20】已知函数． （1）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 77.【24金中20】已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 78.【24复附20】若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. （1）求证：对于任意，均有 （2）若为上的严格增函数，求证：为上的严格增函数 （3）若的图像是一条连续曲线，且在上的最大值为，求：的值. 七、应用题 1.【24上中18】已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担， （1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系： （2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少? 2.【24上东19】2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； （1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ （2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 3.【24控江19】某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 4.【24晋元19】某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值（单位：EXP）与游玩时间 （单位：小时）满足关系式： ； ②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）当时，写出累计经验值E与游玩时间 的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 5.【24交附19】在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 6.【24杨高19】诺贝尔奖的发放方式为:每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学或医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为. （1）请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）? （2）设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符，并说明理由. 7.【24华二19】汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 8.【24格致20】某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； （2）已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 函数及应用 一、函数的概念与表示方法 【知识梳理】 1. 概念：一对一，多对一 2. 三要素：定义域，对应法则，值域【配方法，换元法，基本不等式法，分离常数法，判别式法】 3. 表示方法：解析法，列表法，图像法，分段表示法 【期末真题】 1.【24上中1】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】要求对数函数的定义域，须保证对数函数的真数大于0，即可. 【详解】由题意知：，∴x<5，所以原函数的定义域为：，故答案为： . 【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于0列不等式求解即可，属于基础题. 2.【24交附2】函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为. 故答案为： 3.【24建平6】函数的定义域为 ． 【答案】或. 【分析】根据定义域的求法求解. 【详解】函数，则，解得或. 故答案为：或. 4.【24华东模范3】函数，则 . 【答案】 【分析】先计算，再计算即可. 【详解】因为，所以，故答案为： 【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题. 5.【24敬业3】若，则 . 【答案】8 【分析】结合分段函数解析式先求，再求结论. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：. 6.【24格致5】已知，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，分两种情况分别得到不等式组，进而可得答案. 【详解】等价于或，无解， 故答案为：. 7.【24晋元10】设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出函数的图像，由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线不是一个函数的图像，由此求出答案. 【详解】画出函数的图像，如图，在轴正半轴上取一点， 则，由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，旋转所得的图像与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线不是一个函数的图像，故的最大值是 故答案为：. 8.【24吴淞16】设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，利用排除法，若时，圆上有部分关于轴对称的点，即一个对应2个，不满足函数的定义，从而可得结果. 【详解】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当时， 这12 个点对应的圆心角分别为， 然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个， 因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项， 因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称， 此时每个都满足一个只会对应一个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将问题转化为“问题相当于圆上均匀分布12个点,且都不关于轴对称”. 六、函数的性质与应用 【知识梳理】 1. 函数常用方法：数形结合，分离参数，分类讨论，换元消元 2. 函数的性质： （1）奇偶性【关于原点对称】，对称性 （2）单调性【复合函数单调性法则：同增异减】 （3）最值 （4）周期性 3. 函数的应用： （1）零点：零点存在定理 （2）用函数的观点求解方程与不等式 （3）二分法 4. 解答题解决函数性质的基本方法：定义法 【期末真题】 （一）奇偶性 1.【24华二3】偶函数的定义域是，则 . 【答案】 【分析】根据函数为偶函数及定义域可得，求解可得. 【详解】因为是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称. 又函数的定义域为，所以，解得. 故答案为： 2.【24复附4】已知函数为上的奇函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用奇函数的性质有，列方程求参数a即可. 【详解】由题设， 所以，可得. 故答案为：1 3.【24上实5】若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质得到和，再解方程即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得. 因为，所以，解得. 所以. 故答案为： 4.【24同一9】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则= ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用求出，再利用奇函数定义求出作答. 【详解】R上的奇函数，当时，，则，解得， 所以. 故答案为： 5.【24上中7】已知是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质与对数的运算性质求解. 【详解】由是定义在上的奇函数，故，得， 而，则，故答案为： 6.【24晋元8】已知函数是定义在上的偶函数，.当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性定义得函数单调性，然后分两种情况解不等式，求出答案. 【详解】当时，，则在上单调递增， 又函数是定义在上的偶函数，可得函数的减区间为， 又由，可得当时，；当或时，. 不等式或，可得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 7.【24金中9】已知函数是偶函数，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】利用偶函数的定义可求得实数的值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即， 所以，，解得. 故答案为：. 8.【24行知10】已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故，经检验符合题意. 所以. 故答案为：. （二）单调性 9.【24金中3】若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据严格减函数定义可知，即可求解. 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，解之可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 10.【24复附3】已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数单调性可得，解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的严格增函数，且，可得，解得， 所以不等式的解集为为. 故答案为：. 11.【24敬业4】若幂函数是严格增函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及函数的单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得， 又因为是严格增函数，所以，. 故答案为： 12.【24同一7】函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】由，分段讨论出函数的单调区间，从而得出答案. 【详解】由 当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增. 当时，开口向下，对称轴方程为 所以此时在上单调递增，在上单调递减. 故答案为： 13.【24杨高9】已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，都有， 所以在上为增函数， 当时，，易知函数在上为增函数； 当时，则，解得， 综上，，则a的取值范围为， 故答案为：． 14.【24上东6】已知函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案. 【详解】令，解得，故函数定义域为， 其中， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递增区间为. 故答案为： 15.【24向明9】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 16.【24上东9】若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性结合对数函数的定义域可直接列式求解. 【详解】令，则在上单调递增，若在上是减函数， 则在上是减函数且恒大于0，从而有，解得. 故答案为：. 17.【24敬业10】已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的单调性可得满足的不等式组，从而可求实数的取值范围. 【详解】在上是严格减函数，故在为减函数，且恒成立， 所以，故. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：与对数有关的复合函数的单调性，要利用同增异减的原则来进行判断，注意真数大于的要求. 18.【24上实9】已知函数在是严格增函数，在上为严格减函数，若对任意，都有，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值，对两边取自然对数，分离，利用不等式恒成立求解即可. 【详解】因为在是严格增函数，在上为严格减函数， 所以. 由，可得， 又时，由可得， 即恒成立， 所以，即. 故答案为： （三）奇偶性与单调性 19.【24上中6】已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 20.【24进才8】已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即，即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数，故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 21.【24交附9】已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 22.【24敬业11】已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】 【分析】结合奇函数与偶函数的性质求，再求即可. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 所以，所以， 所以，故答案为：. 23.【24延安13】已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 24.【24上中10】设函数，给出下列命题： ①，时，方程只有一个实数根； ②时，的图象关于原点对称； ③方程至多有两个实根； ④的图象关于点对称． 上述四个命题中所有的正确命题的序号为 . 【答案】①②④ 【分析】先分析函数的单调性，以及函数的奇偶性，利用函数的有关性质及图象平移逐一判断． 【详解】对①：因为函数，在上单调递增，且当时，，而，时，函数相当于将函数向上平移了个单位，所以方程只有一个实数根.故①正确； 对②：当时，，所以， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故②正确； 对③：当，时，由或或，方程可以有3个根，故③错误； 对④：当时，函数为奇函数，图象关于原点对称，将其图象向上（）或向下（）平移个单位，可得的图象，其图象关于点对称.故④正确. 故答案为：①②④ 25.【24金中14】下列函数中，在上既是奇函数又是严格减函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合，以及减函数的判定，每个选项依次分析即可. 【详解】A选项，在R上不保证一直单调递减，故错误； B选项，定义域满足，故定义域不是R，故错误； C选项，，故为奇函数，对于，故为单调递减；对于，，故为单调递减；对于，，故为单调递减所以在R上为减函数；故正确； D选项，不满足奇函数的判定； 故选：C 26.【24进才14】函数的部分图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性排除C；根据排除B；根据排除D，从而可得答案. 【详解】由，函数定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，其图象关于轴对称，排除C； 因为，故排除B； 因为 因为，而选项D中，函数在上递增，故排除D， 故选：A. （四）最值与值域 27.【24上中3】函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化为，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值． 【详解】解：函数． 当且仅当，即有，取得等号． 则函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题． 28.【24同一6】函数在区间上值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数，所以，故值域为. 故答案为：. 29.【24华东模范7】若函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由二次函数、分式型函数的性质分别求分段函数两段上的性质，并确定且，即可求参数范围. 【详解】由在上递减，在上递增， 若，则最小值为，不满足题设， 所以， 在上，，当且仅当时等号成立， 所以最小值，则，可得. 综上，. 故答案为： 30.【24复附8】已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，首先由二次函数性质确定上的单调性和最值，再讨论参数a，结合的单调性及存在最小值，求参数范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 若，在上单调递增，其值域为， 此时不存在最小值，不符合； 若，则在上，此时存在最小值，满足； 若，在上单调递减，其值域为， 此时，要使函数存在最小值，只需，即，故； 综上，实数a的取值范围. 故答案为：. 31.【24建平7】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 可得， 因为函数在上单调递增， 当时，，可得， 所以函数的值域为. 故答案为：. 32.【24敬业8】已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，求方程的解，结合图象确定的范围. 【详解】因为，又，， 所以函数的图象为开口向下，对称轴为，过点的抛物线， 作函数的图象如右图： 结合对称性可得， 因为函数在区间上的值域为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 33.【24华二7】函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 34.【24延安9】函数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据对勾函数的单调性即可求解. 【详解】由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故的最大值为4， 故答案为：4 35.【24进才9】已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得值域为，再结合分段函数性质，分别计算在时及时的值域即可得. 【详解】由题意可得值域为，当时，， 则当时，对，有，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 36.【24上实8】已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得：，分别根据单调性求最值，代入运算求解． 【详解】根据题意可得： ∵在上单调递减，则 又∵在上单调递增，则 ∴，则. 故答案为：． 37.【24延安11】已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像， 由函数图像可以得到函数值域. 【详解】令，解得， 函数大致图像如右图： 由图可知，函数， 故答案为：. 38.【24华东模范12】已知函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（     ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误. 【详解】A. ，所以该选项错误； B. 由表得的值域是，所以该选项正确； C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误； D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断. 39.【24晋元15】若函数的最小值3，则实数的值为（ ） A．5或8 B．或5 C．或 D．或 【答案】D 【详解】试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D. （五）零点 （1）定义：方程的根 （2）题型：零点个数与图像交点个数 40.【24敬业5】函数的零点为 . 【答案】或； 【分析】将零点问题转化成方程求解即可； 【详解】当时，令，解得或舍去； 当时，令，结合， 所以函数零点为：或； 故答案为：或 41.【24复附6】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，且该函数在区间内有零点， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 42.【24格致9】关于x的方程在区间[﹣1，1]上有解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】换元令t＝2x，则t∈[，2]，转化为考虑方程k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0的根的问题. 【详解】令t＝2x，则t∈[，2]， ∴方程，化为:k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0， 根据题意，此关于t的一元二次方程在[，2]上有零点， 整理，得：方程k(t2﹣2t+6)＝30，当t∈[，2]时存在实数解 ∴k，当t∈[，2]时存在实数解 ∵t2﹣2t+6＝(t﹣1)2+5∈[5，6]， ∴k∈[5，6]， 故答案为[5，6]. 【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法，将问题转化为二次方程的根的问题，常用分离参数求解. 43.【24金中10】已知且，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过是函数两个大于的不同零点列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意可知是函数两个大于的不同零点， 所以，所以的取值范围是. 故答案为： 44.【24格致10】已知为实数 ，，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 . 【答案】 【分析】令，由时，，的零点一一对应求解. 【详解】令， 设，显然，则， 所以除外，的零点一一对应， 又存在，，，使得， 所以或， 则或， 故答案为： 45.【24控江10】设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式画出大致图象，问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围. 【详解】由题设，又函数恰有三个零点， 所以与有三个交点，而的大致图象如图， 由图及已知，，即参数取值范围为. 故答案为： 46.【24晋元11】已知函数 与 的图像有3个不同公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将函数写成分段函数的形式，作出函数与的图象，数形结合即可得解. 【详解】由得，由得． ∴函数转化为， 在同一坐标系中作出函数与的图象如下图所示 由图可得：实数a的取值范围是. 故答案为：. 47.【24上中11】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有． 【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题． 48.【24敬业12】已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，对两根的来源进行分析，对分类讨论，分别求出对应的范围. 【详解】当时，令可得：或，均无解，不符合题意； 当时，令可得：或 若，由解得：符合题意. 因为函数恰有两个零点，所以只有一解， 所以符合题意，此时. 即. 若或时，无解； 要使函数恰有两个零点，则有两解， 所以需，解得：. 综上所述：. 所以a的取值范围是. 故答案为： 49.【24杨高12】已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】画出的图象如下：    因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 50.【24格致14】下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 51.【上东14】函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由得， 又函数的图象是连续不断的，且单调递增 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一， 即方程的根所在的区间是，故选：B 52.【24交附14】函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点， 即由函数在区间上没有零点，可得， 而由推不出函数在区间上没有零点，如，， 函数在区间上有零点， 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B. 53.【24复附13】小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 54.【24洋泾13】函数的零点所在的区间为（     ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】A 【分析】计算选项中区间端点对应函数值的正负，再利用零点存在定理来判断. 【详解】，， ，， ， ， 由零点存在定理结合函数在上单调递增，所以零点所在的区间为（0，1）. 故选：A. 55.【24杨高15】若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（     ） A． B．2，3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解. 【详解】由函数， 根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数， 所以函数在至多有一个零点， 又由依次确定了零点所在区间为， 可得，即，解得. 故选：A. 56.【24敬业15】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 57.【24向明15】已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 58.【24格致15】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（     ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 【答案】D 【分析】根据题意，由函数零点的定义可判断时，函数有两个零点，然后结合函数奇偶性的性质，即可得到时的零点，从而得到结果. 【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，故，即0是函数的一个零点； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，且， 即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点， 又函数是定义在R上的奇函数， 故函数在和也内各有一个零点， 综合上述可知函数有5 个零点，都不在上 故选：D 59.【24上中15】若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“换元法”把问题转化成二次函数在某区间有解的问题求解. 【详解】设，则，. 所以关于的方程有实数根，变成关于的方程在上有解. 设，，因为二次函数的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减. 所以关于的方程在上有解. 故选：D （六）用函数的观点求解方程与不等式 60.【24华东模范5】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式化为求解即可. 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 61.【24延安8】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】令，得用函数的单调性及可求不等式的解集. 【详解】令，因为均在上严格单调递增， 所以在上严格单调递增，又， 所以当时，，所以不等式的解集是. 故答案为：. 62.【24杨高10】已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若实数且，函数单调递增， 则有，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 63.【24华二10】已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为 . 【答案】 【详解】构造函数，对任意时，有成立，即，即在上单调递增，原不等式 即，得到，即，解得，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，属于难题. 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据已知条件的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 64.【24敬业14】“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用函数在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，结合为增函数，可得， 由，结合为增函数，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. （七）拓展：周期性，性质综合 65.【24上实7】已知函数 是奇函数. 其定义域为，且满足，当 时，，则 . 【答案】 【分析】由函数的周期性、奇函数的性质以及对数、指数运算即可得解. 【详解】由题意，所以是周期为4的周期函数，又函数 是上的奇函数， 且当 时，， 所以. 故答案为：. 66.【24复附9】已知定义在是的函数满足，且是奇函数，则 . 【答案】0 【分析】根据给定条件，结合奇函数性质探讨出函数的周期，再进函数值. 【详解】由是奇函数，得，而， 则，即，因此， 函数是周期函数，其周期为4，而，则， 所以. 故答案为：0 67.【24杨高11】设函数定义域为R，对于下列命题: ①若存在常数M，使得对任意的，都有成立，则M是函数的最大值; ②若函数的图像是一条连续不断的曲线，且对区间，有，则函数在区间上不存在零点; ③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数; ④若函数满足对任意的，任意的，都有成立，则函数在R上严格递增; 其中，所有假命题的序号为 . 【答案】①②③ 【分析】利用函数最大值的定义判断命题①；结合零点存在定理的理解，判断命题②；利用函数奇偶性的定义判断命题③；利用增函数的定义判断④. 【详解】若存在常数，使得对任意的，都有成立，若是的最大值，还需要，，命题①错误； 若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有， 则函数在区间上可能存在零点， 如函数，满足，函数区间上有零点0，命题②错误； 若函数满足对任意的，都有，则函数是偶函数， 若函数满足对任意的，都有， 则函数是奇函数，故命题③错误； 若函数满足对任意的，任意的，都有成立，则函数在R上严格递增，命题④正确. 故答案为：①②③ （八）解答题 68.【24杨高18】已知函数为幂函数，且为奇函数. （1）求的值； （2）求函数在的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先根据幂函数的定义得到，从而得到或，再根据为奇函数，即可得到答案. （2）首先根据题意得到，再利用换元法求值域即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 即或. 又因为函数为奇函数，所以，. （2）， 设，因为，所以，. 所以， 当时，，当时，，故值域为. 69.【24敬业18】设函数，其中． （1）若有两个零点．求实数的取值范围； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）根据零点定义，利用判别式即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，根据二次函数在闭区间上的单调性求出最值即可. 【详解】（1）有两个零点，即方程有两个解， 即，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）的对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以，， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，在上单调递减， 所以，. 70.【24复附18】已知函数为奇函数 （1）求：的值 （2）解关于x的不等式， 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，并根据奇函数的定义检验； （2）分析可知在上是严格增函数，根据单调性解不等式. 【详解】（1）因为的定义域为， 因为是奇函数，则，解得， 当时，则， 且，可知是奇函数， 所以. （2）由（1）可知， 因为在上是严格增函数，则在上是严格增函数， 所以在上是严格增函数， 又因为，可得 所以不等式解集为. 71.【24敬业19】已知函数（是常数）． （1）若，求函数的值域； （2）若为奇函数，求实数的值，并证明的图像始终在的图像的下方． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）时，求的值域转化为先求的范围，即可解得； （2）由函数是奇函数知恒成立，化简求解得，的图像始终在的图像的下方转化为，进行化简并结合基本不等式求解． 【详解】（1）当时，， 因为，所以，所以， 故函数的值域为. （2）因为函数是奇函数， 所以，即，即， 故且，解得：，所以，， ， ， 因为时，不存在， 所以， 即， 故的图像始终在的图像的下方. 72.【24格致19】已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 73.【24华东模范15】已知函数. （1）若函数的图象过原点，求的解析式； （2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由题设且，即可求参数值，进而写出解析式； （2）由偶函数性质得，问题化为在R上恒成立，根据求参数范围. 【详解】（1）由题设，而，则，可得或， 当时，；当时，. （2）由题设，则， 所以恒成立，即， 所以，即在R上恒成立， 所以，即，可得. 74.【24上中19】已知函数． （1）当时，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1）在上是增函数，证明见解析； （2）当时，为奇函数；当时，为偶函数； 当且时，为非奇非偶函数；理由见解析． 【分析】（1）在上为增函数，按照取值、作差、变形、判号、下结论这5个步骤证明即可得解； （2）利用奇偶函数的定义讨论可得答案. 【详解】（1）当时，在上是增函数， 证明：任取，则， 因为，所以，即，所以，即， 所以在上是增函数. （2）因为， 所以当时，恒成立，即恒成立，此时为奇函数； 因为， 所以当时，，即恒成立，此时为偶函数； 当且时，为非奇非偶函数. 【点睛】关键点点睛：掌握函数单调性与奇偶性的定义是解题关键. 75.【24敬业20】已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是严格增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 76.【24杨高20】已知函数． （1）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）严格单调递增；证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得； （2）利用函数单调性即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【详解】（1）根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； （2）根据题意，函数．则，， ∵，∴， 又函数在上单调递增，则有， 故不等式的解集为． （3）根据题意，若关于的方程只有一个实根， 即方程有且只有一个实数解． 令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或，若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 77.【24金中20】已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以的值域为； （2）令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 78.【24复附20】若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. （1）求证：对于任意，均有 （2）若为上的严格增函数，求证：为上的严格增函数 （3）若的图像是一条连续曲线，且在上的最大值为，求：的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）因为，即可得到结论. （2）利用严格增函数的定义即可证明. （3）由零点存在定理即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以对于任意，均有： （2）任取，由于为上的严格增函数.所以， 于是， 故， 所以. 从而为上的严格增函数： （3）假设存在，使得. 令，则， 又因为的图像是一段连续曲线，根据零点存在定理， 存在，使，即， 与（1）中对任意的，有矛盾， 所以当时，. 又，所以当时，. 即在上的最大值为 又因为对任意的，有， 所以. 七、应用题 1.【24上中18】已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担， （1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系： （2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少? 【答案】（1），； （2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元. 【分析】（1）依题意设车速为，即可得到函数解析式； （2）利用基本不等式求最值，即可得解． 【详解】解：（1）设车速为，则时间为， 依题意可得，； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2.【24上东19】2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； （1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ （2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【答案】（1）245万元； （2）每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元 【分析】（1）根据供货价格的固定价格和浮动价格的概念，将单价售价为85元代入求解即可； （2）分类讨论，分别求出当和当时的销售量和供货价，从而可得单价利润，继而利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润，即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 3.【24控江19】某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】（1）不获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 （2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； （2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论. 【详解】（1）当时，该项目获利为S， 则， 当时，，因此，该项目不会获利, 当时，S取得最大值， 所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. （2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200； 因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 4.【24晋元19】某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值（单位：EXP）与游玩时间 （单位：小时）满足关系式： ； ②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）； ③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）当时，写出累计经验值E与游玩时间 的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 【答案】（1），（EXP）；（2） 【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算； （2）根据题意可得当时，恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算. 【详解】（1）由题意可得：当时，则，且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：. 若，则，所以（EXP）. （2）由（1）可得：，则， 由题意可得：当时，恒成立， 整理得对任意恒成立， 因为的开口向上，对称轴， 则时，取到最小值， 可得，解得，所以实数的取值范围为. 5.【24交附19】在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. （2）由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 6.【24杨高19】诺贝尔奖的发放方式为:每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学或医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为. （1）请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）? （2）设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符，并说明理由. 【答案】（1）万美元；万美元；（2）相符，理由见解析 【分析】（1）由题意先求得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额和每项奖金发放额即可； （2）由题意先求得，和，结合指数式的特点，由此归纳出的表达式，再计算出2011年诺贝尔奖发放后基金总额及2012年诺贝尔奖各项奖金发放金额，从而判断出新闻的真实性． 【详解】（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元； 每项奖金发放额为万美元； （2）由题意知：，， ， 所以，． 则2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为， 即2012年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元，计算结果与新闻相符． 7.【24华二19】汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 【答案】（1），3.1（秒） （2）汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 【分析】（1）根据题意可得的表达式，利用基本不等式即可求出所求最短时间； （2）由题意可列出相应不等式，化为一元二次不等式即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，，当时，， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定障碍物的时间，即最短时间为3.1秒； （2）根据题意，要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由得，，即， 解得，（米/秒），（千米/小时）， 汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 8.【24格致20】某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； （2）已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于的函数关系，即可求解； （2）根据（1）的结果，转化为不等式，参变分离后，转化为求函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）由题意可得： 甲队的报价为元，， （2）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $