专题三、幂指对运算及幂指对函数汇编-上海市2025-2026学年高一上学期数学期末复习

专题三、幂指对运算及幂指对函数 【知识梳理】 1. 幂运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减 2. 指对互化： 3. 对数运算：（1）常值：，， （2）积商：， （3）（真数幂），（底数幂）， （4）（换底），（倒数） （5）恒等式： （），（） 【期末真题】 1.【24敬业2】已知且，若，，则 . 2.【24上中2】已知，试用表示 ． 3.【24华二4】的值是 . 4.【24华东模范4】已知，则 ．（用m，n表示） 5.【24复附5】已知，，则 . 6.【24金中7】已知，则 （用表示）． 7.【24延安6】已知，则用表示为 ． 8.【24向明8】已知，则 ．（用的代数式子表示） 9.【24洋泾7】方程的解为 . 10.【24杨高7】记，那么 . 11.【24华东模范8】已知，，当变化时，最小值为4，则 . 12.【24敬业9】函数的最小值为 . 13.【24华二9】， . 14.【24进才15】已知，，且，则ab的最小值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 15.【24复附14】近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（     ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 16.【24行知15】猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（     ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 17.【24华二15】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（     ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 四、幂指对函数 【知识梳理】 1. 幂函数 （1）定义：（）【系数为1】 幂的基本不等式：当，时， （2）图像：①当时，下凹严格增 ②当时，正比例严格增 ③当时，上凸严格增 ④当时，反比例严格减 （3）性质：①当时，函数过定点、，在上严格增 ②当时，函数过定点，在上严格减，坐标轴为渐近线 ③，奇分之奇仍为奇，奇分之偶方为偶，分母偶数两不是 2. 指数函数与对数函数 名称 指数函数： 对数函数： 图像 性质 （1）定义域为，值域为 （1）定义域为，值域为 （2）横过定点 （2）横过定点 （3），在上严格增； ，在上严格减 （3），在上严格增； ，在上严格减 关系 指数函数与对数函数的图像关于直线对称 【期末真题】 （一）幂指对函数定义 1.【24晋元3】若幂函数的图象经过点，则实数 . 2.【24格致3】已知函数（，且）的图象过点，则 . 3.【24同一4】已知幂函数的图像经过点，则 ． 4.【24金中5】已知幂函数的图象过点，则 ． 5.【24交附13】幂函数的图像过点，则的值为（     ） A．64 B．2 C．16 D．8 （二）恒过定点 （1）指数函数，； （2）对数函数， 6.【24复附1】函数且的图像必过的定点坐标为 . 7.【24杨高2】函数过定点 . 8.【24交附5】函数（常数且）的图像总是经过点 . （三）幂函数的图像与性质 9.【24华东模范2】对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 10.【24进才6】已知幂函数在上是严格减函数，则 . 11.【24格致8】已知，则实数的取值范围是 ． 12.【24上中9】已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ． 13.【24行知14】下列关于幂函数的描述中，正确的是（     ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 14.【24上实15】幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. （四）幂函数拓展 【分离常数法】，对称中心 15.【24上中5】若函数的对称中心是则 16.【24上实11】函数的值域是（     ） A． B． C． D． 17.【24华二14】已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． （五）指数函数与对数函数的图像与性质 18.【24敬业7】若集合，则 . 19.【24复附7】若，则集合共有 个元素. 20.【24延安7】对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 21.【24同一8】设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为 . 22.【24建平10】已知函数有两个零点，若，则实数 ． 23.【24宜川14】已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（     ） A． B． C． D． 24.【24同一15】已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 25.【24交附18】已知函数，且为常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 26.【24建平18】已知函数，其中． （1）若，求方程的解集； （2）若，求不等式的解集． 27.【24吴淞20】已知，函数； （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三、幂指对运算及幂指对函数 【知识梳理】 1. 幂运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减 2. 指对互化： 3. 对数运算：（1）常值：，， （2）积商：， （3）（真数幂），（底数幂）， （4）（换底），（倒数） （5）恒等式： （），（） 【期末真题】 1.【24敬业2】已知且，若，，则 . 【答案】6 【分析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可. 【详解】，同理： ∴. 故答案为：6. 【点睛】对数运算技巧： （1）指数式与对数式互化； （2）灵活应用对数的运算性质； （3） 逆用法则、公式； (4) 应用换底公式，化为同底结构． 2.【24上中2】已知，试用表示 ． 【答案】 【分析】根据对数运算性质，，代入求解即可. 【详解】由， ∵，∴， ∴=，故答案为：. 【点睛】本题考查对数的运算性质，主要考查计算能力和对数运算性质的灵活应用，属于基础题. 3.【24华二4】的值是 . 【答案】1 【分析】利用换底公式计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为：1 4.【24华东模范4】已知，则 ．（用m，n表示） 【答案】 【分析】利用指数式和对数式的互换得到，，然后利用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意得，，所以. 故答案为：. 5.【24复附5】已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则，又因为，则. 故答案为：. 6.【24金中7】已知，则 （用表示）． 【答案】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 7.【24延安6】已知，则用表示为 ． 【答案】 【分析】由换底公式和对数的计算公式即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 8.【24向明8】已知，则 ．（用的代数式子表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算即可得． 【详解】由，，则．故答案为：． 9.【24洋泾7】方程的解为 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则将对数方程转化为关于的方程组，求解即可． 【详解】原方程可化为，即. 所以，即，解得 或. 又 且，所以 .所以不满足题意， 因此应舍去.故方程的解为. 故答案为. 【点睛】本题考查解对数方程，求解对数方程时，利用对数运算性质转化为关于真数的方程时，要注意等价变化，同时要满足真数大于0的条件，是基础题． 10.【24杨高7】记，那么 . 【答案】1 【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值. 【详解】 . 故答案为：1 【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型. 11.【24华东模范8】已知，，当变化时，最小值为4，则 . 【答案】2 【分析】利用换底公式结合基本不等式确定的最小值表达式，结合题意可得方程，即可求得答案. 【详解】由题意得，， ，当且仅当即时取等号， ∴，此时，适合题意， 故答案为：2 12.【24敬业9】函数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【详解】， 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故答案为：. 13.【24华二9】， 【答案】 【分析】根据题意求出，然后分组求和即可求出结果. 【详解】因为，所以 ， 则 . 故答案为：. 14.【24进才15】已知，，且，则ab的最小值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值. 【详解】∵，∴，即：∴， ∵，，∴，， ∴，当且仅当即时取等号， 即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16. 故选：C. 15.【24复附14】近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（     ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 【答案】B 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意得，即，可得，所以. 故选：B. 16.【24行知15】猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（     ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由题意得，然后求解不等式，利用换底公式代入求解即可. 【详解】由题意得：，即， 所以，两边取对数得：， 因为，所以的最小值为，所以. 故选：B 17.【24华二15】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（     ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因， 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 四、幂指对函数 【知识梳理】 1. 幂函数 （1）定义：（）【系数为1】 幂的基本不等式：当，时， （2）图像：①当时，下凹严格增 ②当时，正比例严格增 ③当时，上凸严格增 ④当时，反比例严格减 （3）性质：①当时，函数过定点、，在上严格增 ②当时，函数过定点，在上严格减，坐标轴为渐近线 ③，奇分之奇仍为奇，奇分之偶方为偶，分母偶数两不是 2. 指数函数与对数函数 名称 指数函数： 对数函数： 图像 性质 （1）定义域为，值域为 （1）定义域为，值域为 （2）横过定点 （2）横过定点 （3），在上严格增； ，在上严格减 （3），在上严格增； ，在上严格减 关系 指数函数与对数函数的图像关于直线对称 【期末真题】 （一）幂指对函数定义 1.【24晋元3】若幂函数的图象经过点，则实数 . 【答案】4 【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 所以，所以， 故答案为：4. 2.【24格致3】已知函数（，且）的图象过点，则 . 【答案】2 【分析】根据指数函数经过的点即可求解. 【详解】将代入得， 故答案为：2 3.【24同一4】已知幂函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答. 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即， 所以. 故答案为： 4.【24金中5】已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】4 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值 【详解】解：由题意令，由于图象过点，得， ．故答案为：4． 【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题． 5.【24交附13】幂函数的图像过点，则的值为（     ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. （二）恒过定点 （1）指数函数，；（2）对数函数， 6.【24复附1】函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则，所以定点坐标为. 故答案为：. 7.【24杨高2】函数过定点 . 【答案】 【分析】由，令即可得解. 【详解】由题意得，函数，令，即时，解得，即函数的图象过定点. 故答案为：. 8.【24交附5】函数（常数且）的图像总是经过点 . 【答案】 【分析】根据指数型函数的性质判断. 【详解】当时，，所以函数图象总经过. 故答案为：. （三）幂函数的图像与性质 9.【24华东模范2】对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 【答案】四 【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 10.【24进才6】已知幂函数在上是严格减函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由题意，可得，解得. 故答案为：. 11.【24格致8】已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 12.【24上中9】已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数的性质求解即可 【详解】解：因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负奇数， 因为，所以，故答案为： 13.【24行知14】下列关于幂函数的描述中，正确的是（     ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 14.【24上实15】幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 【详解】（1）因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. （2）对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. （四）幂函数拓展 【分离常数法】，对称中心 15.【24上中5】若函数的对称中心是则 【答案】1 【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值. 【详解】因为函数的对称中心是， 所以. 即. 整理得：， 所以，所以. 故答案为：1 16.【24上实11】函数的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：，则，故值域为. 故选：C. 17.【24华二14】已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. （五）指数函数与对数函数的图像与性质 18.【24敬业7】若集合，则 . 【答案】； 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故，故答案为：. 19.【24复附7】若，则集合共有 个元素. 【答案】2 【分析】根据题意结合对数函数单调性化简集合，即可得结果. 【详解】因为， 则， 所以，共有2个元素. 故答案为：2. 20.【24延安7】对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，对数函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大2， 所以，解得. 故答案为：. 21.【24同一8】设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性法则以及指数、对数函数的单调性求得结果. 【详解】因为函数在R上严格增函数， 所以，又， 所以，即. 故答案为：. 22.【24建平10】已知函数有两个零点，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据方程有两解，数形结合求得的范围，以及满足的等量关系，结合已知条件，求得，代入即可求得参数的值. 【详解】根据题意，方程有两解，不妨设， 则与图象有两个交点，且横坐标分别为； 数形结合可知，，，， 则，即； 又因为，则，不妨设，则， 消元可得，整理得，则， 又，则，也即，则，故. 故答案为：. 23.【24宜川14】已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 24.【24同一15】已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示， 令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 25.【24交附18】已知函数，且为常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； （2）， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 26.【24建平18】已知函数，其中． （1）若，求方程的解集； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据求出的值，利用对数的运算法则和对数函数的单调性求解即可； （2）由得，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1），因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以方程的解集为； （2）因为，即， 因为，所以函数在单调递减，所以， 则不等式，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 27.【24吴淞20】已知，函数； （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可； （2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可. 【详解】（1）由已知 时， 不等式 等价于 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以不等式 的解集为 ． （2）因为函数 的值域为， 即 的值域为， 故 能够取到一切大于0的实数， 当时， ，不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时，根据二次函数的图象和性质可得 ，解得或，所以； 综上所述：的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $