专题二、等式与不等式 汇编-上海市2025-2026学年高一上学期数学期末复习

专题二、等式与不等式 【知识梳理】 1. 等式&方程：韦达定理 2. 不等式的基本性质：（1）作差法；（2）分类讨论； 3. 不等式的求解：（1）一元一次不等式；（2）一元二次不等式：，两根之间，两根之外 （3）分式不等式：同解变形，去分母 （4）绝对值不等式：；双绝对值【零点分段法】，（＋）平底锅，（－）Z字型 （5）指数对数不等式： （I）【化同底】 （II）【“坐同骑”】 4. 基本不等式 （1）平均值不等式：，； （2）三角不等式：，当且仅当时取等 【期末真题】 （1） 等式（韦达定理）与不等式 1.【24杨高3】已知方程的两根为，，则 . 【答案】 【分析】易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值. 【详解】由题设知：，∴，， ∴. 故答案为：. 2.【24行知4】已知关于的方程的解集为，判断大小关系： ． 【答案】> 【分析】根据方程的解集为，由判别式求得k的范围，再结合韦达定理求解. 【详解】因为方程的解集为，所以，解得， 又，所以>．故答案为：> 3.【24行知5】对任意的，等式恒成立，则实数= ． 【答案】 【分析】因为对任意的，方程恒成立，所以，且，求解即可. 【详解】由题意，得，解得. 故答案为：. 4.【24向明14】若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 5.【24华二6】不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于，当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解； 综上，. 故答案为： 6.【24进才2】已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助不等式的性质计算即可得. 【详解】由，，则. 故答案为：. 7.【24控江13】已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过取，即可判断出选项A，C和D的正误，对于B，通过作差，即可求解. 【详解】取，显然满足，此时，，， 所以选项A，C和D错误， 对于选项B，因为， 又，所以，得到，即，所以选项B正确， 故选：B. 8.【24金中13】如果，那么下列不等式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析每一个选项判断得解． 【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确； 对于选项B，因为，所以，所以该选项正确； 对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误； 对于选项D，所以，所以该选项正确． 故选：C 9.【24敬业13】已知且，则下列关系中恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AC，举反例即可排除； 对于B，利用指数函数的单调性即可排除； 对于D，利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A，令，则，但，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，，所以，故B错误； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故， 因为，所以，故D正确. 故选：D. 10.【24上中14】若，，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质即可判断． 【详解】因为，所以，又，所以，所以：. 故选：C 11.【24华东模范14】考查关于x的方程． （1）若该方程的两个实数根，满足，求实数t的值； （2）若该方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据根的判别式及韦达定理求解即可； （2）化简方程为，令，转化问题为方程有且仅有一个实数根，进而结合对勾函数图象求解即可. 【详解】（1）由题意，得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去）， 所以. （2）由，， 即 即， 令， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；时，；时，，如图， 所以要使方程只有一个实数根， 则或， 解得或， 所以实数t的取值范围为．    （二）分式不等式与绝对值不等式 12.【24宜川2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】不等式等价于，求解即可. 【详解】不等式， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13.【24格致2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为，即可求得解集. 【详解】解：因为，，所以，即， 所以，且，解得且. 所以解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查含绝对值的分式不等式的解法，注意分母不等于零是易错点. 14.【24杨高5】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解， 【详解】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 故答案为： 15.【24上中4】不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】利用数轴穿根法解分式不等式，不等式首先进行移项再通分变形为分式不等式的标准形式，然后转化为整式不等式进行求解，两不等式的解集取交集即为所求. 【详解】， 根据数轴穿根法可解得或， ，解得或或， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】分式不等式的解法：（1）标准化：移项通分化为（或）；（或）的形式； （2）转化为整式不等式（组）；. 16.【24交附17】已知集合，． （1）若，求和B； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. （2） 因为“”是“”的充分不必要条件，所以，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立，解得，即的取值范围为． （三）一元二次不等式 17.【24上实6】甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答. 【详解】依题意，，，即， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 18.【24华东模范6】若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 19.【24金中15】设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或， 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 20.【24同一17】已知． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 21.【24金中18】已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解不等式，可得其解集； （2）利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用韦达定理可得出关于的函数关系式，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. （2）关于的方程有两个不相等的正实数根、， 所以，，解得， 因为， 因为，则，故. 故的取值范围为. 22.【24华二18】已知表示不超过的最大整数，例如 ， .若，那么. （1）方程的解集为，求集合. （2）利用（1）的结果，若，且，则求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用取整函数的定义来确定范围求解即可； （2）根据题意，分类讨论解二次不等式得出集合，结合求解. 【详解】（1）由题意得： ， 所以 （2）由， 当时，，， 所以，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，， 所以， 综上， （四）平均值不等式 23.【24交附4】若，则的最小值是 . 【答案】5 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴当时，取得最小值5. 故答案为：5． 24【24建平5】已知实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将目标式配凑为，再根据基本不等式由，求得的最大值，再求目标式的最小值即可. 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故答案为：. 25.【24行知6】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以由基本不等式可得： ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 26.【24向明5】已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 27.【24敬业6】已知正实数满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由条件可得，结合二次函数性质求结论. 【详解】由已知，， 所以，， 所以， 所以当时（此时），取最大值，最大值为. 故答案为：. 28.【24格致7】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 29.【24金中11】已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】根据结合基本不等式即可得解. 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 30.【24华二13】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 31.【24行知19】某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. （五）三角不等式 32.【24进才4】函数的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用绝对值不等式可求该函数的最小值. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 故的最小值为6. 故答案为：6 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立，本题属于基础题. 33.【24晋元6】方程的解集为 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集. 【详解】由绝对值三角不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的解集为. 故答案为：. 34.【24杨高8】关于x的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】分，，和，讨论求解. 【详解】解：当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，恒成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 所以原不等式的解集为，故答案为： 35.【24金中8】已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 36.【24华东模范9】若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题二、等式与不等式 【知识梳理】 1.等式&方程：韦达定理 2.不等式的基本性质：(1)作差法；(2)分类讨论； 3.不等式的求解： (1)一元一次不等式： (2)一元二次不等式：a>0,两根之间，两根之外 (3)分式不等式：同解变形，去分母 (4)绝对值不等式： Vx2== x,x≥0 双绝对值【零点分段法】 (十)平底锅， -x,x<0 （一)Z字型 (5)指数对数不等式： (I)a/)<b→a/)<a.b【化同底】 (II)log。f(x)<b→log。f(x)<log。a9 【“坐同骑”】 4.基本不等式 (1)平均值不等式：a+b≥2√ab,ab≤ a+b (2)三角不等式：4+b≥a+b,当且仅当ab≥0时取等 【期末真题】 (一)等式（韦达定理）与不等式 1.【24杨高3】己知方程x2+x-3=0的两根为x,x2,则x1-x2= 2.【24行知4】已知关于x的方程x2-4x+k=0的解集为{x,x2},判断大小关系：x+2一 XX2. 3.【24行知5】对任意的x∈R,等式(m2+m)x=m2-1恒成立，则实数m= 4.【24向明14】若关于x的不等式x2+2(m-1x+m2-m<0的解集为x1,x2,且 上+L=2,则实数m的值为（） x X2 A.-4 B.-1 C.1 D.4 x<5 5.【24华二6】不等式组 无实数解，则m的取值范围是 x>m 6.【24进才2】已知1<x<3,-2<y<4,则x+y的取值范围是 7.【24控江13】已知a,b∈R,且满足a>b,则下列不等式中恒成立的是() A.b>1 B.a>b C. D.a2>b2 8.【24金中13】如果b<a<0,那么下列不等式中错误的是() 11 A.c+b<c+a B.a2<b2 C.be2<ac2 D. a b 9.【24敬业13】已知a,bceR且a<b,则下列关系中恒成立的是() 11 A. ab B.2°>2 b C.ac2<be2 D.2+i2+ 10.【24上中14】若a>b>0,c<d<0,则一定有() A.ad >bc B.ad <bc C.ac<bd D.ac>bd 11.【24华东模范14】考查关于x的方程x2-(3-)x+2+1=0. （1)若该方程的两个实数根x,2满足(x+x2)xx2=-6,求实数t的值； (2)若该方程在区间[0,2]上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围， 2 (二)分式不等式与绝对值不等式 12【24宜川2】不等式x工的解集为 x+1x+1 3【24格致2】不等式≥的解集为 14.【24杨高5】不等式，x+5。≥1的解集为」 x2+2x+3 15.【24上中4】不等式0< <2-7x+12≤1的解集为 16【24交时171已知案合4=-小2,8=<0 (1)若a=2,求A和B; (2)若“x∈B”是“xeA”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 3 (三)一元二次不等式 17.【24上实6】甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集 为-3,2)，乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为」 18.【24华东模范6】若关于x的不等式a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集，则实数 a的取值范围为. 19.【24金中15】设集合A={xx2+2x-3>0,集合B={xx2-2ax-1≤0，a>0,若AnB 中恰有一个整数，则实数α的取值范围() [34 B.43 c.a D.(1,+0） 20.【24同一17】已知f(x)=x2-(a+1)x+a. (①)若f>恒成立，求实数a的以值范国： (2)求不等式f(x>0的解集. 21.【24金中18】已知函数f(x=ax2-2ax-3 (1)若a=1,求不等式f(x)≥0的解集； (2)若关于x的方程∫(x=0有两个不相等的正实数根x,、x2,求a的取值范围和x+x的 取值范围 22.【24华二18】己知[x表示不超过x的最大整数，例如2.3]=2，[-0.8]=-1若[x]=", 那么n≤x<n+1. (1)方程1+x-1=3的解集为A,求集合A. (2)利用(1)的结果，若B={x2x2-11kx+15k2>0,且AUB=R,则求k的取值范围 (四)平均值不等式 23.【24交附4】若x>1,则x+4的最小值是」 x-1 24【24建平5】已知实数a,b满足a+b=4,则a2+b2的最小值为一 25.【24行知6】已知x>0,y>0,且y=4,则x+2y的最小值为 26.【24向明5】已知正实数a,b满足+2-1，则2a+b的最小值为一 a b 1 27.【24敬业6】已知正实数x,y满足2x+=1,则二的最大值为 28.【24格致7】已知实数a、b满足a+2b=1,则3+9的最小值为_ 6 9【24金中四已正实数a,b满定。十6+十，则+2b的最小值为 30.【24华二13】若a,b满足ab>0,则下列不等式正确的是() A.a+b≥2ab B. C.9+b≥2 D.a+b、2ab b a 2a+b 31.【24行知19】某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞 争力，决定优化产业结构，调整出xx∈N)名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人 每年创造利润为104-3x） 万元(a>0),剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高 500 0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调 整出多少名员工从事第三产业？ (2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润，则a的取值范围是多少？ > (五)三角不等式 32.【24进才4】函数y=x-3+x+3的最小值为 33.【24晋元6】方程x-1+x+2=2x+1的解集为 34.【24杨高8】关于x的方程2x-3+-x+2=x-1的解集为 35.【24金中8】已知a=-2,若不等式a+b+a-b2m恒成立，则m的取值范围为 & 36.【24华东模范9】若对任意xel,2],均有x2-a+x+a=x2+x,则实数a的取值范围 为_一 9