专题一、集合与逻辑汇编-上海市2025-2026学年高一上学期数学期末复习

专题一、集合与逻辑 【知识梳理】 1. 集合初步：元素互异性，描述法 2. 集合关系：子集，真子集（空集，子集个数） 3. 集合运算：交并补 4. 常用逻辑：充分必要条件【小推大】，反证法【正难则反】 【期末真题】 （一）集合关系与运算 1.【24敬业1】已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解. 【详解】由题意可知，解得：，故答案为： 2.【24华东模范1】已知集合，则 . 【答案】/ 【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可. 【详解】根据题意，，故. 故答案为：. 3.【24交附1】设集合，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 4.【24向明1】集合，则 . 【答案】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则. 故答案为：. 5.【24金中2】集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，. 故答案为： 6.【24晋元1】已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的概念进行求解. 【详解】根据补集的概念可得. 故答案为： 7.【24格致1】已知全集， ，则 ． 【答案】； 【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ，所以. 故答案为： 8.【24上中17】已知集合 集合 （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由求集合. （2）根据，确定集合的形式，求参数的取值范围. 【详解】（1）由，所以. （2）因为. 当即时，得或，即，此时不能成立； 当即时，得或，即，此时. 故. 所以实数的取值范围为. 9.【24敬业17】设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B． （1）若全集为R，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数函数定义域和补集相关知识求解即可； （2）根据题意得到，结合列出不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为集合A， 所以令，即，解得或， 即或，所以 （2）因为函数的定义域为集合B， 所以令，解得，所以， 因为，所以，解得， 所以实数a的取值范围为 10.【24杨高17】已知，设集合，集合. （1）分别求集合A和B； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1），或；（2） 【分析】（1）解分式不等式得到，结合，求出或； （2）根据交集的结果得到包含关系，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）， 解得，故， 因为，所以，故， 故或； （2）因为，所以，故或， 结合，解得或， 故a的取值范围是. （二）元素互异性 11.【24杨高1】已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【详解】由题意，， 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. （3） 空集 口诀：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 12.【24上中8】若集合是的子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得集合，再分集合和两种情况求得的取值范围． 【详解】由，即. 若，则，此时是的子集； 若，由得：. 综上可得：及的取值范围是. 故答案为： 13.【24晋元17】已知，集合，． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求解分式不等式可求得集合； （2）由题意可得，分，两种情况求解可得实数a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时， 若，由，得，解得， 所以，又可得，即， 当时，由，可得，所以， 又，可得， 综上所述：实数a的取值范围为． （四）充分必要条件 14.【24华二2】已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，， 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 15.【24晋元13】已知为非零实数，则“”是“”成立的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 16.【24宜川13】古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（     ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 17.【24华东模范11】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 18.【24格致13】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 19.【24上中13】若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当，即时，，故命题甲可推出命题乙； 当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲， 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题. 20.【24杨高14】已知都是正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 21.【24金中17】已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. （五）命题与反证法 22.【24控江3】陈述句“或”的否定形式为 ． 【答案】且 【分析】根据或命题的否定为且命题，注意相应条件取反，即可写出原命题的否定形式. 【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且. 故答案为：且. 23.【24向明2】设命题：存在，，则命题的否定为 . 【答案】任意， 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得结果. 【详解】命题的否定为：任意，. 故答案为：任意，. 24.【24金中6】命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围. 【详解】由可得：，解得：或， “若，则”是真命题，则能推出或成立， 则.故实数的取值范围是. 故答案为： 25.【24杨高13】用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（     ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 26.【24格致17】设.证明：若是奇数，则n是奇数. 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法，结合奇数与偶数的性质即可得解. 【详解】假设不是奇数，则是偶数，设，，则， 因为，则， 所以是偶数，即为偶数，这与已知为奇数矛盾， 所以假设不成立，即是奇数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一、集合与逻辑 【知识梳理】 1. 集合初步：元素互异性，描述法 2. 集合关系：子集，真子集（空集，子集个数） 3. 集合运算：交并补 4. 常用逻辑：充分必要条件【小推大】，反证法【正难则反】 【期末真题】 （一）集合关系与运算 1.【24敬业1】已知集合，，且，则实数的值为 . 2.【24华东模范1】已知集合，则 . 3.【24交附1】设集合，，则 ． 4.【24向明1】集合，则 . 5.【24金中2】集合，，若，则 . 6.【24晋元1】已知全集，集合，则 ． 7.【24格致1】已知全集， ，则 ． 8.【24上中17】已知集合 集合 （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 9.【24敬业17】设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B． （1）若全集为R，求； （2）若，求实数a的取值范围． 10.【24杨高17】已知，设集合，集合. （1）分别求集合A和B； （2）若，求a的取值范围. （二）元素互异性 11.【24杨高1】已知集合，且，则 ． （3） 空集 口诀：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 12.【24上中8】若集合是的子集，则的取值范围是 ． 13.【24晋元17】已知，集合，． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． （四）充分必要条件 14.【24华二2】已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 15.【24晋元13】已知为非零实数，则“”是“”成立的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 16.【24宜川13】古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（     ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 17.【24华东模范11】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 18.【24格致13】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19.【24上中13】若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 20.【24杨高14】已知都是正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 21.【24金中17】已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. （五）命题与反证法 22.【24控江3】陈述句“或”的否定形式为 ． 23.【24向明2】设命题：存在，，则命题的否定为 . 24.【24金中6】命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是 . 25.【24杨高13】用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（     ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 26.【24格致17】设.证明：若是奇数，则n是奇数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $