2026年中考数学复习训练 专题八一元一次不等式（组）

,M》M2026年中考数学必刷题（全国版） 专题八一元一次不等式（组) .一元一次不等式（组）考点1不等式的性质 1、已知a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a-1<b-1 B.<b 22 C.-a>-b D.2a>a+b 2、已知a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a-1<b-1 B.0、b 22 C.-a>-b D.2a>a+b 3、若>兰则x-y0.(填>、<或) 33 一元一次不等式（组）考点2一元一次不等式（组）的解法 x-1≥0 1、不等式组 x<3 的解集在数轴上表示正确的是() A0124 8012含45→ c1024 01024 x≤2 2、满足不等式组 的解是() x>0 A.-3 B.-1 C.1 D.3 [2x+1>5 3、不等式组 的解集是() 1-3x≥-8 A.x<2 B.x≥3 C.2<x≤3 D.无解 4、下列不等式组无解的是（) x>2 x>2 A B. x>-1 lx<-1 c.r<2 x<2 D. x<-1 x>-1 5、不等式x-3>2的解集为() A.x>5 B.x<5 C.x>-1 D.x<-1 x≥-2 7、不等式组 的解集是 2x-3<5 2x≥x-1① 8、解一元一次方程组 x+2<3g’ 1 并在数轴上表示. 解：由不等式①得： 由不等式②得： 在数轴上表示为： -5-4-3-2-1012345 所以，原不等式组的解集为」 3x+3>0 9、解不等式组： 4x-3<3x-1'并在数轴上表示其解集. 210123→ 2x-3≤0 10、关于×的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是」 x-a>0 11、解不等式： 3x-2_x+3≤1： 63 12、对于x、y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组 G(a,1-2a2-2 G-2a,1+4a)>p恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是一. 13、解不等式：3x-1s2x+1 并把解集表示在数轴上. 2-3 -3-2-10123 [-2x≤4 14、解不等式组： 2 15、(1)解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； (2)解不等式3-x<5,并在如图所给的数轴上表示其解集； 2x≤6 (3)直接写出不等式组 的解集. 3-x<5 4-3-2101234> 3x-5≤1① 16、解不等式组 2x+1>x② 2x-2<x① 17、求不等式组： x-1s2x-10 的所有整数解. 23 [2(x+1)>x-1 18、解不等式组： [4x-3≤x 19、解不等式组 3(x+1)>2x'并写出它的所有负整数解. 2x+1>x-1① 20、解不等式组： 3(x-2)<x+2② 并把解集数轴上表示出来. 5-43-2-1012345 一元一次不等式（组）考点3一元一次不等式（组)的应用 1、采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得 10分.答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少 要答对的题数是( A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 2、若关于x的不等式组 3x-1≤x+2 2 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程 x+1≥-x+a a-1=2- 3 的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为() x-1 1-x A.8 B.14 C.18 D.38 aa≥b) 3、对于任意实数a,b,定义新运算：a※b= -a(a<b,给出下列结论：①8x2=8 ;②若x※3=6，则x=6;③a※b=(-a)※(-b);④若(2x-4)※2<5x,则x的 取值范围为x>号·其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 4、阅读材料，回答问题. 主 两个正数的积与商的位数探究 题 提 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式 出 “46×2=92:35×21=735;663×11=7293;186×362=67332”,猜想：m位 问 题 的正整数与n位的正整数的乘积是一个(m+n-1)位的正整数， 分 析 问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 探 究 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的 乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行 推 推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10”，则称这个数的位数是 广 n+1,数字是a. 延 伸 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题， 命题：若正数A,B,C的位数分别为m,n,p,数字分别为a,b,c,且 AxB=C,则必有c≥a且c≥b,或c<a且c<b.并且，当≥a且c≥b时， p=m+n-1;当c<a且c<b时，p=m+n. 证明：依题意知，A,B,C用科学记数法可分别表示为 a×10m-1,b×10-,c×10,其中a,b,c均为正数. 由A×B=C,得ab×10m+m-2=cx10P-1, 即b=10-1.*) 当c≥a且c≥6时，“≤1，所以b≤b<10,又b≥>，所以 cc 10 1 ab <10.由(*)知， 10c ab=l,所以p=m+n-1: 1 ab≤b<1 当c≥a且c<b时， c 所以1<b<10, b ，所以 2>a21 a >1 c c 与(*)矛盾，不合题意： 当c<a且c≥b时， ①】 当c<a且c<b时， (②】 综上所述，命题成立 拓 展 问题2若正数A,B的位数分别为m,,那么的位数是多少？证明你的结 B 迁 论 移 (1)解决问题1： (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2. 5、某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型 机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A 型机器人单价低3万元. (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型 号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有 配备方案 专题八一元一次不等式（组） .一元一次不等式（组）考点1不等式的性质 1、已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2、已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 3、若则______0．（填、或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 一元一次不等式（组）考点2一元一次不等式（组）的解法 1、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 2、满足不等式组的解是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后逐项分析即可． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 【详解】原不等式组为：， 联立两个不等式，解集为 ． A. ：不满足 ，排除． B. ：不满足 ，排除． C. 1：满足 ，符合条件． D. 3：不满足 ，排除． 故选： C． 3、不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为：； 故选C． 4、下列不等式组无解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 5、不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 6、不等式组的整数解有_______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 7、不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 8、解一元一次方程组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 9、解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 在数轴上表示其解集如下： ∴不等式组的解集为：． 10、关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 11、解不等式：； 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； 【详解】解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； 12、对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 13、解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等考点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 数轴表示为： 14、解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 15、（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 16、解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法和步骤是解题的关键．分别解两个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找来确定不等式组的解集即可． 【详解】解：由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 17、求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 18、解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 19、解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 20、解不等式组：并把解集数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，              所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 一元一次不等式（组）考点3一元一次不等式（组）的应用 1、采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 【答案】C 【解析】 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 2、若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A. 8 B. 14 C. 18 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 3、对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 4、阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【答案】（1）小明的猜想不正确，反例： （2）见解析 （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【解析】 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【小问1详解】 解：小明的猜想不正确． 反例：． 【小问2详解】 证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． 【小问3详解】 解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 5、某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． 【小问2详解】 设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 学科网（北京）股份有限公司 $