抛物线及其标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的定义、四种标准方程及参数p的几何意义，系统梳理由方程求焦点准线、求标准方程的方法，通过定义辨析、焦点准线、标准方程、参数求解、最值问题、轨迹问题等题型，构建从概念到应用的学习支架。 该资料以题型为载体融合核心素养，定义辨析题（如例1判断轨迹类型）培养抽象能力，引导用数学眼光观察距离关系；最值问题（如例1周长最小值）通过定义转化发展逻辑推理（数学思维）；轨迹问题训练用方程表达几何关系（数学语言）。课中助力分层教学，课后变式训练帮助巩固知识，弥补薄弱环节。

第21讲 抛物线及其标准方程 知识再现 一.抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二．抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 三．解题技巧与方法 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型一：抛物线的定义及辨析 例1.到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 例2.点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例3..已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 变式训练 1.点到直线的距离比到点F(0，-1)的距离大，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2.若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型二：求抛物线的焦点或准线 例1.抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 例2.抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 例3.抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 变式训练 1.已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2.抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型三：求抛物线的标准方程 例1.过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 例2.焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 例3．已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 变式训练 1.抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，则的准线方程为 ． 2.已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型四.根据抛物线的方程求参数 例1.设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 例2．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 例3.．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 变式训练 1．已知抛物线上一点，F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 . 4．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离等于，则 ． 题型五：利用定义解决最值问题 例1.已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2.已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．10 B． C．11 D． 例3.已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式训练 1.设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 2.已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 3．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为 . 4．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 5．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 题型六：与抛物线有关的轨迹问题 例1.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例2.点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为 ． 例3.在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 变式训练 1.过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 2.如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 3.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 抛物线及其标准方程 知识再现 一.抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二．抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 三．解题技巧与方法 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型一：抛物线的定义及辨析 例1.到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义判断即可 【详解】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等， 所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 故选：C． 例2.点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点到点的距离比它到直线的距离小2可以转化为点到直线的距离等于它到点的距离可得答案. 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离少2， 所以将直线左移2个单位，得到直线，即， 可得点到直线的距离等于它到点的距离， 根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得， 所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.故选：B． 例3..已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【解析】方程变形为， 表示动点到点和直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，故选：C. 变式训练 1.点到直线的距离比到点F(0，-1)的距离大，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，点在的下方，故点到直线的距离和到点F(0，-1)的距离相等，可得点的轨迹为以F(0，-1)为焦点，以直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点F(0，-1)的距离相等， 所以点的轨迹为以F(0，-1)为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 2.若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】等式左侧表示点与点间的距离， 等式右侧表示到直线的距离， 整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上， 所以点轨迹为抛物线. 故选：D. 题型二：求抛物线的焦点或准线 例1.抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为：.故选：D 例2.抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】得到，则焦点坐标为．故选：D. 例3.抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据条件求出的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果. 【解答过程】因为抛物线：过点，所以，故抛物线：， 所以的焦点到准线的距离为. 故选：B. 变式训练 1.已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为.故选：B. 2.抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即得，所以即， 所以准线方程为.故选：A. 3.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解题思路】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可． 【解答过程】设点，， ， 或（舍去）， ， 到抛物线的准线的距离， 点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离， 点到该抛物线焦点的距离为． 故选：C. 题型三：求抛物线的标准方程 例1.过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是.故选：B 例2.焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程. 【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上， 故抛物线的标准方程是.故选：D 例3．已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可. 【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或， 所以其对应标准方程为为或.故选：D 变式训练 1.抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】把抛物线化为标准方程，可得焦点坐标和准线方程，由旋转方向和角度可求旋转后的焦点坐标和准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为， 将抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，其焦点为， 故抛物线的准线方程为． 故答案为：. 2.已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为．故选：D． 3.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为，故选：C 题型四.根据抛物线的方程求参数 例1.设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 【答案】B 【分析】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值. 【详解】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以， 将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限， 所以. 故选：. 例2．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值. 【详解】设抛物线C的准线与x轴交于点Q， 过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H， ∴，，由抛物线的定义知， ∵，∴，， ∴，解得．故选：D． 例3.．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案. 【详解】由题意点为抛物线上一点可得， 即，则的面积， 解得，故选：C 变式训练 1．已知抛物线上一点，F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点B坐标，利用向量关系求出，进而求出. 【详解】由题意得：，设，因为，即， 所以，解得：，故，当时，， 所以. 故选：C 2．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线定义结合已知条件列出方程组，求解方程组作答. 【详解】抛物线：的焦点，准线， 由点到的距离为得：，即， 由点在抛物线上得：，因此有，整理得，而，解得，所以.故选：C 3．已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果. 【详解】由得，，故， 因为轴，所以，， 又，所以，得，又，所以.故答案为：. 4．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离等于，则 ． 【答案】 【分析】设抛物线方程，可知；由抛物线焦半径公式可构造方程求得，将代入抛物线方程即可求得的值. 【详解】设抛物线方程为：，是抛物线上一点，； 由抛物线焦半径公式知：，解得：，抛物线方程为：， ，解得：.故答案为：. 题型五：利用定义解决最值问题 例1.已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为.故选：C. 例2.已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【解析】因为M的准线方程为， 所以由抛物线焦半径公式得，故， 所以 当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立， 所以的最小值为．故选：B 例3.已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意知是抛物线的焦点， 抛物线准线方程为：，过点 作垂直于准线，垂足为, 即点到抛物线线的准线的距离为：； 圆是圆心为，半径的圆， 根据抛物线定义有：， 因为点是圆上的一点， 所以，即， 由此有：， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值， 所以， 所以的最小值为6.故选：B. 变式训练 1.设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 【答案】B 【解析】抛物线的焦点，准线， 过点作于，垂直于直线于点，显然， 点到直线的距离， 则， 当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以的最小值为2.故选：B 2.已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直准线交于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 即平行于轴时取最小值，此时，则，即， 所以. 故答案为： 3．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】设点，则）根据点是的外心,， 而，则 所以 从而得到点的轨迹为，焦点为 由抛物线的定义可知因为， ，即，所以的最小值为3， 故答案为：3 4．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为，又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 5．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 题型六：与抛物线有关的轨迹问题 例1.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解答过程】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为，故选：A. 例2.点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是． 故答案为：. 例3.在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意， 由得， 化简得．故答案为：． 变式训练 1.过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义可得，圆心的轨迹为抛物线 。 【详解】设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上.故选：D. 2.如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义得动点轨迹为抛物线． 【详解】设切线与圆的公共点，过作直线的垂线，过作，垂足为，连， 则， 所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上， 根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选D． 3.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故， 所以C的方程为； （2）由（1）知，设，， 则，， 因为，所以，可得， 又点P在抛物线C上，所以，即， 化简得，则点Q的轨迹方程为. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $