4.5.2用二分法求方程的近似解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，系统梳理二分法的概念、步骤及应用。通过“假币问题”生活实例导入，衔接复习的函数零点与零点存在定理，搭建从理论到方法的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，用“假币问题”抽象二分法思想；通过例题推理和步骤分解发展数学思维，如表格呈现区间缩小过程；以规范步骤和题型练习强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可直接利用实例与题型优化教学流程。

第四章　指数函数与对数函数 4.5.2　用二分法求方程的近似解 复习回顾 1.函数的零点 方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点 零点是数，不是点。 方程f(x)=0 的实数解 函数y=f(x)的零点 函数y=f(x)与轴公共点的横坐标 2.零点存在定理 一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点. 1. 判定函数 y=f(x)零点 (即方程 f(x)=0的解)的存在性 2. 判断零点所存在的大致区间。 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 | 新 知 学 习 | 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一：二分法 探究 我们已经知道，函数 f (x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？ 在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币？ “假币”的发现 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 第一次 假 假 第二次 第三次 第四次 思想:一分为二,逐步缩小范围,逼近准确值 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一：二分法 探究 我们已经知道，函数 f (x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？ a b 一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 二分法：零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一：二分法 用二分法求方程lnx+2x-6=0在区间(2, 3)内的近似解(精确度0.1) f (2)≈－1.3069<0, f (3)≈1.09806>0, 算得f (2.5)≈－0.084<0, 解: 设 f (x)= lnx+2x-6 , 原方程的近似解为x0 所以 x0 ∈(2, 3)； 取区间(2,3)的中点 x1=2.5, 所以x0∈(2.5, 3)； 取区间(2.5, 3)的中点x1=2.75, 从而x0 ∈ (2.5, 2.75)． 算得f (2.75)≈0.512>0, 由于(2 , 3) (2.5 , 3) (2.5 , 2.75) 所以零点的范围变小了. 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小. f (2)f (3)<0, f (2.5)f (3)<0, f (2.5)f (2.75)<0, 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一：二分法 区间（a，b） 中点值c f(c)的值 （2，3） 2.5 -0.084 （2.5，3） 2.75 0.512 （2.5，2.75） 2.625 0.215 （2.5，2.625） 2.562 5 0.066 （2.5，2.562 5） 2.531 25 -0.009 （2.531 25，2.562 5） 2.546 875 0.029 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 0.01 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 2 3 2.5 2.75 2.625 精确度|a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 根据上表计算函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内精确度为0.01的零点近似值？ 因为|2.5390625-2.53125|=0.007813<0.01, 所以区间(2.53125,2.5390625)内的任意一点都可以作为函数零点的近似值 所以 x= 2.53125(或2.5390625) 为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一：二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 y=f (x) 的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 问题1 二分法的理论依据是什么？ 零点存在性定理 问题2 若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 二分法只适用于求函数的变号零点(图象在零点处穿过x轴，即两侧函数值异号的零点)，对于函数的不变号零点则不适用，如函数f(x)=(x-1)2的零点。 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点二：二分法求函数零点的步骤 1.确定x0所在的初始区间[a,b], 验证 f(a)·f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算 f(c): (1) 若 f(c)=0 , 则c就是函数的零点,即x0=c; (2) 若 f(a) f(c)<0 (此时零点x0∈(a,c)), 则令b= c; (3) 若 f(c) f(b)<0 (此时零点x0∈(c,b)), 则令a= c. 4.判断是否达到精确度ε , 即若|a-b|<ε , 则得到零点的近似值a(或b)； 否则重复2～4. 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点二：二分法求函数零点的步骤 例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x=7 的近似解(精确度为0.1). 10 8 6 4 2 -2 -4 5 1 2 3 4 6 x y O f(x)=2x+3x－7 观察右图和表格, 可知 f(1)·f(2)<0, f(x)在区间间(1, 2)内有零点x0. 解: 原方程即2x +3x –7=0， 令f (x)= 2x +3x –7 , 用信息技术列出函数的对应值表并作图. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 取区间(1, 2)的中点x1=1.5, 用计算器可得f(1.5)≈0.33. 所以x0∈(1, 1.5), 因为f(1)·f(1.5)<0, 再取(1, 1.5)的中点x2=1.25, 用计算器求得f(1.25)≈-0.87, 所以x0∈(1.25, 1.5), 因此f(1.25)·f(1.5)<0, 同理可得x0∈(1.375, 1.5), x0∈(1.375, 1.4375), 由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程的近似解可取为1.4375. 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 知识点二：二分法求函数零点的步骤 定义 f(x) 输入ε，a，b f(a)f(c)<0? b=c |a-b|< ε? 输出解x=a f(c)=0 a=c a=c 1.确定x0所在的初始区间[a,b], 验证 f(a)·f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算 f(c): (1) 若 f(c)=0 , 则c就是函数的零点,即x0=c; (2) 若 f(a) f(c)<0 (此时零点x0∈(a,c)), 则令b= c; (3) 若 f(c) f(b)<0 (此时零点x0∈(c,b)), 则令a= c. 4.判断是否达到精确度ε , 即若|a-b|<ε , 则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4. 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 | 题 型 讲 解 | 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 题型一 判断是否能够使用二分法求解 1.下列函数中不能用二分法求函数零点近似值的是( ) A. B. C. D. 2.下列函数图象与 轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的有______. （写出所有符合条件的序号） C ①③ 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 14 题型二 使用二分法缩小零点所在的区间 3.用二分法研究函数 的零点时，第一次计算， 得 ， ，第二次应计算 ，则 ( ) A. 1 B. C. 0.25 D. 0.75 4.用二分法求方程 的近似解时，已知一个解在区间 内， 则下一步可断定该解所在的区间为_ _____. [解析] 令 ， 则 , , ， 由 知该解所在的区间为 . C 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 15 题型三 使用二分法缩小零点所在的区间 5.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算, 参考数据如下: f(2)≈-0.369 1 f(2.25)≈-0.011 9 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.5)≈0.334 0 f(2.375)≈0.162 4 f(2.281 25)≈0.031 9 则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为？ A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 16 题型三 使用二分法缩小零点所在的区间 5.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算, 参考数据如下: f(2)≈-0.369 1 f(2.25)≈-0.011 9 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.5)≈0.334 0 f(2.375)≈0.162 4 f(2.281 25)≈0.031 9 则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为？ f (2)≈－0.3691<0, f (3)≈1>0, 算得f (2.5)≈0.3340 >0, 解: 设f(x)=log3x+x-3, 原方程的近似解为x0 所以 x0 ∈(2, 3)； 取区间(2,3)的中点 x1=2.5, 所以x0∈(2, 2.5)； f (2)f (3)<0, f (2)f (2.5)<0, 算得f (2.25)≈-0.0119<0, 取区间(2,2.5)的中点 x2=2.25, 所以x0∈(2.25, 2.5)； f (2.5)f (2.25)<0, 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 17 题型三 使用二分法缩小零点所在的区间 5.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算, 参考数据如下: f(2)≈-0.369 1 f(2.25)≈-0.011 9 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.5)≈0.334 0 f(2.375)≈0.162 4 f(2.281 25)≈0.031 9 则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为？ 算得f (2.375)≈0.1624>0, 取区间(2.25,2.5)的中点 x3=2.375, 所以x0∈(2.25, 2.375)； f (2.25)f (2.375)<0, 算得f (2.3125)≈0.0756>0, 取区间(2.25,2.375)的中点 x4=2.3125, 所以x0∈(2.25, 2.3125)； f (2.25)f (2.3125)<0, 因为|2.3125-2.25|=0.0625<0.1, 所以区间(2.25, 2.3125)内的任意一点都可以作为函数零点的近似值 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 18 | 课 堂 总 结 | 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 复习回顾 1.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 y=f (x) 的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 2.二分法求函数零点的步骤 1.确定x0所在的初始区间[a,b], 验证 f(a)·f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算 f(c): (1) 若 f(c)=0 , 则c就是函数的零点,即x0=c; (2) 若 f(a) f(c)<0 (此时零点x0∈(a,c)), 则令b= c; (3) 若 f(c) f(b)<0 (此时零点x0∈(c,b)), 则令a= c. 4.判断是否达到精确度ε , 即若|a-b|<ε , 则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4. 第四章　指数函数与对数函数 数学必修一 $