4.4.1对数函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数的概念、定义域及实际应用，通过碳14衰减的实际问题导入，结合复习回顾的对数运算性质与换底公式，从指数函数反推对数关系，构建前后知识的逻辑脉络，为新知学习提供支架。 其亮点在于以实际情境驱动概念生成，如碳14衰减、物价增长等实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过严谨推导与题型分类（概念辨析、定义域求解、实际应用）发展数学思维，表格化总结与分层练习帮助学生规范数学语言表达，既提升学生探究能力，也为教师提供清晰教学路径。

第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数的概念 1.对数的运算性质 2.对数的换底公式 3.对数的换底公式推导式 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M N)=log+l_ogN; (2)loga=logM_N; (3)logaMn=nl_M(n∈R). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 积的对数=对数的和 商的对数=对数的差 幂的对数=对数的倍数 复习回顾 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 | 新 知 学 习 | 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 问题 当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律,生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系? 将衰减率设为,把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,得出解析式为: ∴, (x∈[0,+∞)) 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 将衰减率设为,把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,得出解析式为: ∴, (x∈[0,+∞)) 思考 已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长的时间呢? 根据指数与对数的关系, 由, ()得 ,() 是否是一个函数? 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 由, ()得 ,() 如图,过y轴正半轴上任意一点(0,y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行线,与函数 的图象有且只有一个交点(x0 , y0) . 这说明,对于任意一个y∈(0 , 1],通过对应关系 ()在[0,+∞)上都有唯一确定的数x和它对应,所以x也是y的函数. 所以,函数)刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律. 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 同样地,根据指数与对数的关系,由 y=ax (a>0且a≠1) x=loga y (a>0且a≠1) y是x的函数 x是y的函数 对调字母 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 一般地,形如的函数叫做对数函数, 其中x是自变量,函数的定义域是。 对数函数解析式的结构特征: (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)对数的真数只有自变量x. (3)系数是1. 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 练习 下列函数中,哪些是对数函数? 对数函数解析式的结构特征: (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)对数的真数只有自变量x. (3)系数是1. √ 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点一:对数函数的概念 练习 下列函数表达式中,是对数函数的有( ). ①;②;③;④;⑤;⑥;⑦. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 对数函数解析式的结构特征: (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)对数的真数只有自变量x. (3)系数是1. B 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点二:对数函数的定义域 例1 求下列函数的定义域 解:(1)∵ ∴ ∴该函数的定义域为 (2)∵ ∴ ∴该函数的定义域为 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点三:对数函数的实际应用 例2 假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过y年后的物价为x, (1)该地的物价经过几年后会翻一番? 解: (1)由题意可知,经过y年后物价x为, 即 x= 1.05y (y∈[0,+∞)) . 由指数与对数的关系,可得 y= log1.05x (x∈[1,+∞)) . 当 x= 2时, y ≈ 14 . 所以,该地区的物价经过14年后会翻一番 . 设原有量为N每次的增长率为P,经过x次增长,该量增长到y,则 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 知识点三:对数函数的实际应用 例2 假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过y年后的物价为x, (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律. (2)根据函数 y= log1.05x (x∈[1,+∞)) ,利用计算工具,可以得下表: 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长, 但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 14 23 28 33 37 40 43 45 47 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 | 题 型 讲 解 | 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 题型一 对数函数的概念 1.(1)函数是对数函数,则实数 解:(1)∵,解得或1. 而且,∴即1. 对数函数解析式的结构特征: (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)对数的真数只有自变量x. (3)系数是1. 1.(2)函数是对数函数,则函数 (2)∵,解得或-3. 而∴.即 ∴ 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 15 题型二 对数函数的定义域 2.求下列函数的定义域. (1) (2) 答案:(1)由 得 ∴定义域为 (2)由得.由指数函数的单调性知, ∴定义域为 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 16 题型二 对数函数的定义域 3.求下列函数的定义域. (1) (2) 答案:(1)由 得且 ∴定义域为 (2)据题意得:且,得且 而即 ∴定义域为 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 17 题型二 对数函数的定义域 总结 若f(x)由几部分的式子构成,则其定义域为使各部分同时有意义的数的集合。(求交集) 函数f(x)所含结构 求定义域时注意事项 整式或奇次根式 分式 偶次根式 零次幂[g(x)]0 对数 定义域通常为R 分母不为0 不可先约分后求定义域 根号内大于等于0 g(x)≠0 真数大于0;底数大于0且不等于1 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 18 题型三 对数函数的实际应用 4.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按进行奖励.记奖金为 (1)写出奖金关于销售利润的关系式; 解:(1)由题意知 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 19 题型三 对数函数的实际应用 4.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按进行奖励.记奖金为 (1)写出奖金关于销售利润的关系式; (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 解:(2)由题意知, 即,所以 所以老江的销售利润是34万元. 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 20 | 课 堂 总 结 | 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 1.对数函数的概念 2.对数函数解析式的特征 一般地,形如的函数叫做对数函数, 其中x是自变量,函数的定义域是。 (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)对数的真数只有自变量x. (3)系数是1. 第四章 指数函数与对数函数 数学必修一 $