2.7 探索勾股定理（1）课件2025-2026学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理探索，以第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）导入，通过复习直角三角形角互余、斜边上中线性质等知识，搭建边的关系探究支架，引导学生逐步发现定理。 其亮点在于融入中国古代数学文化，借助赵爽弦图、《周髀算经》记载及刘徽“青朱出入图”，培养数学眼光中的文化认同与创新意识。通过合作剪拼直角三角形、对比多种证法发展推理能力，结合零件图计算实例强化应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可依托结构化流程提升教学效率。

2.7探索勾股定理（1） 两个锐角互余 斜边上的中线等于斜边的一半 角 线 边 新知探究 定义 性质 判定 直角 三角形 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标。它的设计思路可追溯到 3 世纪中国数学家赵爽使用的弦图。用弦图探索直角三角形边之间的关系在数学史上有着重要的地位。 新知探究 （1）剪四个全等的直角三角形纸片 （2）把它们放入一个边长为c的正方形中， c 此时四个全等的直角三角形围成的中间空白的四边形是什么图形呢？ 合作学习 （3）设剪出来的直角三角形纸片直角边分别为a，b，斜边为c，你能用两种方法表示图2-35中大正方形的面积吗？ S大正方形＝c² S大正方形＝4×S直角三角形＋S小正方形， 合作学习 图2-35 ＝a²＋b² a²＋b²＝c² 直角三角形两条直角边长的平方和 等于斜边长的平方。 你能用一句话概括吗？ 新知形成 由此你发现了直角三角形三边有什么样的关系吗？ a²＋b²＝c² 我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。因此就把这一定理称为勾股定理。公元前11世纪，商高提出“勾三股四弦五”的特例，记载于《周髀算经》，比西方早了几百年，也有人把勾股定理称为“商高定理”。 勾 股 勾 股 弦 图片来源于网络 新知形成 利用“赵爽弦图”（如图2-37）证明勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。勾股定理是数 学中一个非常重要的定理，它 的证明方法已超过五百种，是 至今为止证明方法最多的定 理之一。 图2-37 新知形成 你还有其他方法证明勾股定理吗？ 毕达哥拉斯证法 所以a2+b2+2ab=c2+2ab， 即a2 +b2 =c2。 证明： S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4×ab+c2 =c2+2ab， 因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab， 新知形成 a b c b 刘徽“青朱出入图”（割补术） a b c ④ ① ② ③ ⑦ ⑥ ⑤ ⑧ A B C D E F G H I 证明： S正方形ABCD+S正方形DEFG=a2+b2 =S3+S7 +S2 +S6 +S8 ， 所以S正方形ABCD+S正方形DEFG=S正方形AEHI ， S正方形AEHI=c2=S1+S4 +S8 +S5 +S7 ， 因为S1=S2 ，S3 =S4 ，S5 =S6， 新知形成 所以a2+b2=c2。 勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和 等于斜边长的平方。 在Rt△ABC中， 因为∠ACB=90°， 所以 a2+b2=c2。 形 数 符号语言： 新知形成 ∟ A C B b c 例1 已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。 （1）若a＝1，b＝2，求c； 解: 在Rt△ABC中， 因为∠C=90°， 所以c2=a2+b2=12 +22 =5， 因为c>0,所以c=。 新知应用 ∟ A C B b c 例1 已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。 （2）若a＝15，c＝17，求b。 在Rt△ABC中， 因为∠C=90°， 所以a2+b2=c2 所以b2=c2-a2 因为b>0 , 所以b=8。 =(17＋15)(17－15)=64。 新知应用 ∟ A C B b c =172 -152 例1 在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。 （3）若c＝34，a:b＝8:15，求a，b； 解得k2=4，因为k>0,所以k=2， 所以a=8k=16，b=15k=30。 方程思想 ∟ A C B b c 解: 设a=8k,b=15k, 在Rt△ABC中， 因为∠C=90°，a2+b2=c2， 则（8k）2+(15k)2=342， 新知应用 变式 在Rt△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c,若a＝3，b＝4，求c。 解:①当∠C=90°， 则在Rt△ABC中， a2+b2=c2， 所以c2=a2+b2=32+42=25， 因为c>0， 所以c=5。 ②当∠B=90°， 则在Rt△ABC中， a2+c2=b2， 所以c2=b2-a2=42-32=7， 因为c>0， 所以c=。 综上所述，c为5或 ∟ A C B b c ∟ A B C c b 新知应用 同学们，你们认为在运用勾股定理求线段长时有哪些注意点吗？ ①如果没有明确边是直角边或者是斜边时，需要分类讨论； ②一定要确定了直角（或斜边）后，再运用三边关系： 在Rt△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c, 新知应用 若∠C=90°，则a2+b2=c2 若∠A=90°，则b2+c2=a2 若∠B=90°，则a2+c2=b2 例2 如图2-36是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。 分析：解决问题的关键是构造出含所求线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。 新知应用 图2-36 AC＝90－40＝50（mm）， BC＝160－40＝120（mm）。 例2 如图2-36是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。 ∟ C 解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，因为∠C=90°， 所以AB2=AC2+BC2 =502+1202=16900（mm2）， 因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。 答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。 新知应用 图2-36 练习1（书本P80-课内练习-第2题） 利用圆规和图中数轴上方的正方形网格线，在数轴上表示的点。 B A 新知应用 A B A 新知应用 练习1（书本P80-课内练习-第2题 ） 利用圆规和图中数轴上方的正方形网格线，在数轴上表示的点。 （1）本节课我们主要学习了什么？ （2）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？ （3）后续我们将会研究什么内容呢？ 课堂小结 两个锐角互余 斜边上的中线等于斜边的一半 角 线 边 定义 性质 判定 直角 三角形 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.（勾股定理） 知识梳理 $