期末复习专题04 函数的单调性（讲义+课件）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一高一期末复习专题04 ——函数的单调性 一、求具体函数的单调区间1 例．函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 例．函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 方法总结： 1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题. 3、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数的增区间为.不要写成. 二、复合函数的单调性 例．函数的单调区间为（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 例．函数在上的单调递增区间为 和 . 例．求函数的单调区间． 方法总结： 复合函数分析法：设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 三、图像法判断单调性 例．已知函数（）是奇函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是（    ） A． B． C. D． 例．已知函数. (1)求的值；(2)作出函数在上的图象并指出函数在上的单调区间. 方法总结： 图象法：若函数是以图象形式所给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下降的情况确定函数的单调区间。如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 四、定义法判断单调性 例．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明。 例．已知函数．判断并用定义证明函数在区间上的单调性． 方法总结： 1、定义法：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论. 五、性质法判断单调性 例．若函数在给定区间上具有单调性，根据单调性定义，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数与具有相反的单调性 B．若，则函数与具有相同的单调性 C．若，都是减函数，则也是减函数 D．若，都是增函数，则与也是增函数 方法总结： 性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增增增，增-减增，增减，减减减，减-增减，减增”来判断。 跟踪练习： 1．设定义在上的函数的图象如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是 A． 在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 B． 在上单调递增 D．在上单调递增 2．若单调性一致，则为单调递增.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3.以下是函数的单调递增区间的为( ) A. B. C. D. 4．函数的单调区间是 ． 5．函数的单调区间为 6．求函数的单调区间 . 7．函数的单调区间为 ． 8．画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间. 9．已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减. (2)当时，写出的单调区间. (3)若在上为单调函数，求的取值范围. 10．已知函数． (1)当实数时，写出的单调区间，并用定义证明在上的单调性； (2)对任意实数，写出的单调区间（无需证明）； (3)当实数时，求函数在上的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一高一期末复习专题04 ——函数的单调性 一、求具体函数的单调区间1 例．函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数的解析式进行化简，得到反比例函数平移的形式，从而得到其单调区间 【详解】函数，由函数向右平移个单位，向上平移个单位后得到的，所以函数函数的单调区间是.故选：C. 例．函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】的对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，故选：D 方法总结： 1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题. 3、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数的增区间为.不要写成. 二、复合函数的单调性 例．函数的单调区间为（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调区间. 【详解】由，解得函数的定义域为.由于开口向下，对称轴为.在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数在上单调递增，在上单调递减.故选：D 例．函数在上的单调递增区间为 和 . 【答案】和 【详解】因为，由 , 得 ,，令得，令得， 所以在上的单调递增区间为和. 例．求函数的单调区间． 【答案】单调减区间为，单调增区间为 【分析】首先求函数的定义域，再结合复合函数的单调性，判断函数的单调性. 【详解】令，则函数．∵，即，得，即函数的定义域为．∵的对称轴为直线，∴当时，为增函数，∴函数为减函数，∴函数的单调减区间为；当时，为减函数，∴函数为增函数， ∴函数的单调增区间为． 方法总结： 复合函数分析法：设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 三、图像法判断单调性 例．已知函数（）是奇函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是（    ） A． B． C. D． 【答案】D 【分析】根据图像以及函数的奇偶性，得知函数在上的单调性，再根据选项进行判断即可. 【详解】因为函数（）是奇函数，且在单调递增，故函数在也单调递增.容易知：，，均在单调递减，只有函数在单调递增.故选：D. 例．已知函数. (1)求的值；(2)作出函数在上的图象并指出函数在上的单调区间. 【详解】（1）因为，所以，. （2）因为，则函数在上的图象如图所示：由函数在上的图象可得：函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 方法总结： 图象法：若函数是以图象形式所给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下降的情况确定函数的单调区间。如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 四、定义法判断单调性 例．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明。 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； 【详解】（1）由条件可知，，得； （2），设， ， 因为，所以，，且，则，所以， 所以，即，所以函数在上单调递增。 例．已知函数．判断并用定义证明函数在区间上的单调性． 【答案】证明见解析，函数在上为减函数. 【解析】求得，任取、且，作差、因式分解后并判断的符号，由此可得出结论. 【详解】在上是减函数，证明如下：，令且、， ，由于，则，，， 即，故，即，故函数在上为减函数． 方法总结： 1、定义法：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论. 五、性质法判断单调性 例．若函数在给定区间上具有单调性，根据单调性定义，下列说法正确的是（    ） A．若，则函数与具有相反的单调性 B．若，则函数与具有相同的单调性 C．若，都是减函数，则也是减函数 D．若，都是增函数，则与也是增函数 【答案】C 【解析】利用特殊函数可排除ABD，根据函数单调性的定义可知C正确. 【详解】与单调性相同，排除A； 与单调性相反，排除B； 与都是增函数，不是增函数，排除D； 对于给定区间上的减函数、，对于任意，， 当时，都有，， 在区间上也一定是减函数，正确，故选：C. 方法总结： 性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增增增，增-减增，增减，减减减，减-增减，减增”来判断。 跟踪练习： 1．设定义在上的函数的图象如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是 A． 在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 B． 在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】根据图象，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】根据图象可知，当时，，时，，所以在上不单调递增，A不正确；当时，，又时，单调递增，单调递减，时，减，则单调递增，所以B正确。 2．若单调性一致，则为单调递增.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为减函数，所以函数的单调递增区间是.故选：A. 3.以下是函数的单调递增区间的为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【详解】因为函数的单调递增区间为，所以，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，选项满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为，,，选项均不满足条件.故选. 4．函数的单调区间是 ． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】写出函数的分段形式，画出函数图象，从而求出单调区间. 【详解】，画出函数图象如下： 可得单调递增区间为，单调递减区间为. 5．函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和。 6．求函数的单调区间 . 【答案】增区间为，减区间为 【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可. 【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为. 7．函数的单调区间为 ． 【答案】 增区间为，减区间为 【分析】利用复合函数的单调性求函数单调区间. 【详解】函数，设，由得，∴函数定义域为 .当时，是减函数；而为减函数，∴为增函数．当时，为增函数，为减函数，∴为减函数．∴的增区间为，减区间为. 8．画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间. 【答案】作图见解析，增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 【分析】化简函数y的解析式，根据二次函数的图象特征画出函数y的图象，由图象写出单调区间. 【详解】作出函数图象如图所示： 增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 9．已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减. (2)当时，写出的单调区间. (3)若在上为单调函数，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)的单调递增区间为，的单调递减区间为.(3). 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）根据一次函数和二次函数的图象和性质求解即可； （3）根据分段函数的图象和单调性的概念求解即可. 【详解】（1）当时，.设是区间上任意两个实数，且，则，于是，由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减. （2）当时，，则由一次函数和二次函数的图象和性质可知， 的单调递增区间为，的单调递减区间为. （3）由，解得或.由题意得在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，因为在上为单调函数，所以在上为增函数，所以，即的取值范围是. 10．已知函数． (1)当实数时，写出的单调区间，并用定义证明在上的单调性； (2)对任意实数，写出的单调区间（无需证明）； (3)当实数时，求函数在上的最大值和最小值． 【详解】（1）单调递减区间是，单调递增区间是， 证明如下：设，则 因为， 所以，又，所以， 即，故在上单调递减 （2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，的单调递增区间是，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是． （3）在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为．因为，当，即时，最大值为，当，即时，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 求具体函数的单调区间 复合函数的单调性 图象法判断函数单调性 定义法判断函数单调性 性质法判断函数单调性 高一期末复习专题04——函数的单调性 01 02 03 04 05 求具体函数的单调区间 高一期末复习专题04——函数的单调性 01 求具体函数的单调区间 求具体函数的单调区间 方法总结 求具体函数的单调区间 复合函数的单调性 高一期末复习专题04——函数的单调性 01 02 复合函数的单调性 复合函数的单调性 复合函数的单调性 方法总结 求具体函数的单调区间 复合函数的单调性 图象法判断函数单调性 高一期末复习专题04——函数的单调性 01 02 03 图像法判断函数的单调性 图像法判断函数的单调性 方法总结 求具体函数的单调区间 复合函数的单调性 图象法判断函数单调性 定义法判断函数单调性 高一期末复习专题04——函数的单调性 01 02 03 04 定义法判断函数单调性 定义法判断函数单调性 方法总结 求具体函数的单调区间 复合函数的单调性 图象法判断函数单调性 定义法判断函数单调性 性质法判断函数单调性 高一期末复习专题04——函数的单调性 01 02 03 04 05 性质法判断函数单调性 性质法判断函数单调性 分段函数与不等式结合 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 跟踪练习 一、求具体函数的单调区间 例．函数 的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数的解析式进行化简，得到反比例函数平移的形式，从而得到其单调区间 【详解】函数 ，由函数 向右平移 个单位，向上平移 个单位后得到的，所以函数函数 的单调区间是 .故选：C. 例．函数 的单调区间为（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．在 单调递增，在 单调递减 D．在 单调递减，在 单调递增 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 的对称轴为 ，开口向上，所以 在 单调递减，在 单调递增，故选：D 方法总结： 1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题. 3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开.如函数 的增区间为 .不要写成 . 例．函数 的单调区间为（    ） A．在 上单调递减，在 上单调递增 B．在 上单调递减，在 上单调递增 C．在 上单调递增，在 上单调递减 D．在 上单调递增，在 上单调递减 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调区间. 【详解】由 ，解得函数 的定义域为 .由于 开口向下，对称轴为 . 在 上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减.故选：D 例．函数在上的单调递增区间为 和 . 【答案】和 【详解】因为，由 , 得 ,，令得， 令得，所以在上的单调递增区间为和. 例．求函数 的单调区间． 【答案】单调减区间为 ，单调增区间为 【分析】首先求函数的定义域，再结合复合函数的单调性，判断函数的单调性. 【详解】令 ，则函数 ．∵ ，即 ，得 ，即函数的定义域为 ．∵ 的对称轴为直线 ， ∴当 时， 为增函数，∴函数 为减函数， ∴函数 的单调减区间为 ；当 时， 为减函数，∴函数 为增函数，∴函数 的单调增区间为 ． 方法总结： 复合函数分析法：设 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 都是单调函数，则 在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 例．已知函数 （ ）是奇函数，其部分图象如图所示，则在 上与函数 的单调性相同的是（    ） B． C. D． 【答案】D 【分析】根据图像以及函数的奇偶性，得知函数在 上的单调性，再根据选项进行判断即可. 【详解】因为函数 （ ）是奇函数，且在 单调递增，故函数 在 也单调递增.容易知： ， ， 均在 单调递减，只有函数 在 单调递增.故选：D. 例．已知函数 . 求 的值；(2)作出函数 在 上 的图象并指出函数 在 上的单调区间. 【详解】（1）因为 ，所以 ， . （2）因为 ，则函数 在 上的图象如图所示：由函数 在 上的图象可得：函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . 方法总结： 图象法：若函数是以图象形式所给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下降的情况确定函数的单调区间。如果函数的图像，在某个区间 ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 例．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义证明。 【答案】(1) ；(2)单调递增，证明见解析 【详解】（1）由条件可知， ，得 ； （2） ，设 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 因为 ，所以 ， ，且 ，则 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递增。 例．已知函数 ．判断并用定义证明函数 在区间 上的单调性． 【解析】求得 ，任取 、 且 ，作差、因式分解后并判断 的符号，由此可得出结论. 【详解】 在 上是减函数，证明如下： ，令 且 、 ， ，由于 ，则 ， ， ，即 ，故 ，即 ， 故函数 在 上为减函数． 方法总结： 定义法：用定义法判断函数的单调性的一般步骤： ①取值，设 ，且 ； ②作差，求 ； ③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； ④判断 的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论. 例．若函数 在给定区间上具有单调性，根据单调性定义，下列说法正确的是（    ） A．若 ，则函数 与 具有相反的单调性 B．若 ，则函数 与 具有相同的单调性 C．若 ， 都是减函数，则 也是减函数 D．若 ， 都是增函数，则 与也是增函数 【答案】C 【解析】利用特殊函数可排除ABD，根据函数单调性的定义可知C正确. 【详解】 与 单调性相同，排除A； 与 单调性相反，排除B； 与 都是增函数， 不是增函数，排除D； 对于给定区间 上的减函数 、 ，对于任意 ， ，当 时，都有 ， ， ， 在区间 上也一定是减函数，正确，故选：C. 方法总结： 性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增，增—减=增，—增=减，减+减=减， 减—增=减，—减=增”来判断。 跟踪练习： 1．设定义在 上的函数 的图象如图所示，则关于函数 的单调区间表述正确的是 在 上单调递增 B．在 上单调递减，在 上单调递增 在 上单调递增 D．在 上单调递增 【答案】B 【分析】根据图象，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】根据图象可知，当 时， ， 时， ，所以在 上不单调递增，A不正确；当 时， ，又 时， 单调递增， 单调递减， 时， 减，则 单调递增，所以B正确。 2．若 单调性一致，则 为单调递增.函数 的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】令 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又函数 为减函数，所以函数 的单调递增区间是 .故选：A. 3.以下是函数的单调递增区间的为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【详解】因为函数的单调递增区间为，所以， 解得，取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，选项满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为，,，选项均不满足条件. 4．函数 的单调区间是 ． 【答案】单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 【分析】写出函数的分段形式，画出函数图象，从而求出单调区间. 【详解】 ，画出函数图象如下：可得单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 5．函数 的单调区间为 【答案】增区间为 和 ，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】 ，所以 的单调递增区间为 和 。 6．求函数 的单调区间 . 【答案】增区间为 ，减区间为 【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可. 【详解】设t＝ >0，又 在 上单调递减，在 上单调递增.令 ≤4，得x≥－2，令 >4，得x<－2.而函数t＝ 在R上单调递减，所以函数 的增区间为 ，减区间为 . 7．函数 的单调区间为 ． 【答案】 增区间为 ，减区间为 【分析】利用复合函数的单调性求函数单调区间. 【详解】函数 ，设 ，由 得 ，∴函数定义域为 .当 时， 是减函数；而 为减函数，∴ 为增函数．当 时， 为增函数， 为减函数，∴ 为减函数．∴ 的增区间为 ，减区间为 . 8．画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间. 【答案】作图见解析，增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 【分析】化简函数y的解析式，根据二次函数的图象特征画出函数y的图象，由图象写出单调区间. 【详解】作出函数图象如图所示： 增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 9．已知函数 ， ， (1)用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上单调递减. (2)当 时，写出 的单调区间. (3)若 在 上为单调函数，求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 .(3) . 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）根据一次函数和二次函数的图象和性质求解即可； （3）根据分段函数的图象和单调性的概念求解即可. 【详解】（1）当 时， .设 是区间 上任意两个实数，且 ，则 ，于是 ，由函数单调性的定义可知，函数 在区间 上单调递减. （2）当 时， ，则由一次函数和二次函数的图象和性质可知， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 . （3）由 ，解得 或 .由题意得 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 在 上为单调函数，所以 在 上为增函数，所以 ，即 的取值范围是 . 10．已知函数 ． (1)当实数 时，写出 的单调区间，并用定义证明 在 上的单调性； (2)对任意实数 ，写出 的单调区间（无需证明）； (3)当实数 时，求函数 在 上的最大值和最小值． 【详解】（1） 单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，证明如下：设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 因为 ， 所以 ，又 ，所以 ， 即 ，故 在 上单调递减。 【详解】（2）当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，当 时， 的单调递增区间是 ，当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ． （3） 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 最小值为 ．因为 ，当 ，即 时， 最大值为 ，当 ，即 时， 最大值为 ． $