以对数函数为背景的单调性、值域、分段问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 考点目录 以对数函数为背景的复合函数单调性问题 以对数函数为背景的值域问题 以对数函数为背景的分段函数问题 考点一 以对数函数为背景的复合函数单调性问题 例1.(25-26高一上·云南昆明月考)已知函数f(x)=1g(10+1)-mx为偶函数. (1)求实数n的值； (2)求方程f(x)=lg(4×10mr+2)的根； ③)若函数g)=f)+x-a在x∈（←∞，0）上有零点，求实数a的取值范围。 例2.(25-26高二上广东揭阳·期中)已知函数f(x)=log24-a·2+2(a∈R)的定义域为R (1)求a的取值范围； (②)讨论函数f(x的单调性： (3)给定函数y=gx,x∈1，若其图象与直线y=x存在公共点(x。,y),则称x是g(x的一个“不动点”若函数 f(x)在[-1,1上仅有一个“不动点”，求a的取值范围 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 例3.(25-26高三上·山东德州期中)己知函数f(x)=log（4-ax)(a>0,a≠1). (I)当xe1,5时，函数fx)恒有意义，求实数a的取值范围： ②)是否存在实数。，使得函数)在区间[}2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出的值：若不存在，诗 说明理由. 例4.2526高三上江西月考)已知函数f(x)=10g,-(a≠-是奇函数. x+1 (1)求不等式f(x>1的解集 (2)若函数gx)=fx2-bx+3b)在(2，+0)上单调递增，求b的取值范围. (3)是否存在meR,a,B∈(1，+oo),使得f(x)在a,B上的值域为m+log2a,m+l0g,B?若存在，求出m的取值 范围；若不存在，说明理由. 2 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 例5.(24-25高二下山东烟台期末)已知函数f(x)=1og2（2x2-x-1, (1)求f(x)的单调区间； 3 (2)若对任意的x∈ 2+0都有∫之22，求实数m的取值范围. 变式1.(24-25高二下·陕西渭南·期末)设a>0且a≠1，己知函数 f(x)=log,(x+3),g(x)=log,(3-x),h(x)=f(x)+g(x). (I)判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由； (2)解关于x的不等式h(2x-3)≥h(3x-1)」 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 变式2.425商=下江腾期未)已知两数八=山(-2小 (1)证明：f(x是奇函数； (2)若f(x在区间a,a+2)上单调递减，求a的取值范围. 变式3.(24-25高一下·四川成都期末)已知函数fx)=log.2+x),gx)=l1og（2-x)(a>0,且a≠1). (I)求函数∫x-gx)的定义域： (2)判断函数∫(x-gx)的奇偶性，并说明理由； (3)当a=4时，若h(x)=fx)+gx-m有两个零点，求实数n的取值范围. 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 变式4.(24-25高二下…河北保定·期末)已知函数f(x)=log2(4-x)-log2(4a+ax)是奇函数 (1)求a的值； ②若g)=Vr-mo+8,当xe5号时，g)>0相废立，求m的取值箱围。 变式5.(24-25高一下·江西·期中)已知函数f(x)=log2a·2+2+x2)(a∈R)是偶函数 (1)求f(0)的值： 2若关于的不等式fx)≥+m在1,2]上有解，求实数m的取值范围. 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 考点二 以对数函数为背景的值域问题 例1.(25-26高一上云南昆明月考)已知函数f()=l1og12-2ax+3) 2 (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围： (3)若函数f(x)的值域为(-o,-1],求实数a的值. 例2.2526商一上-河北唐山期中)已知实数演足3-93+9≤0且f川=10e:艺log后货 3 (1)求实数的取值范围. (2)求f(x)的最大值和最小值，并求此时x的值. 6 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 例3.2526高上：黑龙江大厌期中D函数)=og)30og:4+ (1)当xel,4]时，求该函数的值域； (2)若f(x)>mlog2x对于xe1,4]恒成立，求m的取值范围.（本题如使用非基本初等函数单调性需要证明） 例4.(25-26高一上·浙江杭州期中)已知函数f(x)=log,(x2-ax+). (1)当a=1时，求f(x)的最小值； (2)设g(x)=4r-21,若对于任意x,e(0,),存在x2∈[-1,1]，使得不等式f(x)≥g(x,)成立，求a的取值范围. 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 变式1.(2526高一上：河北椰郸期中)已知定义在R上的函数f(x=-0为奇函数 5x+1 (1)求实数a的值： ②若对：e16,使得/og:5og善小+/0g,≤0恒成立，求实数1的取值范围： (3)若存在m,n,使得函数(x)在区间m,n上的值域为[k5,k5],求实数k的取值范围 变式2.(2526高三上江苏盐城开学考试)已知函数)=g,-28,- (1)当x∈2,4时，求该函数的取值范围； (2)若x∈[4,16]，则方程f(x)=mlog4x有解，求实数m的取值范围. 6 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 变式3.(24-25高一下·四川德阳·月考)己知函数fx)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+1og2(2+x)为偶函 数，g(x)-l0g(2-x)为奇函数， (1)求函数f(x),g(x)的解析式； (2)求函数h(x)=g(x)|f(x)川的值域 变式4.2425商一下安徽马按山开学考试)已知函数=0g,-eg,,x[4 (1)当a=1时，求函数f(x)的值域： (2)若函数f(x)的最小值为-2，求实数a的值. 9 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 考点三 以对数函数为背景的分段函数问题 例1.(2025高二上山东枣庄·学业考试)已知指数函数f(x)的图象过点P 1og2x+2),x≥0 62hr<0 () A.f(x)=2* B.gx)的值域为1，+o】 C.不等式gx)<2的解集为-0,0)U(0,2) D.若关于x的方程gx)=aa∈R恰有两个解，则a的取值范围为1,2) ax-2,x≤1 例2.(25-26高三上宁夏中卫.月考)设函数f(x)= nxx>1,且对于任意的，，有 )=>0(x≠x),则a的取值范围为(） X1-X2 A.(0,+0) B.(0,2 C.-0,2] D.(0,3] logx,x>0 例3.（2425高一上：浙江绍兴月考)已知a>0且a,函数f)-k+2,-3≤x<0:若函数f()的图象上有 且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是() A.（0,1 B.(1,3 C.(0,1u(1,+0D.(0,1U(1,3 例4.2326奇上京期)苦面数-自+经，o>D的雀城是四，则安数c做伯司 为 10以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 以对数函数为背景的单调性问题、值域问题、分段函数问题专项训练 考点目录 以对数函数为背景的复合函数单调性问题 以对数函数为背景的值域问题 以对数函数为背景的分段函数问题 考点一 以对数函数为背景的复合函数单调性问题 例1．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即恒成立， 因此，而不恒为0，则， 所以. （2）由（1）得，， 由方程，得， 即，整理得， 即，因此，即， 而，解得，即，所以所求方程的根为. （3）由（1）得在上有零点， 则在上有解，令函数， 函数在上单调递增，而函数是定义域上的增函数， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，则，则， 所以实数的取值范围是. 例2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以的取值范围为. （2）令，则为上的增函数，且， 设 当时，函数在上单调递增， 又为增函数，由复合函数单调性，在上单增; 当时，在上单减，在上单增， 又为增函数， 由复合函数单调性，在单减，在单调递增. 综上，当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. （3）设函数在上的“不动点”为，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 所以若与的图象在上仅有一个交点，则或， 又由（1）知，，所以或. 综上所述，实数的取值范围是. 例3．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数． (1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）设，由题意知对一切恒成立. 因为，所以在区间上为减函数， 所以只需，解得. 又，且，所以实数的取值范围是. （2）不存在.理由如下： 假设存在实数（且），使得函数在区间上为减函数，且最大值为1， 则由题意得，即，解得. 因为（且）为减函数，对一切恒成立， 所以增函数且，即， 所以，则不符合，所以实数不存在. 例4．（25-26高三上·江西·月考）已知函数是奇函数． (1)求不等式的解集． (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． (3)是否存在，，，使得在上的值域为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）因为是奇函数，所以，则， 即，则， 因为，所以， 且当时，的定义域为，且，满足题意， 由，得，则， 解得，则不等式的解集为； （2）由（1）可知， 易知函数在和上单调递增， 则在和上单调递增． 因为在上单调递增，所以， 解得，则的取值范围为； （3）假设存在，，，使得在上的值域为， 由（2）可知在上单调递增，则， 即，整理得， 即，是关于的方程的两个实数根， 因为，， 所以， 即 所以，， 故存在，，，使得在上的值域为， 且的取值范围为． 例5．（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)单减区间为，的单增区间为 (2) 【详解】（1）令，解得或． （法一）， 令，得，结合的定义域，得． 令，得，结合的定义域，得． 综上，单减区间为，的单增区间为． （法二）令，， 在其定义域内为增函数， 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增． 由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增， 综上，单减区间为，的单增区间为． （2）由题意． 由（1）知，当时，单增，所以． 于是，即，解得，故m的取值范围为． 变式1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设且，已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）函数是偶函数，理由如下： 依题意， 由解得， 即函数的定义域为，关于原点对称. 又， ∴函数是偶函数. （2）由（1）的结论，为偶函数， 令， 其中在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且解得. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 变式2．（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题得， 故，则的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数． （2）因为， 当时，单调递减，且在定义域上为增函数， 故在区间上单调递减， 同理可得在区间上单调递减． 因为在区间上单调递减， 所以或，解得或， 所以的取值范围是． 变式3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数，理由见解析 (3) 【详解】（1）由题意得， 由，得， 所以的定义域为. （2）因为，定义域关于原点对称， 由于， 所以是奇函数. （3）当时，.定义域为. 则函数为偶函数， 令，根据二次函数的性质，在上单调递增，在上单调递减，所以. 而是单调递增的，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 故. 要使有两个零点，即有两个解， 所以，所以实数m的取值范围是. 变式4．（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)若，当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）方法一：由为奇函数，得， 即， 则，即，整理得， 由上式对定义域内一切x都成立，得，解得或， 当时，的定义域为，关于原点对称，，满足为奇函数； 当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数， 所以. 方法二：当时，的定义域为，关于原点对称， 由为奇函数，得，即，解得， 当时，，， 因此，为奇函数，满足题意， 当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数， 所以. （2）由（1）知，定义域为， 当时，函数单调递减，且，则， 令，则，恒成立等价于恒成立， 当时，，当时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当，即时取等号，因此， 所以m的取值范围是. 变式5．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 考点二 以对数函数为背景的值域问题 例1．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 例2．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知实数满足且． (1)求实数的取值范围． (2)求的最大值和最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)时，，或时，． 【详解】（1）由，得， 即，所以，所以，所以． （2）因为， 由得， 当，即时，， 当或，即或时，． 例3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围．（本题如使用非基本初等函数单调性需要证明） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）， 令，由，得， 则， 因函数在上单调递减，， 故该函数的值域为. （2）不等式在上恒成立，仿上设， 则得不等式在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，可得恒成立， 而， 当且仅当时取等号，则可得， 故的取值范围是. 例4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 变式1．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若对，使得恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)； (3). 【详解】（1）由函数是上的奇函数，有，得，则， 由，可得函数为奇函数，满足题设， 所以实数的值为1； （2）由，又单调递增，则单调递减， 所以函数单调递增， 由等价于， 所以，即， 整理得，即， 又，有， 当时，在时取最大值10，得， 所以实数的取值范围为； （3）由函数单调递增，有，得有两个不相等的实数根， 方程可化为，整理为， 令，方程可化为， 由关于的方程有两个不相等的正根，有，得. 变式2．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)当时，求该函数的取值范围； (2)若，则方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令， 所以， 因为，所以 所以该函数的取值范围为 （2）由（1）知在上有解， 即在上有解， 所以． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 的值域是 所以的取值范围为． 变式3．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数为奇函数，为偶函数， 所以．                   即， 整理可得 即； （2）①当，即，即时， ， 由于，则； ②当，即，即时， ， 由于，则； 综合上述可知的值域为 变式4．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1），， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； （2）由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 考点三 以对数函数为背景的分段函数问题 例1．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知指数函数的图象过点，，则（    ） A． B．的值域为 C．不等式的解集为 D．若关于的方程恰有两个解，则的取值范围为 【答案】D 【详解】对于A，设且，因为的图象过点， 所以，解得，所以，故A错误； 对于B，当时，，所以， 当时，，所以的值域为，B错误； 对于C，当时，由得，，因此， 当时，由得，因此， 于是不等式的解集为，故C错误； 对于D，依题意，，如图作出的图象， 所以方程恰有两个解等价于函数的图象与直线有两个交点， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：D. 例2．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）设函数，且对于任意的，有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对于任意的，有， 所以在上单调递增， ，解得． 故选：B． 例3．（24-25高一上·浙江绍兴·月考）已知且， 函数，若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 关于轴对称后得. 所以函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称， 可以转化为的图象与的图象有且仅有一个交点. 若，则的图象与的图象有且只有一个交点； 若，当的图象与的图象有且只有一个交点时， 须满足，所以. 综上，的取值范围是. 故选：D. 例4．（25-26高一上·北京朝阳·期中）若函数的值域是，则实数取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，， 要使得函数的值域为， 只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 例6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，对任意的都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题设在R上单调递增，故在上单调递增，则， 对于的图象开口向下，且对称轴为，所以，即， 且， 综上，. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·山东济南·期中）设函数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】因为 所以， 则. 故选：A. 变式2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）设函数，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由题意知，， ， 所以. 故选：C 变式3．（25-26高三上·山东淄博·期中）若函数存在最大值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递减， 所以，无最值， 所以需时，取得最大值. 当时，， 若，则在单调递减，；时，，此时无最大值； 若，则在上恒为，此时在定义域内存在最大值； 若，则在单调递增，由题意，即； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 变式4．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知函数，则 ；若存在实数满足，且，则的取值范围是 . 【答案】 0 【详解】由题，所以； 如图作出函数的函数图像如图所示： 若存在实数满足，且， 则由图可知， 且，即， 所以， 因为，在上单调递增， 所以. 故答案为：0； 变式5．（25-26高三上·广东广州·月考）若函数，则 ． 【答案】4 【详解】由， 则， 而，则， 所以. 故答案为：4. 变式6．（25-26高一上·天津静海·月考）已知函数.若，则实数a的取值为 . 【答案】9 【详解】当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上若，则实数a的取值为9. 故答案为：9. 2 学科网（北京）股份有限公司 $