第四章 指数函数与对数函数（知识清单+10大易错训练）高一数学人教A版2019必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 清单01 根式 1、n次方根的定义与性质 （1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． （2）性质： ①当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； ②当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在； ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④0的任何次方根都是0，记作． 2、根式的定义与性质 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）性质：（，且） a； 清单02 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： 2、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式：；； （2）平方差公式：； （3）立方差公式：； （4）立方和公式：； （5）完全立方公式：；． 清单03 指数函数及其性质 1、指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 清单04 对数的概念与性质 1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作， 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 3、对数的性质 （1）当，且时，； （2）负数和0没有对数，即； （3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； （4）对数恒等式：； （5）． 清单05对数运算性质与换底公式 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 （1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． （2）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 清单06 对数函数及其性质 1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，，即过定点（1，0） 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 3、反函数 指数函数（且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的图象关于直线对称． 清单07 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：（1）确定函数的定义域； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；其次，列表，描点，连线． 2、函数图象的变换 （1）平移变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 3、常用结论 （1）函数图象自身的轴对称 ①函数的图象关于轴对称； ②函数的图象关于对称； ③若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称． （2）函数图象自身的中心对称 ①函数的图象关于原点对称； ②函数的图象关于（a，0）对称； ③函数的图象关于点（a，b）成中心对称． （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数与的图象关于直线对称（由得对称轴方程）； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于点（0，b）对称； ④函数与的图象关于点（a，b）对称． 清单08 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【注】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 清单09 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 2、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 清单10 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 清单11 二分法求零点近似值 1、二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 2、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 清单12 几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 清单13 三种函数模型的性质 函数性质 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 【易错01：易错01：指数运算忽略底数的范围】 对于，当n为奇数，m为偶数时，应考虑“”这个隐含条件. 【典例】化简：. 【针对训练】 1. 化简的值是（ ） A. x B. －x C. －x D. x 2. 设f(x)＝，若0<a≤1，求. 【易错02：忽略指数函数的值域大于0】 指数函数的值域 【典例】 求函数的定义域和值域． 【针对训练】 1. 函数的最大值为_________． 2. 求函数的值域． 【易错03：忽略指数函数图像的范围限制】 根据指数函数、对数函数图象可知，都存在这渐近线，分别为y=0和x=0，在解答与其图象相关问题时，要特别注意渐近线起到的对图象的约束作用． 【典例】 1．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【针对训练】 1．已知函数． (1)作出函数的图象； (2)讨论方程的解的情况． 【易错04：指数函数与幂函数单调性混淆】 【典例】 1．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【易错05：对数的运算忽略底数、真数的范围】 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，只要出现对数式，就需要注意隐含条件真数大于零；对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0<a<1和a>1分类讨论，否则易出错． 【典例】 1．（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．若，则x的值为 ． 【易错06：对数复合函数忽略定义域】 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 【典例】 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【易错07：图像平移、翻折变换不熟悉】 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 【典例】 1．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【针对训练】 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知函数. (1)画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间； (2)解不等式； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 【易错08：零点存在定理理解不清晰】 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【典例】 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 2．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【针对训练】 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【易错09：嵌套函数的零点问题】 【典例】 1．已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【针对训练】 1．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【易错10：指对函数中的恒成立、有解问题】 【典例】 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ． 【针对训练】 1．若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数． (1)求的定义域D，并证明：，都有，且为定值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围． 1．（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）若，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·期中）已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 8．已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 9．设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·黑龙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·青海西宁·月考）（多选题）已知函数，则（ ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 13．（多选题）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 14．（多选题）已知函数，下列说法错误的有（    ） A．存在实数，使得的定义域为 B．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 C．对任意正实数的值域为 D．函数一定有最小值 15．若，则 ． 16．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）若关于的方程有两个不等根，则实数的取值范围为 17．（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 18．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的取值范围是 ． 19．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 20．（23-24高一上·上海·月考）已知，若不等式有解，则的取值范围是 . 21．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 22．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为 . 23．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知对恒成立，则的取值范围为 . 24．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 25．由函数图像，画出下列各函数图像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 26．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义域是R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 清单01 根式 1、n次方根的定义与性质 （1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． （2）性质： ①当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； ②当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在； ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④0的任何次方根都是0，记作． 2、根式的定义与性质 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）性质：（，且） a； 清单02 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： 2、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式：；； （2）平方差公式：； （3）立方差公式：； （4）立方和公式：； （5）完全立方公式：；． 清单03 指数函数及其性质 1、指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 清单04 对数的概念与性质 1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作， 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 3、对数的性质 （1）当，且时，； （2）负数和0没有对数，即； （3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； （4）对数恒等式：； （5）． 清单05对数运算性质与换底公式 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 （1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． （2）可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 清单06 对数函数及其性质 1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，，即过定点（1，0） 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 3、反函数 指数函数（且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的图象关于直线对称． 清单07 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：（1）确定函数的定义域； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；其次，列表，描点，连线． 2、函数图象的变换 （1）平移变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 3、常用结论 （1）函数图象自身的轴对称 ①函数的图象关于轴对称； ②函数的图象关于对称； ③若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称． （2）函数图象自身的中心对称 ①函数的图象关于原点对称； ②函数的图象关于（a，0）对称； ③函数的图象关于点（a，b）成中心对称． （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数与的图象关于直线对称（由得对称轴方程）； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于点（0，b）对称； ④函数与的图象关于点（a，b）对称． 清单08 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【注】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 清单09 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 2、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 清单10 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 清单11 二分法求零点近似值 1、二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 2、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 清单12 几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 清单13 三种函数模型的性质 函数性质 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 【易错01：易错01：指数运算忽略底数的范围】 对于，当n为奇数，m为偶数时，应考虑“”这个隐含条件. 【典例】化简：. 解析：要使函数有意义，则，．即的定义域为． 因为，即，所以． 又，所以函数的值域为． 【针对训练】 1. 化简的值是（ ） A. x B. －x C. －x D. x 【答案】C 【分析】先根据根式有意义，求得的范围，再利用公式进行化简. 【详解】要使有意义，需－x3≥0，即x≤0. ∴＝＝|x|＝－x. 故选：C. 2. 设f(x)＝，若0<a≤1，求. 【答案】. 【分析】将代入解析式，根据根式的性质即可求解. 【详解】 ， 因为0<a≤1，所以a≤， 故. 【易错02：忽略指数函数的值域大于0】 指数函数的值域 【典例】 求函数的定义域和值域． 解析：要使函数有意义，则，．即的定义域为． 因为，即，所以． 又，所以函数的值域为． 【针对训练】 1. 函数的最大值为_________． 【答案】 【分析】设，结合求出的取值范围，进而求出的取值范围，即可求出函数的最大值. 【详解】设， 因为， 所以当时，有最大值， 当时，有最小值， 即， 所以，即的取值范围是， 所以函数的最大值为， 故答案为：. 2. 求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数的单调性得出值域. 【详解】令，，则． 因为函数在上单调递增， 所以，即函数的值域为 【易错03：忽略指数函数图像的范围限制】 根据指数函数、对数函数图象可知，都存在这渐近线，分别为y=0和x=0，在解答与其图象相关问题时，要特别注意渐近线起到的对图象的约束作用． 【典例】 1．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依据函数的性质作出直线与函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】因为函数为定义在R上的增函数，且， 所以， 在同一坐标系作出直线与函数的图象如图所示， 由图可得，所以. 所以满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 【针对训练】 1．已知函数． (1)作出函数的图象； (2)讨论方程的解的情况． 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方， 原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象，如下图所示：    （2）方程的解的个数，即与图象交点的个数， 数形结合可得： 当时，原方程无解； 当，或时，原方程有解； 当时，原方程有4个解； 当时，原方程有3个解. 【易错04：指数函数与幂函数单调性混淆】 【典例】 1．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：C. 【针对训练】 1．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数、指数函数的单调性比较大小. 【详解】函数在上单调递增，； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：A 【易错05：对数的运算忽略底数、真数的范围】 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，只要出现对数式，就需要注意隐含条件真数大于零；对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0<a<1和a>1分类讨论，否则易出错． 【典例】 1．（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C 【针对训练】 1．若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 【易错06：对数复合函数忽略定义域】 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 【典例】 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 【针对训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 【易错07：图像平移、翻折变换不熟悉】 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 【典例】 1．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项对函数解析式进行变形，结合图象变换方法判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故A错误， 对于B，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故B错误， 对于C，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故C错误， 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】画出函数图像即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，      由图可知，两函数的图象的交点个数为4. 故选：C. 【针对训练】 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【分析】先变形得到，故利用“上加下减，左加右减”得到答案. 【详解】， 故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到. 故选：A 2．（23-24高一上·北京丰台·期末）已知函数. (1)画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间； (2)解不等式； (3)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)图象见解析，值域为，单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3) 【分析】（1）根据函数，即可画出对应的图象，从而求解. （2）利用指数函数的单调性可求解不等式，从而求解 （3）由恒成立，即得，结合（1）中结论即可求解. 【详解】（1）由题意知函数，从而可画出图象如下： 当时，且单调递减，当时，且单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，即， 可得，即或. 所以该不等式的解集为. （3）由恒成立，即， 又，所以，解得. 所以的取值范围为. 【易错08：零点存在定理理解不清晰】 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【典例】 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理及函数的单调性判定即可. 【详解】因为函数在区间上单调且连续， 则或， 由零点存在性定理知必有唯一的实数解使得， 即方程在区间上必有唯一的实数解. 故选：D 2．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用零点存在定理与函数的单调性即可得到答案. 【详解】任取， 因为，所以 ，又， 因此 ，所以函数 在R上单调递增， 所以 在R上至多一个零点. 又因为， ， 所以由零点存在定理知函数在区间 内存在零点， 又因为函数 在R上单调递增， 所以函数 在R上的零点个数为 1. 故选：B 【针对训练】 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】若函数满足， 根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有，那么函数在区间内有零点. 但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的， 比如函数，当，时，， 但在上没有零点. 所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立. 若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时. 这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数单调性，结合零点存在定理即可判断答案. 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又，，， ，， 即，故函数的零点所在区间是， 故选：B 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可得结论. 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 所以，由零点存在性定理可知一定包含零点的区间是． 故选：C. 【易错09：嵌套函数的零点问题】 【典例】 1．已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 【针对训练】 1．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 【答案】或 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 【易错10：指对函数中的恒成立、有解问题】 【典例】 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】参变分离得到关于的不等式在上有解，利用对勾函数的性质求出，即可求出的取值范围. 【详解】因为关于的不等式在上有解， 所以关于的不等式在上有解， 所以，， 因为，所以，令，则， ， 令，， 因为对勾函数在上单调递减，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为： 【针对训练】 1．若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数和对数函数的图像和性质，由已知中当时，通过讨论的范围，结合函数的取值情况，可求解出参数. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以当时， ①当时，函数为增函数， 要使不等式在恒成立， 则须满足，即，解得； ②当时，函数为减函数，当时值域为负数，不满足题意， 综上，的取值范围是. 故选：C． 2．已知函数． (1)求的定义域D，并证明：，都有，且为定值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据对数函数的性质，建立不等式，求得定义域；根据对数运算，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合反比例函数以及对数函数的单调性，可得函数的单调性，从而求得最值，由题意，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由，解得，故的定义域D为． 当时，，故， 且． （2）令，则可以看做函数与复合而成． 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减．故． 而不等式在上有解等价于， 所以实数m的取值范围为． 1．（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）若，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以函数在上单调递减，所以. 因为，所以函数在上单调递增，所以， 又， 所以； 又，即. 综上：. 故选：A 3．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可. 【详解】 ，即 ， ， . 故选：A . 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·期中）已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由函数的零点存在性定理进行判断即可． 【详解】根据题意，若，则，，中两正一负，或者三负， 例如，当，，时，方程在和内至少各有一个解， 当，，时，不能保证方程在至少有两解， 所以“”不是“方程在内至少有两个解”的充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定，，的符号， 所以“”不是“方程在内至少有两个解”的必要条件. 所以“”是“方程在内至少有两个解”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 7．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】先将目标函数分离常数，再根据函数图像的平移变换即可得解． 【详解】函数， 为了得到函数的图像， 只需将函数的图像，向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 故选：． 8．已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 【答案】A 【分析】画出的图象，数形结合得到ABD选项，不妨设，从而得到，计算出. 【详解】， 画出的图象如下，      A选项，函数在区间上单调递减，A正确； B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误； C选项，若，但，不妨设， 则，即， 由于在上单调递增， 故，即，C错误； D选项，由图象可知，函数有且仅有一个零点，D错误. 故选：A 9．设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理求出、的方程，直接解出的值，即可得出结论. 【详解】设，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 由零点存在定理可得， 由题意知，解得，因此，. 故选：B. 10．已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围. 【详解】由得：， 当时，或； 作出图象如下图所示， 则有三个不等实根，与有四个不同交点， ，解得：； 当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 11．（25-26高一上·黑龙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 又，由指数函数在上单调递减， 幂函数在上单调递增， 可得， 所以．故选D． 12．（24-25高一上·青海西宁·月考）（多选题）已知函数，则（ ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 【答案】AC 【分析】根据偶函数的定义可得选项A正确；利用可得选项B错误；利用复合函数的单调性可得选项C正确；利用函数单调性可得选项D错误. 【详解】由得, ,为偶函数,选项A正确. 令，则，由在为减函数可得，即，的值域为，选项B错误. 函数在为增函数，在为减函数，由复合函数的单调性可知在上单调递减，选项C正确. ，根据在为减函数可得，即，选项D错误. 故选：AC. 13．（多选题）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】由，，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D. 【详解】∵过原点，∴，∴①， 又∵时，， ∴时，，由题，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，故A正确； 所以，，，所以B错误； 由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误； ∵由题可得函数为偶函数，∴，又∵，∴，∴，∴，故D正确．    故选：AD 14．（多选题）已知函数，下列说法错误的有（    ） A．存在实数，使得的定义域为 B．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 C．对任意正实数的值域为 D．函数一定有最小值 【答案】ABD 【分析】根据对数函数的性质，即可根据判别式求解ACD，根据复合函数的单调性即可求解B. 【详解】对于A，函数的定义域为时，对恒成立，所以，无解，A错误． 对于C，要使的值域为，则函数的值域需满足，所以，得，故对任意正实数的值域为，C正确． 对于D，由C可知时，的值域为，不存在最小值，D错误． 对于B，因为是增函数，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增且在上恒成立，所以解得，B错误． 故选：ABD. 15．若，则 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分类计算. 【详解】当时，， 当时，. 故答案为： 16．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）若关于的方程有两个不等根，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】画出与图象，数形结合即可求得结果. 【详解】由题意知，与有两个不同的交点， 又，如图所示， 所以. 故答案为：. 17．（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据对数的性质，列不等式即可求解定义域，进而根据复合函数的性质即可求解单调性和值域. 【详解】（1）令，解得， 故函数的定义域为， 又在单调递增，在单调递减，而在单调递增，故的单调递增区间为， 当时，，故最大值为，故函数的值域为， （2）令，则或，故的定义域为， 在单调递减，在单调递增，而为单调递减函数，因此的单调递增区间， 当时，，故的值域为. 故答案为：，，， 18．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数可得，结合指数函数与二次函数单调性可得参数范围. 【详解】由命题：存在实数，使得为假命题， 可知命题：，为真命题， 即，， 又，所以当，即时，函数取最大值为， 即， 故答案为：. 19．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设，讨论、结合恒成立，列不等式组求范围. 【详解】由题设， 当时，，此时只需，则有； 当时，，此时只需，则有； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 20．（23-24高一上·上海·月考）已知，若不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式有解转化为有解，结合判别式大于0，解不等式即可求得答案. 【详解】由题意得有解，即为有解， 即有解，即有解， 所以，解得或， 即的取值范围为， 故答案为： 21．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】为二次函数，当，方程两解，问题等价于方程在区间上有两个不同实根，结合二次函数的图像与性质列不等式求解. 【详解】考虑方程，由的图象得：    当时，方程无解；当或时，方程一解； 当，方程两解． 故方程有4个不相同的实数根，等价于方程在区间上有两个不同实根， 则，解得：，所以实数a的取值范围为． 故答案为：． 23．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知对恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据指数函数的值域得出，再把恒成立问题转化为，最后应用一元二次不等式计算求解. 【详解】因为，所以由指数函数的单调性得， 函数在上单调递增， 又因为，且，所以函数在上单调递增； 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，即，所以， 解得，即， 所以，解得或； 而，故. 故的取值范围为. 故答案为：. 24．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当，时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下：      令函数，，解得或， 即或， 根据图象有2个解，有1个解， 因此此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图像如下：    令函数，，解得或或， 根据图象，有3个解，有2个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 25．由函数图像，画出下列各函数图像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)图像见解析 (2)图像见解析 (3)图像见解析 (4)图像见解析 (5)图像见解析 (6)图像见解析 【分析】根据题意结合函数图象变换逐项分析作图. 【详解】（1）由于与关于轴对称，可得图象如下： . （2）由于与关于轴对称，可得图象如下： . （3）由于，可得图象如下： . （4）由于为偶函数，可得图象如下： . （5）将向右平移1个单位可得，可得图象如下： . （6）将向左平移1个单位可得， 易得为偶函数，当时，， 所以在轴左侧的图象由的图象关于轴对称而得，如图， . 26．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义域是R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)在R上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解； （2）根据函数单调性的定义进行证明即可； （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【详解】（1）由为定义在上奇函数，可知， 即，解得． 经检验，符合题意， 故； （2）由单调递增可知在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， ， 递增，且，，，， 故在上为增函数． （3）由为奇函数得：，等价于． 又由在上为增函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 的取值范围是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $