第二章 直线和圆的方程单元综合测试-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线和圆的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 2．直线x-y-2=0的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 3．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 4．直线与圆交于M，N两点，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列直线中，与圆：不相切的是（   ） A． B． C． D． 6．圆和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 7．已知圆，过点的直线与圆交于两点.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（   ） A．曲线C上两点间距离的最大值为 B．若点在曲线C内部不含边界，则 C．若曲线C与直线有公共点，则 D．若曲线C与圆有公共点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．两条平行直线与之间的距离为 ． 13．已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则 . 14．已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 16．（15分） 已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 17．（15分） 已知圆． (1)将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； (2)求直线被圆所截得的弦长； (3)过点作圆的切线，求切线方程. 18．（17分） 已知圆过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)过动点作圆的两条切线，，切点分别为，． （i）记四边形的面积为，求的最小值； （ii）求证：直线恒过定点． 19．（17分） 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. (1)求圆C的方程； (2)设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】直线，， 若，则，解得． 故选：D． 2．直线x-y-2=0的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该直线斜率，设直线的倾斜角为，由，可得. 故选：C 3．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解析】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 4．直线与圆交于M，N两点，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 由圆的弦长公式：， 得， 解得. 故选：C 5．下列直线中，与圆：不相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆：可化为，其圆心为，半径， 对于A, 圆心到该直线的距离等于，所以该直线与圆相切； 对于B, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于C,同理圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于D, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆不相切. 故选：D 6．圆和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】B 【解析】圆心，半径.圆心，半径， ∵， ∴两圆的位置关系是外切. 故选：B. 7．已知圆，过点的直线与圆交于两点.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点，因为，所以为等边三角形， 所以，， 又点，点，则， 在直角三角形中，，即，解得. 故选：C. 8．已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故①正确； 因为，所以， 而，所以，故②正确； 因为，所以， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【解析】由题意知，圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切， 当两圆外切时，， 当两圆内切时，. 故或4,即或. 故选：BD 10．已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 【答案】BD 【解析】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确. 故选：BD. 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（   ） A．曲线C上两点间距离的最大值为 B．若点在曲线C内部不含边界，则 C．若曲线C与直线有公共点，则 D．若曲线C与圆有公共点，则 【答案】ABC 【解析】当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第一象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第二象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第三象限的部分， 当 时，，曲线C是圆心为，半径 的圆落在第四象限的部分， 作曲线C的图形如下图：其中， ， ， . 对于A，因为曲线C在第一象限内的点到原点O的距离的最大值为 ， 所以曲线C上两点间距离的最大值为 ，故A正确； 对于B，因为点在C内部，所以点 在 的内部， 因此 ，解得 ，即，故B正确； 对于C，由曲线的图形知：要曲线与直线有公共点， 则点到直线的距离 或点D到直线的距离， 因此 或 ， 解得 或 ，所以，故C正确； 对于D，由线与坐标轴的交点为，， 当圆过点，时，最小，最小值为， 由曲线的图形及选项A知：要曲线与圆 有公共点，则 ，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．两条平行直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】将直线两边同时除以2可得：， 代入平行直线间的距离公式可得：. 故答案为：. 13．已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 直线，即， 要使圆上恰有3个点到直线的距离都等于1， 则圆心到直线的距离，解得. 故答案为： 14．已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【解析】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 但由于直线不可能为，直线不可能为， 所以直线与直线的交点不包含， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心， 半径为的圆（除点）， 又圆的圆心，半径， 由于，两圆相离，如下图所示， 的最小值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【解析】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； （4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 16．（15分） 已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【解析】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 17．（15分） 已知圆． (1)将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； (2)求直线被圆所截得的弦长； (3)过点作圆的切线，求切线方程. 【解析】（1）将进行配方可得，， 所以该圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为． （2）由（1）知，圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 设弦长为，则， 所以直线被圆所截得的弦长为. （3）因为， 所以点在圆外. 当切线斜率不存在时，过点的方程为，此时圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得圆心到切线的距离 ， 整理得，即， 解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 所以过点与圆相切的直线方程为；. 18．（17分） 已知圆过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)过动点作圆的两条切线，，切点分别为，． （i）记四边形的面积为，求的最小值； （ii）求证：直线恒过定点． 【解析】（1）设圆的一般方程为：， 因为圆经过点，，， 代入得到，整理得， 解得，所以圆的一般方程变为： 化为标准方程为， 因此，圆的标准方程为： （2）（i）圆心，半径. 设点到圆心的距离d：则， 所以切线长， 四边形由两个直角三角形和组成， 所以， 当且仅当时取等号，所以四边形的面积的最小值为. （ii）以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即，即， 因为圆的一般方程为， 两圆方程相减得，即， 由，解得，所以直线恒过定点. 19．（17分） 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. (1)求圆C的方程； (2)设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【解析】（1） 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. （2） 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. （3） 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 答案第14页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $