2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（思维导图+4大知识点+11大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本高中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理位置关系的判定方法（代数法、几何法）、切线方程求法、弦长计算、公切线与最值问题等内容，通过知识点梳理到题型归纳的递进，搭建完整学习支架。 资料含思维导图辅助知识结构化，11类题型覆盖判断、参数求解、实际应用等场景，例题与变式题结合强化训练，方法技巧总结培养数学思维。课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升问题解决能力。

2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线与圆的位置关系 4 知识点二：圆的切线方程的求法 4 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 5 知识点四：圆与圆的位置关系 5 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：直线与圆的位置关系的判断 8 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 9 题型三：切线与切线长问题 12 题型四：弦长问题 15 题型五：圆与圆的位置关系的判断 18 题型六：由圆的位置关系确定参数 20 题型七：公共弦与切点弦问题 22 题型八：公切线问题 25 题型九：范围与最值问题 28 题型十：圆系问题 35 题型十一：实际问题 38 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：直线与圆的位置关系的判断 【例题1】（2025·高二·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 【例题2】（2025·高三·广东·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【答案】C 【解析】圆的圆心的坐标为，半径， 直线，由，解得， 即直线过定点，由， 则位于圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：C 【方法技巧与总结】 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1】（2025·高二·河北邢台·月考）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【解析】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 【变式2】（2025·高二·全国·期中）对于圆C：，直线l：，点在圆C上，则直线l与圆C（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C上，可知， 可得， 圆心到直线的距离， 因为，所以，所以直线与圆相切. 故选：A. 【变式3】（2025·高二·云南昆明·月考）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 【例题3】（2025·高二·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D 【例题4】（2025·高二·山东·期中）已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相交， 则，即， 两边同时平方化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 【变式4】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径，直线即， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个， 如图： 得圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 【变式5】（2025·高二·海南·期中）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 故选：B. 【变式6】（2025·高二·广西钦州·期中）若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分， 如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则. 故选：C. 题型三：切线与切线长问题 【例题5】（2025·高二·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D 【例题6】（2025·高二·山东菏泽·期中）已知圆，动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】由题可得圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，由题意可知与全等， 所以由得， 则. 故选：C 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式7】（2025·高二·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 【变式8】（2025·高三·北京平谷·月考）过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或. 故选：D. 【变式9】（2025·高二·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 题型四：弦长问题 【例题7】（2025·高二·内蒙古包头·期中）直线与圆相交于两点A，B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交弦长. 故选：B. 【例题8】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 【方法技巧与总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式10】（2025·高二·广西南宁·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 【变式11】（2025·高二·江苏连云港·期中）直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有：， 所以圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 设直线与圆相交与两点， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 【变式12】（2025·高二·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C 题型五：圆与圆的位置关系的判断 【例题9】（2025·高二·甘肃定西·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆可整理为，其圆心. 由题可知，直线经过圆心，即，解得， 因此圆，圆心，. 圆，圆心，. 圆心距，，， ，两圆相交. 故选：A. 【例题10】（2025·高二·山东临沂·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则，， 则，故两圆内切. 故选：C 【方法技巧与总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 【变式13】（2025·高二·重庆·期中）已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 【变式14】（2025·高二·山东济宁·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 由圆，可得圆心，半径为， 由，所以圆与圆的外切. 故选：C. 【变式15】（2025·高二·陕西榆林·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】由圆的圆心，半径为， 与圆的圆心，半径为， 则圆心距， 所以两圆位置关系是相外切， 故选：C. 题型六：由圆的位置关系确定参数 【例题11】（2025·高二·四川·期中）若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交， ∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又， ∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 【例题12】（2025·高二·江苏无锡·期中）若圆与圆外切，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又两圆外切，则，即，解得， 故选：D. 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式16】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， 因为，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，即， 解得.   综上可得实数的取值范围为. 故选：C. 【变式17】（2025·高二·江苏常州·期中）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 若两圆恰有三条公切线，则两圆外切， 故两圆圆心距离等于两圆半径和， 即，化简可得， 令，则代入得 ， 因为，所以， 解得， 则的最大值为. 故选：B. 【变式18】（2025·高二·福建南平·期中）若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（    ） A．1 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】由题意知，圆与圆外切， ∴圆心距为两圆半径之和， ∴， 解得． 故选：A． 题型七：公共弦与切点弦问题 【例题13】（2025·高二·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 【例题14】（2025·高二·福建莆田·期中）若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆和圆方程相减， 可得公共弦的直线方程， 故选：C. 【方法技巧与总结】 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． （3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【变式19】（2025·高二·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 【变式20】（2025·高二·江苏连云港·期中）已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆方程可得圆心分别为，，半径分别为，， 圆心距，，两圆相交， 两圆方程作差得：，即， 直线的方程为：. 故选：C. 【变式21】（2025·高二·贵州铜仁·期中）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 题型八：公切线问题 【例题15】（2025·高二·广西河池·月考）已知圆与圆有三条公切线，则 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆，圆心，半径为，， 因为两圆有3条公切线，所以两圆相外切，所以，所以， 故答案为： 【例题16】（2025·高二·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则 . 【答案】或 【解析】由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条. 情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 利用几何法进行转化． 【变式22】（2025·高二·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】，，，(写一条即可） 【解析】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 【变式23】（2025·高二·湖南·月考）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，或填或填） 【解析】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 【变式24】（2025·高二·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 题型九：范围与最值问题 【例题17】（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】ACD 【解析】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：， 即的最大值为24，故D正确. 故选：ACD. 【例题18】（多选题）（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知圆过点，动点直线上任意一点，过向圆引两条切线，切点分别为为，记的最小值为的最大值为.下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B． C．四边形的面积范围为 D．当时，四边形的外接圆与圆的交点所在的直线为 【答案】AD 【解析】对于A项，因为圆过，且的中点坐标为， 故,且 该点与的三点距离相等，所以为圆的圆心，即， 且圆的半径. 所以圆的标准方程为，故A项正确. 对于B项，因为，所以易证，所以， 又因为，所以，结合在单调递减， 又因为，当且仅当最小时，取最小值， 即，此时，， ，即 此时最大，且最大值是一个钝角， 因为为直线上的一个动点，可以一个锐角连续变化一个钝角， 所以，当时，，所以，故B项错误. 对于C项，因为，所以 ， 所以当时，即，，故C项错误. 对于D项，因为，所以四点共圆. 当时，此时，所以直线， 又因为，解得，此时， 四点共圆的圆心，半径为，所以圆， 联立圆减去圆的方程得直线：，故D项正确. 故答案为：AD. 【方法技巧与总结】 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式25】（2025·高二·天津静海·期中）已知点为圆上一点，则的最大值为 ，求取值范围为 . 【答案】 【解析】圆，即， 记圆心为，半径， 点为圆上的点，表示点到的距离的平方， 又，所以，所以的最大值为； 令，则，即， 又直线与圆：有公共点， 所以圆心到直线的距离， 整理得，解得，即取值范围为. 故答案为：；. 【变式26】（2025·高二·山东济宁·期中）已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为 ． 【答案】/ 【解析】由，则，故，半径， 如上图示，，且，则， 要使最大，即最大，故只需最小， 而，故只需最小， 由图知，要使最小，即轴，此时，则， 所以，在中，最大，即 ，故最大， 所以取得最大值时，是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 【变式27】（多选题）（2025·高二·广东·期中）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 【答案】ACD 【解析】实数，满足，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 对于A，，解得，因此的最大值为，A正确； 对于B，令，则直线与圆有公共点，， 解得，因此的最小值为，B错误； 对于C，令，则直线与圆有公共点，，解得， 因此的最小值为，C正确； 对于D，表示圆上的点到定点距离的平方， 而圆心与点距离为，则， 即，因此的最大值为9，D正确. 故选：ACD 【变式28】（多选题）（2025·高二·浙江·期中）已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】∵：与直线：， ∴直线必过定点， ∴线段的中点为，且. 又∵由直线方程可知. 点在以为直径的圆上. y：不包括直线,直线：不包括直线， ∴点的轨迹是以为直径的圆（除去点), ∴，A选项正确. ∵，∴. 又∵圆：上的圆心为,半径， ∴圆心到线段的距离，. 当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最小值，，B选项错误. , 当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最大值，， ∴，C选项正确. 设直线，,到直线的距离分别为， 则，， 由梯形中位线可知. ∴， 又∵圆心到直线的距离，， ∴，即， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 【变式29】（多选题）（2025·高二·山东菏泽·月考）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【解析】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 题型十：圆系问题 【例题19】经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或 【解析】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 【例题20】（2025·高二·安徽铜陵·期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ∵所求圆过点 ∴ 解得 所以圆的方程为，化简得. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式30】（2025·高二·陕西西安·月考）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 【答案】 【解析】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 【变式31】（2025·高三·全国·专题练习）过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 . 【答案】 【解析】因为所求的圆过已知两圆的交点，故可表示为：，（*） 即（*），可得其圆心坐标为. 因为圆心在直线上，代入可得，解得. 代入（*），可得， 整理得即为所求圆的方程. 故答案为：. 【变式32】（2025·高二·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C的圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 题型十一：实际问题 【例题21】（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C 【例题22】（2025·高二·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【解析】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 【方法技巧与总结】 解决直线与圆的实际问题，关键在于理解直线与圆的位置关系。可通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断相切、相交或相离。利用方程求解交点，结合实际问题背景，分析并得出结果。 【变式33】（2025·高二·江西南昌·月考）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 【答案】C 【解析】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 【变式34】（2025·高二·河南漯河·月考）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得示意图 以城市为圆心作一个半径为的圆，只要台风经过圆内，即段，城市处于危险地区； 台风从地向移动,其中为中点，所以 所以 所以 又因为台风速度为 所以城市处于危险地区内的时长为 故选： 【变式35】已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，   O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米． 故选：C. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线与圆的位置关系 4 知识点二：圆的切线方程的求法 4 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 5 知识点四：圆与圆的位置关系 5 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：直线与圆的位置关系的判断 8 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 8 题型三：切线与切线长问题 9 题型四：弦长问题 10 题型五：圆与圆的位置关系的判断 11 题型六：由圆的位置关系确定参数 12 题型七：公共弦与切点弦问题 12 题型八：公切线问题 13 题型九：范围与最值问题 14 题型十：圆系问题 15 题型十一：实际问题 16 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：直线与圆的位置关系的判断 【例题1】（2025·高二·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【例题2】（2025·高三·广东·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【方法技巧与总结】 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1】（2025·高二·河北邢台·月考）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【变式2】（2025·高二·全国·期中）对于圆C：，直线l：，点在圆C上，则直线l与圆C（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【变式3】（2025·高二·云南昆明·月考）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 题型二：由直线与圆的位置关系求参数问题 【例题3】（2025·高二·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·山东·期中）已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 【变式4】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·海南·期中）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·广西钦州·期中）若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：切线与切线长问题 【例题5】（2025·高二·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高二·山东菏泽·期中）已知圆，动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式7】（2025·高二·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式8】（2025·高三·北京平谷·月考）过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式9】（2025·高二·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 题型四：弦长问题 【例题7】（2025·高二·内蒙古包头·期中）直线与圆相交于两点A，B，则（   ） A． B． C． D． 【例题8】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式10】（2025·高二·广西南宁·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式11】（2025·高二·江苏连云港·期中）直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·高二·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 题型五：圆与圆的位置关系的判断 【例题9】（2025·高二·甘肃定西·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【例题10】（2025·高二·山东临沂·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．内含 【方法技巧与总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 【变式13】（2025·高二·重庆·期中）已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【变式14】（2025·高二·山东济宁·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【变式15】（2025·高二·陕西榆林·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 题型六：由圆的位置关系确定参数 【例题11】（2025·高二·四川·期中）若圆与圆N：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题12】（2025·高二·江苏无锡·期中）若圆与圆外切，则（    ） A． B． C．或 D． 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式16】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式17】（2025·高二·江苏常州·期中）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式18】（2025·高二·福建南平·期中）若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（    ） A．1 B．3 C．4 D． 题型七：公共弦与切点弦问题 【例题13】（2025·高二·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题14】（2025·高二·福建莆田·期中）若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． （3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【变式19】（2025·高二·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式20】（2025·高二·江苏连云港·期中）已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式21】（2025·高二·贵州铜仁·期中）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型八：公切线问题 【例题15】（2025·高二·广西河池·月考）已知圆与圆有三条公切线，则 ． 【例题16】（2025·高二·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则 . 【方法技巧与总结】 利用几何法进行转化． 【变式22】（2025·高二·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【变式23】（2025·高二·湖南·月考）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 【变式24】（2025·高二·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 题型九：范围与最值问题 【例题17】（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【例题18】（多选题）（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知圆过点，动点直线上任意一点，过向圆引两条切线，切点分别为为，记的最小值为的最大值为.下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B． C．四边形的面积范围为 D．当时，四边形的外接圆与圆的交点所在的直线为 【方法技巧与总结】 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式25】（2025·高二·天津静海·期中）已知点为圆上一点，则的最大值为 ，求取值范围为 . 【变式26】（2025·高二·山东济宁·期中）已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为 ． 【变式27】（多选题）（2025·高二·广东·期中）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 【变式28】（多选题）（2025·高二·浙江·期中）已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式29】（多选题）（2025·高二·山东菏泽·月考）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 题型十：圆系问题 【例题19】经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【例题20】（2025·高二·安徽铜陵·期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【方法技巧与总结】 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式30】（2025·高二·陕西西安·月考）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程 . 【变式31】（2025·高三·全国·专题练习）过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 . 【变式32】（2025·高二·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 题型十一：实际问题 【例题21】（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【例题22】（2025·高二·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 【方法技巧与总结】 解决直线与圆的实际问题，关键在于理解直线与圆的位置关系。可通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断相切、相交或相离。利用方程求解交点，结合实际问题背景，分析并得出结果。 【变式33】（2025·高二·江西南昌·月考）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 【变式34】（2025·高二·河南漯河·月考）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【变式35】已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $