专题04 数列（期末真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 ( 地 城 考点01 数列的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（   ） A．13 B．21 C．34 D．55 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列的前n项和，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．27 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列，且，则数列的前2023项之和为（ ） A．2 B．3 C．2023 D．2024 5．（24-25高二上·内蒙古·期末）若数列满足，则（    ） A．11 B． C． D． 6．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在数列中，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 二、多选题 7．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 8．（24-25高二上·内蒙古·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若数列满足，则 . 10．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足：，当n为奇数时，；当n为偶数时，．若，则m的取值为 ． 四、解答题 11．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. ( 地 城 考点0 2 等差数列 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．987 B．985 C．983 D．981 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是8，8，8，10，11，16，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（    ） A．12 B．20 C．25 D．27 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．为递增数列 C． D．的前4项和为 6．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 8．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知是数列的前项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 10．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. ( 地 城 考点0 3 等比数列 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．48 B．84 C．90 D．112 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知等比数列是递增数列，且的前3项和为39，，则（   ） A．27 B．81 C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知正项等比数列的前5项和为242，且数列的前5项和为，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等比数列 B． C．若，则为等差数列 D． 6．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知等比数列是递增数列，是其公比，则 B．数列的前项和为为常数.对任意常数都是等差数列 C．设，则的最小值为 D．设，则的最小值为9 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 9．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为 ． 四、解答题 10．（24-25高二下·内蒙古·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 11．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 12．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 ( 地 城 考点01 数列的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（   ） A．13 B．21 C．34 D．55 【答案】C 【分析】根据斐波那契数列规律求解. 【详解】根据题意， ， ， . 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列的前n项和，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．27 【答案】C 【分析】根据代入计算即可. 【详解】. 故选：C. 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值即可求解. 【详解】由题意令，可得：， 故选：B 4．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知数列，且，则数列的前2023项之和为（ ） A．2 B．3 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得数列中，进而直接求得答案. 【详解】数列中，，且， 所以令，得，令，得， 同理可得， 所以， 所以数列的前2023项之和等于数列的第1项，等于2. 故选：A 5．（24-25高二上·内蒙古·期末）若数列满足，则（    ） A．11 B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定条件，求出，再探讨数列的周期求解即得. 【详解】由，得，解得，， ，因此是周期为4的数列， 所以. 故选：C 6．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在数列中，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得的值，结合数列的周期性，即可求解. 【详解】由题意得， 故是以3为周期的周期数列，所以. 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 【答案】BD 【分析】结合数列的定义及性质，依次判断选项即可. 【详解】解：对于A项，数列，，，与数列，，，中顺序不同，不是同一数列，故A项错误； 对于B项，若通项公式是，则，故B项正确； 对于C项，数列，，，，…，它的一个通项公式为：，故C项错误； 对于D项，，得， 则此数列为递增数列，故D项正确， 故选：BD 8．（24-25高二上·内蒙古·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 三、填空题 9．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若数列满足，则 . 【答案】/0.8 【分析】根据递推式写出前几项，得到数列的周期，利用周期性求项. 【详解】因为， 所以， 所以数列是周期为4的周期数列，故. 故答案为： 10．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足：，当n为奇数时，；当n为偶数时，．若，则m的取值为 ． 【答案】 【分析】根据数列递推公式进行“倒推”写出数列的项. 【详解】由已知当n为奇数时，为偶数，为偶数，； 若，为偶数，则，即； 同理，，又，则. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由，① 得，② ①-②得，即， 经检验，也符合， 所以； （2）由题意得， 所以 . ( 地 城 考点0 2 等差数列 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．987 B．985 C．983 D．981 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知，则． 故选：B 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）记等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是8，8，8，10，11，16，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（    ） A．12 B．20 C．25 D．27 【答案】D 【分析】先判断出众数，然后根据平均数、中位数、众数依次成等差数列列方程，分类讨论后求得正确答案. 【详解】这个数据的众数是，设丢失的数据是， 则平均数为， 若，则中位数是，则，解得. 若，则中位数是，平均数， 此时不成等差数列，不符合题意. 若，则中位数是，则，解得. 若，则中位数是，则， 不成等差数列，不符合题意. 若，则中位数是，则，解得. 所以丢失数据的所有可能值的和为. 故选：D 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．为递增数列 C． D．的前4项和为 【答案】BC 【分析】对A，由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质运算得解；对B，求出通项，进而求出数列的通项公式，判断；对C，由等差数列前项和公式求解判断；对D，求出的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】对于A，由，则，所以，即，又，所以，故A错误； 对于B，设等差数列的公差为，由A知，则， ，， 所以，故数列为递增数列，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为， 所以的前4项和为，故D错误. 故选：BC. 6．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 【答案】ACD 【分析】A选项，利用得到，，由得到数列为等差数列；B选项，作差法得到；C选项，时，，从而；D选项，，分组求和得到，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】A选项，①， 当时，， 当时，②， 式子①-②得 ， 故， 其中满足，综上，，， 所以，，故， 数列为等差数列，A正确； B选项，， 故，B错误； C选项，当时，， ，C正确； D选项，， 数列的前2n项和 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 【答案】 【分析】利用“累加求和”可得的通项公式，再利用“裂项求和”即可得出. 【详解】因为数列满足，且， 所以当时，， 当时，上式也成立， 所以，所以， 则的前项和， 所以数列的前10项和为． 故答案为：. 8．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知是数列的前项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出数列的公差，并求出的表达式，再建立方程求出公差即可得. （2）利用前项和与第项间的关系，求出通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 则，由，得，解得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式. 10．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系求出，再根据等差数列的定义证明即可； （2）由（1）已得，化简并裂项，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 则当时，， 因满足， 故数列的通项公式为. 又因， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）得，则， 故 . ( 地 城 考点0 3 等比数列 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A．48 B．84 C．90 D．112 【答案】C 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本量法可求公比，从而可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，故， 由，所以，又， ，解得或（舍）， . 故选：B. 3．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知等比数列是递增数列，且的前3项和为39，，则（   ） A．27 B．81 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程组即可求得首项和公比，通过通项公式求得. 【详解】由的前3项和为39，，则 解得（舍去），，. 故选：B 4．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知正项等比数列的前5项和为242，且数列的前5项和为，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据题意，结合等边数列的性质，联立求得，即可求解. 【详解】由等比数列的前5项和为，可得， 又由数列的前5项和为， 可得，解得，又因为，所以. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等比数列 B． C．若，则为等差数列 D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，构造等差数列求出通项公式，再逐项判断即可. 【详解】数列中，，显然，则， 于是数列是公差为3，首项为1的等差数列，， 对于A，，，为等比数列，A正确； 对于BD，，BD错误； 对于C，， 则，为等差数列，C正确. 故选：AC 6．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【分析】对A，根据等比数列的定义求解即可；对B，由A可得，进而可得；对C，根据等比数列的求和公式求解即可；对D，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知等比数列是递增数列，是其公比，则 B．数列的前项和为为常数.对任意常数都是等差数列 C．设，则的最小值为 D．设，则的最小值为9 【答案】AD 【分析】对于A，根据递增数列的定义结合等比数列的通项公式分析判断，对于B，根据等差数列的定义分析判断，对于CD，利用基本不等式分析判断. 【详解】对于A，因为等比数列是递增数列，所以且，即，且， 所以，且，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以， 当时，，所以当时，不满足， 所以数列不一定是等差数列，所以B错误， 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，所以D正确. 故选：AD 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】将变形为，然后利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 9．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为 ． 【答案】 【分析】根据等比中项的性质即可得出答案. 【详解】设与的等比中项为，则. 故答案为： 四、解答题 10．（24-25高二下·内蒙古·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求解即可. （2）利用基本不等式求解最小值即可，注意验证等号能否成立. （3）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和方法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）因为， 所以． 11．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列定义结合等比中项解题即可； （2）根据等比数列定义，求出通项公式，然后用裂项相消法求数列前项和即可. 【详解】（1）在等差数列中，设公差为且， 因为，，成等比数列，则， 又，则 解得或．因为，故， 又因为，所以. （2）由，，可得，又，解得． 所以，又因为， 则， 因此. 12．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据二阶等差数列的定义即可证得结果. （2） 再分组求和，即可求得结果. （3）计算的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列，再用累加法计算得. 【详解】（1）数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为， 则， 即， 所以数列的一阶差数列为， 所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列， 则 的2阶差数列是一个以2为首项的常数列， 根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列. （2）证明： ． ∵， ∴， ∴．证毕． （3）计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为， 得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…． ∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列， ． ∵，，2，…， ∴， ∴． 同理可解得， 故． 【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式.. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $