7.5 解直角三角形（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，系统讲解概念、所需条件及构造直角三角形的方法。通过回顾直角三角形边边角关系，以“已知两锐角、一锐角一边、两边”三问题为支架，衔接前四节三角函数知识，引导学生构建知识脉络。 其亮点是以问题链驱动探究，结合典例（如作辅助线解非直角三角形）和多样题型，培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言）。课堂小结梳理核心条件，助力学生掌握方法，教师可高效备课。

苏科版·九年级下册 7.5 解直角三角形 第七章 锐角三角函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解解直角三角形的概念及所需条件 能用锐角三角函数解直角三角形 3 能借助辅助线构造直角三角形，再进一步解三角形 新知探究 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，A、B、a、b、c这5个元素之间有怎样的数量关系？ 解：以上5个元素之间有以下的数量关系： ( 1 ) 三边之间的关系：a2 + b2 = c2 (勾股定理)； ( 2 ) 锐角之间的关系：∠A + ∠B = 90° (直角三角形的两个锐角互余)； ( 3 ) 边、角之间的关系：sin A = ，cos A = ，tan A = 。 a c b C A B 新知探究 思 考 直角三角形的2个锐角和3条边共5个元素中，需要知道哪几个元素的值，就能确定其余的未知元素的值？ ( 1 ) 已知两锐角？ ( 2 ) 已知一锐角和一边？ ( 3 ) 已知两边？ 新知探究 思 考 解：已知两锐角，无法求边长。 a c b C A B ( 1 ) 已知两锐角？ 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，∠B = 60°，求a、b、c。 新知探究 思 考 解：∵∠C = 90°，∠A = 30°，a = 3， ∴∠B = 90° - ∠A = 60°， tan A = ，即 = ，解得：b = 3； ∴c = = = 6。 a c b C A B ( 2 ) 已知一锐角和一边？ 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，a = 3，求∠B、b、c。 新知探究 思 考 解：∵∠C = 90°，a = 3，b = 3， ∴c = = = 6。 ∴sin A = = = ， ∴∠A = 30°。 ∴∠B = 90° - ∠A = 60°。 a c b C A B ( 3 ) 已知两边？ 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，a = 3，b = 3，求c、∠A、∠B。 新知探究 解直角三角形： 由直角三角形的边、角中的已知元素， 求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。 解直角三角形所需的元素： 若直角三角形中已知一锐角和一边或已知两边，则可求出其余元素， 即解直角三角形至少需要2个元素，且2个元素中至少有一个是边。 知识要点 典例分析 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°， ∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°。 ∵sin A = ，∴c = = = 10。 ∵tan B = ，∴b = a·tan B = 5·tan 60° = 5。 典例1 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，a = 5。解这个直角三角形。 方法技巧 解题关键：已知一锐角和一边，先利用互余关系求另一锐角，再利用三角函数求其余两边。 典例分析 解：( 1 ) 在Rt△ABC中，根据勾股定理， 得c = = ， 用计算器计算，得c ≈ 106.00。 典例2 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a = 104，b = 20.49。( 1 ) 求c的值( 精确到0.01 )； ( 2 ) 求∠A、∠B的大小( 精确到0.01 )。 典例分析 ( 2 ) 由题意知，tan A = = ， 用计算器计算，得∠A ≈ 78.85°。 ∴∠B = 90° - 78.85° = 11.15°。 典例2 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a = 104，b = 20.49。( 1 ) 求c的值( 精确到0.01 )； ( 2 ) 求∠A、∠B的大小( 精确到0.01 )。 方法技巧 解题关键：已知两边，先利用勾股定理求第三边，再利用三角函数求其中一个锐角，最后利用互余关系求另一锐角。 典例分析 分析：因为△ABC不是直角三角形，因此要设法构造直角三角形。 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D。 典例3 如图，在△ABC中，AC = 8，∠B = 45°， ∠A = 30°。求AB。 A C B 30° 45° D 典例分析 在Rt△ADC中，AD = AC·cos 30° = 8 × = 4， CD = AC·sin 30°= 8 × = 4。 在Rt△BCD中， ∵∠B = 45°，∴BD = CD = 4。 ∴AB = AD + DB = 4 + 4。 典例3 如图，在△ABC中，AC = 8，∠B = 45°， ∠A = 30°。求AB。 方法技巧 解题关键：无直角三角形时，需先作辅助线，构造直角三角形，再解三角形。 A C B 30° 45° D 典例分析 解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB = = 72°。 过点O作OH⊥AB，垂足为H。 在Rt△AHO中， ∵∠AHO = 90°，∠AOH = ∠AOB = 36°，OA = 10， ∴AH = OA·sin 36°。 ∴正五边形ABCDE的边长AB = 2AH = 2 × 10 × sin 36° ≈ 11.8。 典例4 如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长( 精确到0.1 )。 A B C D E O H 题型探究 【例1】如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A = 35°， 则直角边AC的长是________。 已知一锐角和一边解直角三角形 题型一 解：在Rt△ABC中， ∵斜边AB的长为m，∠A = 35°， ∴cos 35° = ，即cos 35° = ， ∴AC = m·cos 35°。 m·cos35° C B A m 35° 题型探究 【例2】如图，在△ABC中，BC = 9，AD⊥BC交BC的延长线于点D， 已知∠ACD = 2∠B，sin∠ACD = ，则AD的长为________。 已知一锐角和一边解直角三角形 题型一 解：∵∠ACD = 2∠B = ∠B + ∠BAC， ∴∠B = ∠BAC， ∴CB = CA = 9， ∵AD⊥BC，sin∠ACD = = ， ∴ = ，解得：AD = 6。 6 注意：已知一锐角的正弦或余弦或正切，即可看作已知一锐角 C D A B 题型探究 【例3】如图，在直角坐标系xOy中，已知点A ( 4，3 )， 直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sin α的值是________。 已知两边解直角三角形 题型二 解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为B， 由点A的坐标为( 4，3 )可知：OB = 4，AB = 3， ∴OA = = = 5， ∴sin α = = 。 A O x y α B 题型探究 【例4】在△ABC中，AB = 4，BC = 5，sin B = ， 则△ABC的面积等于________。 构造直角三角形，再求解 题型三 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵在△ABD中，AB = 4，sinB = = ， ∴ = ，解得：AD = 3， ∴△ABC的面积 = BC·AD = × 5 × 3 = 。 B A C D 题型探究 【例5】在△ABC中，∠A = 120°，AB = 4，AC = 2，则sin B的值是________。 构造直角三角形，再求解 题型三 解：如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC = 120°，∴∠CAD = 60°，∠ACD = 30°， ∵AC = 2，AB = 4， ∴AD = 1，CD = = = ， ∴BD = AB + AD = 4 + 1 = 5， ∴BC = = = 2， ∴sin B = = = 。 B A C D 题型探究 【例6】在△ABC中，AB = 15，BC = 13，AC = 14，则sin A的值是________。 构造直角三角形，再求解 题型三 解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D， 设AD = x，则CD = 14 - x， 在Rt△ABD中，BD2 = AB2 - AD2 = 225 - x2， 在Rt△CBD中，BD2 = BC2 - CD2 =169 - ( 14 - x )2 = -x2 + 28x - 27， ∴225 - x2 = -x2 + 28x - 27，解得：x = 9， ∴BD2 = 225 - x2 = 144，即BD = 12， ∴sin A = = = 。 A B C D 题型探究 【例7】在△ABC中，AB = 6，BC = 8，AC = 10，则sin 2C的值是________。 构造二倍角，再求解 题型四 解：如图，取AC中点D，连接BD， ∵AB = 6，BC = 8，AC = 10， ∴∠ABC = 90°， ∵D为AC中点， ∴BD = CD = AD = AC = 5，S△ABD = S△ABC = AB·BC = 12， ∴∠DBC = ∠C， ∴∠ADB = ∠DBC + ∠C = 2∠C， ∴sin 2C = sin ∠ADB， B A C D 题型探究 构造二倍角，再求解 题型四 过点A作AE⊥BD，垂足为E， ∵S△ABD = BD·AE = 12，BD = 5， ∴AE = ， ∴sin 2C = sin∠ADB = = = 。 B A C D 【例7】在△ABC中，AB = 6，BC = 8，AC = 10，则sin 2C的值是________。 E 课堂小结 解直角三角形： 由直角三角形的边、角中的已知元素， 求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。 解直角三角形所需的元素： 若直角三角形中已知一锐角和一边或已知两边，则可求出其余元素， 即解直角三角形至少需要2个元素，且2个元素中至少有一个是边。 感谢聆听! $