专题9 与全等三角形相关的几何探究-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学上册期末必刷卷（人教版·新教材）河南专版

●·八年级·数学·上册 河形言侧 (2)可行. (5分) 根据甜度相等，得品×10%6=10% (4分) 理由如下：BF⊥AB,DE⊥BF,∠B=∠BDE=90° ∠B=∠CDE=90°， 解得x= 50 在△ABC和△EDC中 CB=CD. 3 L∠BCA=∠DCE, .∴.△ABC≌△EDC(ASA). (7分) 经检验，-号是原方程的根且符合实际意义 .AB=ED. (8分) 答：再加人9克的糖才能和全糖奶茶的甜度一样(8分) (3)AB∥DE (10分) (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度， 解析》：AB∥DE,.∠B=∠BDE.在△ABC和△EDC中， (11分) r∠B=∠CDE, CB=CD, .'△ABC≌△EDC(ASA)..AB=ED. 解析五分糖奶茶的甜度为”×100%=2，三分糖奶. a L∠BCA=∠DCE. 茶的含糖量为0.3b克，加入0.2b克糖后，含糖量变为 3.解：(1)AC (2分) (0.3b+0.2b)=0.5b克，奶茶总质量为(a+0.2b)克，此时 (2)选择解法一 甜度为036+0,2b×100%=056 方程两边同乘x(x-2),得100(x-2)=90x. (5分) a+0.2b a+0.26×100%=0.56 a+0.2b 解得x=20. a 经检验，x=20是原方程的解且符合题意， (8分) 0.5b< <a+0.2b.0.5b>0.5b 0.5b,a>a+0.26 ∴.x-2=20-2=18 ·店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度。 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做小红花18 专题9与全等三角形相关的几何探究 朵 (10分)》 1.解：(1)∠AOB的平分线和线段MW的垂直平分线如图. (或选择解法二方程两边同乘x,得100-90=2x.解得x=5. 经检验，x=5是原方程的解且符合题意.所以100=20,20- 5 2=18.答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做小红 花18朵.) 4.解：(1)设打字员原计划的打字速度为x字/分钟，实际操作 (6分) 时该打字员的打字速度为(1+20%)x字/分钟.由题意，得 (2)线段垂直平分线上的点到线段两个端，点的距离相等 3600036000 (1+20%)元=40. (3分) 角平分线上的点到角的两边的距离相等HL (9分) 2.解：(1)△A'B'C如图所示. (2分) 解得x=150.经检验，x=150是原方程的解且符合题意。 (1+20%)x=(1+20%)×150=180 (2)S△ABc= 1 2 x3x3-) ×2x1-1x1-3×2x1=3 答：实际操作时该打字员的打字速度为180字/分钟.(6分) (5分) (2)设该打字员每分钟至少要多输人y字.由题意，得40× (3)点D如图所示.点D的坐标为(-3,3). (8分) 180+(184-40)(180+y)≥36000 (8分) 解得y≥20. 答：该打字员每分钟至少要多输人20字 (10分) 5.解：(1)设A种材料每吨x万元，则B种材料每吨(x+2)万 元由题意，四：9×13解得6 (3分) 经检验，x=6是原方程的解且符合题意 ∴.x+2=6+2=8 答：A种材料每吨6万元，B种材料每吨8万元. (6分) (2)设该企业能购进A种材料m吨，则购进B种材料(240- (4)9 (10分) m)吨.由题意，得6×(1+10%)m+8×(1-20%)(240- 3.解：(1)Sss (3分) m)≤1550. (8分) (2)如图1，直线PD即为所求 (6分) 解得m≤70 答：该企业最多能购进A种材料0吨。 (10分) 6.解：(1)当a=500,b=50时，七分糖奶茶的含糖量为0.7b= MA 0.7×50=35(克)， D 全糖奶茶的甜度为片×10%-碧x10%=10%。 图1 图2 (3)如图2，线段AD即为所求 (10分) 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能和全糖奶茶甜度一样， 4.解：(1)情况一：题设：①②④；结论：③ 此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为(35+x)克，奶茶总质 情况二：题设：①③④；结论：②， 量为(80+到克，其甜度为品经×10%。 情况三：题设：②③④；结论：①， (3分) (2)题设：①②④；结论：③. (4分) ● 6 河洛芸熙·期末考试必刷卷 河派言四 证明如下： ∠ADC=∠CEB. ∠2=∠1， .·.∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中 ∠ACD=∠CBE, 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E, LAC=CB. LAB=DE, .·.△ADC≌△CEB. (5分) .∴.△ABC≌△DEF(AAS). (7分) .AD=CE =2.5,CD=BE...BE=CD CE-DE =2.5- .∴.BC=EF 1.7=0.8. (6分) ∴.BC-FC=EF-FC,即BF=EC (10分) (3)如图，过点C作直线1∥x轴，交y (或题设：①③④；结论：②.证明如下： 轴于点G,过点A作AE⊥L于点E,过 .BF EC,.'.BF +CF=EC+CF,BC=EF. 点B作BF⊥I于点F,交x轴于点H AB=DE. 则∠AEC=∠CFB=∠ACB=90. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, A(-1,0),C(1,3),.EG=OA=1, 0 H BC=EF, CG=1,FH=AE=OG=3..∴.CE=EG+CG=2..·∠ACE+ ·.△ABC≌△DEF(SAS),∠1=∠2. ∠EAC=90°，∠ACE+∠FCB=90°，∴.∠EAC=∠FCB.在 或题设：②③④；结论：①.证明如下： ∠AEC=∠CFB, .BF=EC,∴.BF+FC=EC+FC,即BC=EF △AEC和△CFB中】 ∠EAC=∠FCB r∠2=∠1， 在△ABC和△DEF中， BC=EF. AC =CB. L∠B=∠E, .·.△AEC≌△CFB(AAS). ∴.△ABC≌△DEF(ASA),·.AB=DE.) .AE=CF=3.BF=CE=2 (9分) 5.证明：(1)：点D为BC的中点，∴.BD=CD. .'FG=CG+CF=1 +3=4,BH =FH-BF=3-2=1...B .·BE∥AC,.∴.∠EBD=∠C,∠E=∠CAD. (2分) 的坐标为(4,1) (10分) r∠EBD=∠C, 8.解：(1)证明：如图1，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接 在△BDE和△CDA中， ∠E=∠CAD, DE. BD=CD, .∴.△BDE≌△CDA(AAS). (6分) (2)·点D为BC的中点，AD⊥BC, 直线AD为线段BC的垂直平分线，.BA=CA. (8分) D 图1 由(1)可知△BDE≌△CDA,.BE=CA,.BA=BE.(10分) 6.解：(1)证明：AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°.在△ADB AD平分∠BAC,.∠BAD=∠DAC (1分) AD=AD, AB=AE, 和△ADC中， ∠ADB=∠ADC,.△ADB≌△ADC(SAS). 在△ABD和△AED中， ∠BAD=∠EAD BD=CD. LAD=AD. (4分)】 ·.△ABD≌△AED(SAS). .∠B=∠C (5分) ∠B=∠AED,BD=ED. (2)如图，分别延长DB,DC ∠B=2LC,.∠AED=2∠C 至E,F两点，使得BE=BA, :∠AED是△DEC的一个外角，.∠AED=∠C+∠EDC. CF=CA..AB BD =AC+ ∠C=∠EDC..DE=CE (2分) CD,∴.BE+BD=CF+CD. .·.BD=EC .∴.DE=DF.·AD⊥BC,.∴.∠ADE=∠ADF=90°.在△ADE和 ·AE+EC=AC,.AB+BD=AC (5分) AD=AD. (2)如图2，在AE上截取AF=AD,连接CF △ADF中 ∠ADE=∠ADF, DE=DF, .∴.△ADE≌△ADF(SAS) (7分) ·.∠E=∠F.BE=BA,CF=CA,.∠E=∠BAE,∠F= ∠CAF. (9分) 图2 .∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,∴.∠ABC= 由题意可得∠DAC=180°-∠D-∠ACD=30° ∠ACB. (11分) ·.∠FAC=∠BAD-∠DAC=30° 7.解：(1)证明：.·AD⊥DE,BE⊥DE,.∠ADC=∠CEB= .∠DAC=∠FAC=30°. 90°，∠DAC+∠ACD=90°.∠ACB=90°，·∠ACD+ AD=AF ∠ECB=9O°.·.∠DAC=∠ECB.在△ADC和△CEB中， 在△DAC和△FAC中，{∠DAC=∠FAC, ,∠ADC=∠CEB, LAC =AC ∠DAC=∠ECB,·.△ADC≌△CEB(AAS) (3分) ·△DAC≌△FAC(SAS). (7分) LAC=CB. .∠AFC=∠D=110° (2).·BE⊥CE,AD⊥CE,..∠ADC=∠CEB=90°..·.∠CBE+ ∴.∠CFE=180°-∠AFC=70°. ∠ECB=90°.∠ACB=90°，.∠ECB+∠ACD=90°. :∠B=180°-∠ACB-∠FAC=70° ●·八年级·数学·上册 河营侧 ∠B=∠CFE. (2)如图，点P即为所求 (6分) ·CE⊥AB, 两点之间，线段最短 (8分) .∴.∠CEF=∠CEB=90° ∠CFE=∠B. 18.解：原式=-1-1.(x+2)(x-2) (4分) x-1 (x-2)2 在△CEF和△CEB中 ∠CEF=∠CEB x-2,x+2 CE=CE. x-1x-2 .△CEF≌△CEB(AAS) (9分) =x+2 Γx-1 (6分) .∴.FE=BE. .BF =2BE =4. 由分式的意义可知，x≠1，x≠±2.∴x=0. (7分) .∴.AB=AF+BF=10+4=14. (10分) =-2 (9分) 试卷1洛阳市 当=0时原武-8 一、选择题 19.解：①②③ (2分) 题号12345678910 证明：.AE∥DF,·.∠A=∠D 答案CBC B DD CA DC .·AB=CD,·.AB+BC=BC+CD,即AC=BD (6分) 10.C解析》场地甲中草坪的面积为a2-b2,场地乙中草坪 :∠E=∠F,.△AEC≌△DFB(AAS). ∴.CE=BF (9分) 的面积为a(a-b),所以甲、乙两块场地中草坪面积的比 (或①③②， 为，。=兰欣选c 证明：.·AE∥DF,∴.∠A=∠D. 二、填空题 r∠A=∠D, 11.-512.假13.36°14.3 在△AEC和△DFB中， ∠E=∠F, 15.73°或101°解析》由题意知，∠A=180°-∠B-∠C= CE=BF, 56°.由折叠的性质可知，∠MB'N=∠B=34°，∠B'MW= .△AEC≌△DFB(AAS). ∠BN=子∠BMB当△ABM为直角三角形时，分两种 .AC=BD.·.AC-BC=BD-BC,即AB=CD.) 20.解：提出问题：求七、八年级两支志愿者队伍的人数.(1分) 情况： 解决问题：设七年级志愿者队伍有x人，则八年级志愿者 ①如图1，当∠AB'M=90°时，则∠B'MB=∠AB'M+∠A= 队伍有(1-20%)x人： 146.∠BMN=∠BMB=730 根据题意，得1-20%)x: 720 720=2. (5分) .∠BNM=180°-∠BMN-∠B=73° 解得x=90. 经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意 (7分) (1-20%)x=(1-20%)×90=72. 答：七年级志愿者队伍有90人，八年级志愿者队伍有72人 (10分) (或提出问题：求七、八年级两支志愿者队伍人均植树数. 图1 图2 解决问题：设七年级志愿者队伍人均植树y棵，则八年级 ②如图2，当∠AMB'=90°时， 志愿者队伍人均植树(y+2)棵 则∠B'MB=180°-∠AMB'=90° 根据题意，得720×(1-20%)=720 ∠BMN=分∠BaMB=459 y+2 解得y=8. .·.∠BNM=180°-∠BMN-∠B=101° 经检验，y=8是所列方程的解，且符合题意。 综上所述，∠BNM的度数为73°或101°. ∴.y+2=8+2=10. 三、解答题 答：七年级志愿者队伍人均植树8棵，八年级志愿者队伍 16.解：(1)原式=2a2-4ab-4a2+4ab-b2 (2分) 人均植树10棵.) =-2a2-b2 (4分) 21.解：(1)证明：∠ACB=90°，CE⊥CD, (2)原式=(2m+n+m)(2m+n-m) (2分) ·.∠ACB=∠DCE=909 =(3m+n)(m+n). (4分) .∴.∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB, 17.解：(1)如图，△A1B,C1即为所求 (4分) 即∠ACD=∠BCE. (2分) AC=BC 在△ACD和△BCE中】 ∠ACD=∠BCE CD=CE. ·.△ACD≌△BCE(SAS). A Pi .AD BE. (6分) (2)∠ADC的度数为90°或112.5° (10分)》 解析》.·∠ACB=90°，AC=BC,.∠A=∠CBA=45 .·CE⊥CD,CD=CE,.·.∠CDE=∠CED=45 .·△ACD△BCE,.ADC=∠BEC,∠CBE=∠A=45 ● 8河洛芸熙·期末考试必刷卷 和将艺侧 政专题 专题9 与全等三角形相关的几何探究 满分：80分得分： 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 类型1几何作图 1.(9分)如图，已知∠AOB和线段MN,点M,N分别在射线OA,OB上. (1)尺规作图：作∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线交于点P;(保留作图痕迹，不写 作法) (2)连接MP,NP,过点P作PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,求证：MC=ND.请补全下列 证明. 证明：，点P在线段MW的垂直平分线上， ∴.MP=NP( ·点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA,PD⊥OB, .PC PD( 0 B ·△PCM和△PDN为直角三角形， ∴.Rt△PCM≌Rt△PDN( ) ∴.MC=ND. 2.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别 是A(-1,4),B(-4,1),C(-2,2),网格中每个小正方形的 边长都是1个单位长度. (1)画出△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于x轴对称： (2)求△ABC的面积； (3)在图中找到一点D,使△ABD≌△ABC,点D的坐标为 -4-3-2 2345 (4)若点M在坐标轴上，且△ABM为等腰三角形，则符合条 件的点M有 个 3.(10分)阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务 尺规作图一过一点作己知直线的垂线 【活动内容】已知点P在直线L上，过点P作直线l的垂线。 方案一：过点P作直线的垂线步骤：如图1，以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线1相 交于点A和点B,作线段AB的垂直平分线CD,则直线CD就是所求直线l的垂线 方案二：如图2，把直线l看作平角∠MPN,过，点P作直线l的垂线就是作平角∠MPN的平分线. P D N B 图1 图2 图3 【学习任务】 (1)按照方案一尺规作图步骤，判定△APC≌△BPC的依据是 (2)请按照方案二的方法在图2中作出图形； 【活动应用】 (3)如图3，在△ABC中，过点A作BC边上的高. 30 ●·八年级·数学·上册 而溶营四 类型2全等三角形的简单证明 4.(10分)在数学实践课上，老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B,F,C,E在同一条直 线上)，并写出四个条件：①AB=DE,②∠1=∠2，③BF=EC,④∠B=∠E.交流中老师让同 学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题 (1)请你写出所有的真命题； (2)选一个给予证明. 12 5.(10分)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA; (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. 6.可新考法过程性学习(11分)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在△ABC中，若 AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推 得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能 推出∠B=∠C吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C,并提供了如下的证明方 法 证明：如图，分别延长DB,DC至E,F两点，使得… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军的证明过程补充完整. D 31 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和粥艺侧 类型3全等三角形的综合探究 7.（10分)阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三 组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必 定存在全等三角形 (1)问题解决： 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于 点D,BE⊥DE于点E,求证：△ADC≌△CEB; (2)问题探究： 如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于 点D,BE⊥CE于点E,AD=2.5,DE=1.7,求BE的长； (3)拓展延伸： 如图3，在平面直角坐标系中，A(-1,0),C(1,3),△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， AC=BC,求点B的坐标 图1 图2 图3 8.(10分)阅读材料：截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长 边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相 等，从而解决问题.依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC 于点D,且∠B=2∠C,求证：AB+BD=AC. (1)为了证明结论“AB+BD=AC”,小亮在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,解答了这 个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等) (2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠D=110°，∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE 是△ABC的高，AD=10,EB=2,求AB的长. 图1 图2 32