2.4 圆的方程（思维导图+5大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦“圆的方程”核心知识点，从圆的标准方程、一般方程的定义及特征切入，系统梳理点与圆的位置关系，延伸至轨迹方程的直接法、相关点法、定义法等求法，结合对称问题、阿氏圆等综合应用，构建递进式学习支架。 资料含思维导图助力知识结构化，十大题型覆盖求方程、位置关系等，例题与变式选自各地考题，通过题型归纳培养数学思维的推理与运算能力，用定义法等渗透数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

2．4 圆的方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求圆的标准方程 6 题型二：求圆的一般方程 6 题型三：点与圆的位置关系 7 题型四：二元二次曲线表示圆 8 题型五：定点问题 9 题型六：直接法求轨迹方程 9 题型七：相关点法求轨迹方程 10 题型八：定义法求轨迹方程 11 题型九：与圆有关的对称问题 12 题型十：阿氏圆问题 13 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型一：求圆的标准方程 【例题1】（2025·高二·天津津南·月考）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·高二·天津西青·月考）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1】（2025·高二·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高二·新疆·月考）已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：求圆的一般方程 【例题3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式4】（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6】过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系 【例题5】（2025·高二·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【例题6】（2025·高二·天津·月考）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【变式7】（2025·高二·四川广安·月考）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【变式8】（2025·高二·福建厦门·期中）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【变式9】（2025·高二·山东济宁·期中）若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 题型四：二元二次曲线表示圆 【例题7】（2025·高二·河北唐山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【例题8】（2025·高二·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 待定系数法 【变式10】（2025·高二·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高二·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·高二·黑龙江绥化·月考）若方程表示圆，则实数a的可能取值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 题型五：定点问题 【例题9】（2025·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【例题10】（2025·高二·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 【变式13】（2025·高二·安徽·月考）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【变式14】（2025·高二·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15】（2025·高二·江西南昌·月考）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 题型六：直接法求轨迹方程 【例题11】（2025·高二·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【例题12】（2025·高二·吉林通化·期中）在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 【变式16】（2025·高二·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【变式17】古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【变式18】（2025·高二·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 题型七：相关点法求轨迹方程 【例题13】（2025·高二·湖北荆州·期中）已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 . 【例题14】（2025·高二·四川宜宾·期中）点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求轨迹时常用的方法：相关点法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【变式19】（2025·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【变式20】（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【变式21】的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 题型八：定义法求轨迹方程 【例题15】在平面直角坐标系中，二次函数与轴的交点为，则以为斜边的的顶点的轨迹方程为 ． 【例题16】（2025·高二·河南南阳·月考）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 【方法技巧与总结】 利用几何关系处理 【变式22】（2025·高二·湖北武汉·月考）已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【变式23】（2025·高三·河南·月考）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【变式24】（2025·高二·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 题型九：与圆有关的对称问题 【例题17】（2025·高二·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【例题18】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 几何法 【变式25】（2025·高二·重庆·月考）已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【变式26】（2025·高二·重庆黔江·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式27】（2025·高二·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型十：阿氏圆问题 【例题19】（2025·山东·模拟预测）已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题20】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆． 【变式28】（2025·高二·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式29】（2025·高二·贵州·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式30】（2025·高二·河南·期中）对平面上两点，满足的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，且，则最大值是 ． 【变式31】（2025·高二·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．4 圆的方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求圆的标准方程 6 题型二：求圆的一般方程 8 题型三：点与圆的位置关系 10 题型四：二元二次曲线表示圆 11 题型五：定点问题 13 题型六：直接法求轨迹方程 15 题型七：相关点法求轨迹方程 17 题型八：定义法求轨迹方程 20 题型九：与圆有关的对称问题 23 题型十：阿氏圆问题 25 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型一：求圆的标准方程 【例题1】（2025·高二·天津津南·月考）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立，解得，即， 以点为圆心，且过点， ， 则圆的方程为， 故选：D． 【例题2】（2025·高二·天津西青·月考）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1】（2025·高二·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点，， 则线段的中点为，， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：A. 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的方程为：， 所以，解得：， 所以圆的面积为； 故选：B 【变式3】（2025·高二·新疆·月考）已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为该圆经过原点和点，所以圆心在线段的中垂线上， 又，的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 由，解得，所以圆心坐标为， 又圆的半径，所以该圆的方程为. 故选：D 题型二：求圆的一般方程 【例题3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【例题4】（2025·高二·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式4】（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 【变式5】（2025·高二·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 【变式6】过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 题型三：点与圆的位置关系 【例题5】（2025·高二·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解析】， 在圆外， 故选：C. 【例题6】（2025·高二·天津·月考）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【变式7】（2025·高二·四川广安·月考）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【答案】A 【解析】， 在圆外， 故选：A. 【变式8】（2025·高二·福建厦门·期中）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】A 【解析】将点代入圆方程，得．故点在圆外， 选． 【变式9】（2025·高二·山东济宁·期中）若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由点在圆O：的外部， 则， 解得：或, 所以实数a的取值范围是或, 故选：C. 题型四：二元二次曲线表示圆 【例题7】（2025·高二·河北唐山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】对于方程，若表示圆， 则需满足（其中，，）. 代入得， 化简为， 即， 因式分解得， 解得. 故选：B 【例题8】（2025·高二·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 【方法技巧与总结】 待定系数法 【变式10】（2025·高二·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 【变式11】（2025·高二·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【变式12】（2025·高二·黑龙江绥化·月考）若方程表示圆，则实数a的可能取值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由，得. 故选：A. 题型五：定点问题 【例题9】（2025·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【例题10】（2025·高二·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 【变式13】（2025·高二·安徽·月考）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【解析】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【变式14】（2025·高二·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【变式15】（2025·高二·江西南昌·月考）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 题型六：直接法求轨迹方程 【例题11】（2025·高二·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 【例题12】（2025·高二·吉林通化·期中）在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 【变式16】（2025·高二·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点的坐标为，因为，，， 所以，化简得， 即. 故答案为：. 【变式17】古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式18】（2025·高二·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【解析】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 题型七：相关点法求轨迹方程 【例题13】（2025·高二·湖北荆州·期中）已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】由题意知， 设，， 因为是的平分线，所以，所以， 所以， 所以，所以， 将点代入圆的方程，可得， 所以的轨迹方程为； 故答案为：. 【例题14】（2025·高二·四川宜宾·期中）点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设线段的中点为，因为两点不重合，则， 根据题意得， ∴，即：， 故选：C. 【方法技巧与总结】 求轨迹时常用的方法：相关点法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【变式19】（2025·高二·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 【变式20】（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 【变式21】的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 【解析】设的重心G的坐标是，点A的坐标是. 已知点B，C的坐标分别是，， 则的重心G的坐标满足，. 因此有，.① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程， 即满足方程.② 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 题型八：定义法求轨迹方程 【例题15】在平面直角坐标系中，二次函数与轴的交点为，则以为斜边的的顶点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】令，解，得，． 设，由于直角三角形斜边上的中点为， 如图所示，则半径为，即得圆的方程为． 又点为的顶点，所以，故的轨迹方程为． 故答案为：. 【例题16】（2025·高二·河南南阳·月考）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】如图所示，是线段的中点，则， 因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得， 整理得的轨迹是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用几何关系处理 【变式22】（2025·高二·湖北武汉·月考）已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【解析】（1）由，，，则有，， 因为，，所以. 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径）， 所以，解得：. 设E为AC的中点，有，又，所以钝角的外接圆的圆心为O， 又直线，且，解得或， 又点M在内部，所以点M的轨迹为：. （2）设，则有. 由， 所以当时有最小值. 【变式23】（2025·高三·河南·月考）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得，即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式24】（2025·高二·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 【答案】（且） 【解析】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且） 题型九：与圆有关的对称问题 【例题17】（2025·高二·河北邢台·期中）已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 【例题18】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B 【方法技巧与总结】 几何法 【变式25】（2025·高二·重庆·月考）已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【解析】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 【变式26】（2025·高二·重庆黔江·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为半径. 由题意知，关于直线对称，设点的坐标为 则，解得， 所以圆的圆心坐标为 所以圆的方程为. 故选：B. 【变式27】（2025·高二·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 题型十：阿氏圆问题 【例题19】（2025·山东·模拟预测）已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示：取，连接，，则， 故，故， ， 当三点共线且在线段上时等号成立， 故选：C 【例题20】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 【方法技巧与总结】 已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆． 【变式28】（2025·高二·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式29】（2025·高二·贵州·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 【变式30】（2025·高二·河南·期中）对平面上两点，满足的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，且，则最大值是 ． 【答案】5 【解析】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为， 则点，到点的距离之比为：， 解得：，，则， ，即， （当且仅当三点按顺序共线时取等号）， 又，的最大值是. 故答案为： 【变式31】（2025·高二·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是 . 【答案】 【解析】由题意可得，化简得， 则点在圆上， 则有，即， 又，故. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $