重难点专题5.1 三角函数定义、同角公式及诱导公式十种题型（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题5.1 三角函数定义、同角公式及诱导公式十种题型 题型一 图形与角的范围 题型二 扇形弧长公式与面积公式的应用 题型三 三角函数定义及其应用 题型四 单位圆、三角函数线及其应用 题型五 同角公式的应用--“知一求二”问题 题型六 由条件等式求三角函数值 题型七 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 题型八 正、余弦齐次式的计算 题型九 三角函数式的化简、求值 题型十 三角函数恒等式的证明 题型一 图形与角的范围 1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 5．（22-23高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 题型二 扇形弧长公式与面积公式的应用 6．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 8．（24-25高一上·河北保定·月考）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积. （2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 题型三 三角函数定义及其应用 9．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 12．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 题型四 单位圆、三角函数线及其应用 13．（23-24高一上·福建福州·月考）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·辽宁·月考）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·吉林长春·期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一·全国·随堂练习）设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式： (1)； (2)． 17．（2023高一上·江苏·专题练习）已知点在第一象限，在内，求的取值范围． 18．（22-23高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 题型五 同角公式的应用--“知一求二”问题 19．（多选）（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（多选）（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 22．（24-25高一下·广西南宁·月考）（1）已知，在第三象限，求，的值； （2）已知，求的值. 题型六 由条件等式求三角函数值 23．（24-25高一上·福建福州·月考）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 题型七 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 25．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 29．（多选）（24-25高一下·河南南阳·月考）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则 ． 31．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知，． (1)求值； (2)求的值． 题型八 正、余弦齐次式的计算 32．（19-20高一下·上海浦东新·期中）已知角满足，则 ． 33．（25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 题型九 三角函数式的化简、求值 34．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 35．（24-25高一下·北京·期中）若为第二象限角，且，则的值是 ． 36．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考） . 37．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 38．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 39．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）求值：； （2）已知角 终边上的一点，求的值. 40．（25-26高一上·全国·课前预习）已知． (1)若，求； (2)若，求． 题型十 三角函数恒等式的证明 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 42．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（1） 求证: （2） 已知，求 43．（24-25高一·全国·假期作业）求证：当或3时，. 44．（2024高一上·全国·专题练习）求证：. 45．（2023高一上·全国·专题练习）（1）求证：＝； （2）求证：＝－tan θ. 46．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． (1)求的值； (2)若，求的坐标． (3)分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题5.1 三角函数定义、同角公式及诱导公式十种题型 题型一 图形与角的范围 题型二 扇形弧长公式与面积公式的应用 题型三 三角函数定义及其应用 题型四 单位圆、三角函数线及其应用 题型五 同角公式的应用--“知一求二”问题 题型六 由条件等式求三角函数值 题型七 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 题型八 正、余弦齐次式的计算 题型九 三角函数式的化简、求值 题型十 三角函数恒等式的证明 题型一 图形与角的范围 1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合，即可解题. 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 【答案】 【分析】首先考虑在范围内，终边落在阴影内的角的特征，再结合周期性即可得解. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足或， 所以所有满足题意的角的集合为： ． 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 5．（22-23高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角． 【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得； （2）根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】（1）① ； ②． （2）∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 题型二 扇形弧长公式与面积公式的应用 6．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小； （2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积. 【详解】（1）设该扇形的半径为，弧长为， 则， 当且仅当时，等号成立， 此时该扇形的面积，， 其圆心角， 故所求圆心角． （2）由（1）知，． 又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积， 所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 8．（24-25高一上·河北保定·月考）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积. （2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；；（2）答案见解析 【分析】（1）先求出半径，再由扇形弧长与面积公式可得； （2）建立面积函数关系，求二次函数最值即可. 【详解】（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角，所以半径， 所以这个圆心角所对的弧长； 扇形的面积. 故这个圆心角所对的弧长为；扇形的面积为. （2）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为， 则，所以， 所以， 所以当半径时，扇形的面积最大，这时rad. 故当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为. 题型三 三角函数定义及其应用 9．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合点P坐标，然后通过旋转可求出点Q坐标即可. 【详解】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且，则点的纵坐标为，横坐标为. 故选：A. 10．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合点P坐标，然后通过旋转可求出点Q坐标即可. 【详解】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且，则点的纵坐标为，横坐标为. 故选：A. 11．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，解得. 故选：A 12．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 题型四 单位圆、三角函数线及其应用 13．（23-24高一上·福建福州·月考）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可. 【详解】因为角终边交单位圆于点， 所以解得，所以， 所以，，，故选项C正确，选项B、D错误; 因为，所以，故选项A错误. 故选：C. 14．（22-23高一下·辽宁·月考）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当质点Q与P第二次相遇时，质点Q比P多旋转，解方程确定质点Q所在终边，求坐标. 【详解】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有， 解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为. 故选：C 15．（22-23高一上·吉林长春·期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得为终边的一个角为， 设，根据三角函数的定义可求出结果. 【详解】根据题意得为终边的一个角为， 设， 根据三角函数的定义可得，，则，， 所以. 故选：C 16．（22-23高一·全国·随堂练习）设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（2）利用单位圆，三角函数定义推理即得. 【详解】（1）在单位圆中，，，的终边交单位圆于点，作轴于点， 令，由三角函数定义得， 在中，， 所以.    （2）过点作单位圆的切线交于点，显然劣弧长， 显然，的面积， 扇形的面积，的面积， 由图形得，即， 所以. 17．（2023高一上·江苏·专题练习）已知点在第一象限，在内，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据三角函数符号，结合三角函数线分析可得. 【详解】由题意知，即， 由，可得或， 又，如图，由三角函数线可知，，    综上，或. 即的取值范围为. 18．（22-23高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案； （2）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案. 【详解】（1）      如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 又当的终边落在射线或上时，有， 所以，满足条件的的集合为. （2）    如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 根据图2可知，当，且时，有. 所以，当时，由可得，. 题型五 同角公式的应用--“知一求二”问题 19．（多选）（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的定义列式，求得，再根据正切函数的定义即可求解. 【详解】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 20．（多选）（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解判断各选项即可. 【详解】由，，得，， 又，， 解得，，故A正确，B错误， 则，，故C正确，D错误. 故选：AC. 21．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系即可求解． 【详解】（1）因为角为第二象限角，所以， 所以． （2）． 22．（24-25高一下·广西南宁·月考）（1）已知，在第三象限，求，的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用同角公式求解. （2）利用齐次法计算得解. 【详解】（1）由在第三象限，得，而， 所以，. （2）由，得. 题型六 由条件等式求三角函数值 23．（24-25高一上·福建福州·月考）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 法二：由题意先求得，进而求得的值，可求得的值，从而可求得的值. 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，， 所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以. 故选：B. 24．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 【答案】/ 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 题型七 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 25．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 26．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 27．（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可. 【详解】由. 故选：C 28．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用商数关系齐次化后可求. 【详解】由题可得，则，解得或． 故选：D. 29．（多选）（24-25高一下·河南南阳·月考）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据同角三角函数关系，列出方程组，求出三角函数值，判断选项正误. 【详解】由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确. 故选：CD. 30．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，对代数式进行平方，代入数值计算即可. 【详解】因为，所以，所以， . 故答案为：. 31．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知，． (1)求值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系，再结合同角三角函数关系式，即可求解； （2）根据（1）的结果求的值，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）， 得； （2），且，得， ，， 所以，， 联立，得，， 则. 题型八 正、余弦齐次式的计算 32．（19-20高一下·上海浦东新·期中）已知角满足，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子分母同时除以，即可求解． 【详解】， 分子分母同时除以，原式， 故答案为：． 33．（25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据正弦的定义可求参数的值； （2）利用齐次化可求三角函数式的值. 【详解】（1）由题得，且， 解得或（舍去）． 故, （2）由（1）知，即，所以， 故原式 . 题型九 三角函数式的化简、求值 34．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 35．（24-25高一下·北京·期中）若为第二象限角，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可． 【详解】由得， 因为为第二象限角，则， 则 ． 故答案为：． 36．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考） . 【答案】 【分析】利用诱导公式和商数关系运算得解. 【详解】原式. 故答案为：. 37．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用诱导公式对式子进行化简，根据同角三角函数关系进行弦切互化，将代入即可得到答案. （2）利用同角三角函数关系及为第二象限角求出，利用诱导公式对所求式子进行化简，将代入即可得到答案. 【详解】（1）由于，解得. 故. （2）由（1）知， 则，解得或， 又为第二象限角，则，，故， 所以. 38．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 39．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）求值：； （2）已知角 终边上的一点，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用诱导公式化简成特殊角的三角函数，然后根据特殊角的三角函数值进行计算； （2）根据点在角终边上，计算出，再利用诱导公式化简，即可解出. 【详解】（1）原式； （2）因为点在角终边上，所以，      化简：. 40．（25-26高一上·全国·课前预习）已知． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式对函数进行化简，然后根据及同角三角函数关系即可求解； （2）利用诱导公式并且对角进行构造即可求解，． 【详解】（1）， ∵，， ∴ ． （2）∵， ∴， 则． 题型十 三角函数恒等式的证明 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 42．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）（1） 求证: （2） 已知，求 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）应用因式分解及平方关系式，整理化简右侧，再由弦化切即可证结论； （2）由，应用诱导公式、平方关系求，即可得函数值. 【详解】（1）由 ，得证. （2） ， 由，则，， 所以. 43．（24-25高一·全国·假期作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，利用诱导公式从左向右化简即可. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 综上，或，等式成立. 44．（2024高一上·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式证明即可. 【详解】左边右边， 故原式成立. 45．（2023高一上·全国·专题练习）（1）求证：＝； （2）求证：＝－tan θ. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】根据诱导公式和同角的平方关系依次化简计算即可求解. 【详解】（1）右边 左边. 所以原等式成立． （2）左边右边. 所以原等式成立． 46．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． (1)求的值； (2)若，求的坐标． (3)分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)；猜想：，证明见解析 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解； （2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解； （3）求出，再猜想，结合同角三角函数关系式证明即可. 【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以且， 解得，即， 故， 故原式． （2）由题意，故， ，故． （3）由（1）知， 所以． 根据计算结果猜想：. 证明：， 故猜想成立． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $