专题5.5 三角函数模型的简单应用（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

本讲义聚焦三角函数模型的简单应用核心知识点，先系统梳理函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换与参数几何意义，再通过生活（筒车、摩天轮）、几何（直角走廊平板车）、物理（弹簧振子）中的周期现象，构建从知识理解到实际应用的学习支架。 该资料以真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察周期变化，通过“识别周期-提取数据-确定参数-构建模型”的思维步骤培养数学思维，用三角函数表达式精准描述问题培养数学语言。课中例题变式丰富助分层教学，课后练习题覆盖多场景帮学生查漏补缺。

专题5.5 三角函数模型的简单应用 教学目标 1.了解三角函数模型是描述周期变化现象的重要工具，能用y＝Asin(ωx＋φ)+B等模型解决简单实际问题； 2.掌握从实际问题中提取周期、振幅等信息，确定三角函数模型参数的方法； 3.增强数学应用意识：体会三角函数在生活、物理等领域的实用价值. 教学重难点 1.重点： （1）理解三角函数模型的实际意义； （2）掌握从实际问题中建立三角函数模型的步骤：识别周期现象→提取数据→确定参数→构建模型； （3）运用三角函数模型解决简单实际问题（如预测气温、计算潮位）. 2.难点： （1）实际问题与三角函数模型的对应关系：如何将现实中的周期现象（如时间 - 气温关系）转化为三角函数表达式； （2）模型参数的确定：根据实际数据（如最大值、最小值、周期）计算A、ω、φ、B 的具体值； （3）模型的应用与验证：利用模型进行预测后，如何检验结果的合理性；复杂问题中的思维转换（如非线性关系转三角模型）. 知识点01 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换与性质 （1）图象变换： 设A>0，ω>0，φ是常数，函数y=Asin(ωx+φ)的图象可通过以下步骤由正弦曲线y=sinx变换得到： ①平移变换：将y=sinx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移∣φ∣个单位长度； ②周期变换：将所得曲线的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）为原来的（纵坐标不变）； ③振幅变换：将所得曲线的纵坐标扩大（A>1）或缩小（0<A<1）为原来的 A倍（横坐标不变）. （2）性质：值域：[−A,A]；周期：. （3）参数的几何意义：简谐振动中的物理意义（若x表示时间，x∈[0,+∞)）以简谐振动的图象为例， y=Asin(ωx+φ)中参数的意义： A：振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； 周期T=：振动的周期； 频率f=：单位时间内的振动次数； ωx+φ：称为相位； x=0时的相位φ：称为初相. 【即学即练】（多选）（24-25高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的性质，分别对周期、初相、振子离开平衡位置的最大距离以及振子第一次到达平衡位置的时间进行分析求解. 【详解】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 题型01 三角函数在生活中的应用 【典例1】（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三上·上海·期中）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处.的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米.游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟.当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米.则的最大值为 .    【答案】 【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，即可求解. 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 当，即时，取得最大值，为， 故答案为： 【变式1-2】（25-26高三上·宁夏银川·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，则当筒车旋转90秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 . 【答案】 【分析】利用角速度得出90秒盛水筒旋转角度，结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因，则，， 每旋转一周用时180秒，则筒车旋转90秒时共旋转， 则此时点P在角的终边上，， 故点P的横坐标为. 故答案为： . 【变式1-3】（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】12 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 题型02 几何中的三角函数模型 【典例2】（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    【答案】 【分析】延长CD交边PA，PB分别相交于E，F，得到，且，，结合，即可求解； 【详解】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为：    【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【答案】， 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·月考）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 【变式2-3】（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 题型03 三角函数在物理学中的应用 【典例3】（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 【变式3-1】（多选）（2025·河南开封·二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 【变式3-2】（2025高一上·全国·专题练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（单位：）和时间t（单位：s）的函数关系式为，当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ 【答案】 【分析】根据振幅的含义求解. 【详解】振幅为6，即单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离为6，故答案为：离开平衡位置． 【变式3-3】（2025高一上·全国·专题练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（单位：）和时间t（单位：s）的函数关系式为，单摆来回摆动一次需多长时间？ 【答案】 【分析】根据三角函数的周期性解答. 【详解】因为， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为． 故答案为：. 题型04 函数y=Asin(ωx+φ)图象和性质的综合应用 【典例4】（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的最小正周期及表达式； (2)将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式； （2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个数，数形结合求出参数范围. 【详解】（1）由于函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为， 所以，故周期，而，所以， 又由函数一条对称轴为，所以有， 又，故，所以函数的表达式为； （2）由题意，得， 因为，所以，且时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为函数在上恰有一个零点， 即与的图象在上恰有一个交点， 画出图象如下：    由图可知，的取值范围为. 【变式4-1】（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，其部分图像如图所示，其中为最高点，，则的解析式为 ， . 【答案】 【分析】（1）由得，结合，得到和，然后即可求出，由函数经过的点求得，即可得到函数的解析式； （2）利用三角函数的周期性和诱导公式即可求出结果. 【详解】，则，∵，∴且，即， ∴， 由图像可知函数经过点，即，且， ∴， ∴， ，∵函数的最小正周期为， ∴， ∵， ∴. 故答案为： , 【变式4-2】（25-26高一上·全国·单元测试）给出以下三个条件：①直线是函数图象的一条对称轴；②点，是函数图象的相邻的对称中心，且；③．从这三个条件中任选两个将下面的题目补充完整并按要求进行解答． 已知函数满足条件______与______． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数a的最大值． 注：如果选择多种情况分别解答，则按照第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①与②，利用对称中心求出半个周期，进而算出，利用对称轴求出，即可得出函数的解析式； 选择条件①与③，利用对称轴和，得出两个方程，求出的表达式，进而得出，求出的表达式，进而得出，即可得出函数的解析式； 选择条件②与③，利用对称中心求出半个周期，进而算出，利用得出，即可得出函数的解析式； （2）求出平移后的函数表达式，求出的范围，设利用换元法化简不等式，转化为求不等式成立问题，分离参数，构造函数，得出构造的函数的最值，即可得出实数a的最大值. 【详解】（1）由题意， 选择条件①与②， 易知，则， ∵直线是图象的一条对称轴， 所以，， 又， ∴， ∴． 选择条件①与③， ∵直线是图象的一条对称轴， ∴， ∵， ∴， 两式相减得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 选择条件②与③， 易知，则， ， 得，即， ∵， ∴， ∴． （2）由题意， ． 当]时，，，设， 则存在，使得不等式成立， 即当时，， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， ∵， ∴当时，， 则，a的最大值为． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)， (2) (3)5， 【分析】 （1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式及其单调递减区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，，，， 即，，，， 解得：，，，， 所以． 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 2.（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 3.（24-25高一下·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的频率为周期的倒数，结合正弦函数周期的定义即得答案. 【详解】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4， 所以， 则. 故选：D. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A. 【详解】由题意可得，， 故，由此可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 故选：B. 6.（2025高三·全国·专题练习）如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析直线移动过程中随的长的变化情况，通过求出一些特殊点的函数值，结合函数的单调性以及直线的位置关系判断函数图像. 【详解】由题意可知，随着从平行移动到单调递增，故可排除选项B．由题意可得等边三角形的边长为．    当时，，此时最小； 当时，，此时最大； 当时，如答图1，则，为等边三角形， 此时， 在等边中，， ； 又当时，图中的； 故当时，对应的点在图中两点连接线段的下方，结合选项可得选项D正确．    故选：D. 7．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由过点，得.由在内恰有两个零点，得在内恰有一个零点.讨论的值，可得的取值范围；或将在内恰有两个零点，转化为恰有两个解，由，得，得到的范围，从而求得的取值范围. 【详解】根据题意，令， 即，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为在内恰有两个零点，   ． 方法二：根据题意，令， 即，. 由函数在区间上恰有两个零点，得恰有两个解. 当时，，所以，解得. 故选：C. 8．（25-26高三上·天津西青·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象中两个零点间的距离，可直接求得的最小正周期，判断①；求得的解析式，用整体代换的思想判断②，③；由图象平移的规则知函数的图象向左平移个单位长度得到函数的解析式，可判断④. 【详解】对于①，由图可知的最小正周期为.所以①错误； 对于②，由①知，，所以. 根据图象有，即，所以 解得，所以. 当时，. 令，因为是增函数，在是增函数，所以在区间上单调递增； 所以②正确； 对于③，由②知，. 当时，，所以. 所以③错误； 对于④，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，所以④错误. 所以四个结论中错误的个数为3. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A．的周期为 B．该函数的解析式为 C．是图象的一个对称中心 D．的单调递增区间是 【答案】AD 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：由图知，得，即的最小正周期为，故A正确； 对于B：因为，所以，又， ，代入得，， 又，，，故B错误； 对于C：令，解得，所以的对称中心为， 则不是的对称中心，故C错误； 对于D：令，解得 所以的单调递增区间为，故D正确． 故选：AD 10．（25-26高三上·四川内江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件，直接求出最小正周期，即可判断正误；对B，根据条件得，再由奇偶函数的定义，即可求解；对C，根据选项条件求得，再利用的性质，即可求解；对D，利用的性质，求出的对称轴，即可求解. 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确， 对于B，因为，则， 令，又，所以为偶函数，故B正确， 对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误， 对于D，由，得到，令，得， 所以的图象关于直线对称，故D正确， 故选：ABD. 11．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图所示，是函数的部分图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．是的对称轴 D． 【答案】ACD 【分析】根据图象可分析函数的性质，逐项判断准确性即可. 【详解】由图象可知：，即函数的最小正周期为，故A正确； 由图象可知，函数在即上单调递增，所以函数的单调增区间为，. 令，得函数的增区间为，故B错误； 由图象可知，函数的一条对称轴为，所以函数的对称轴方程为，. 令，得，即是的对称轴，故C正确； 由图象，，所以即， 又函数正周期为，所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一下·广东佛山·月考）点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为： 【答案】，. 【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式. 【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为， 由题意可得，， 时，射线可视角的终边，则,. 故答案为：，. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 14．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 16.（25-26高一上·全国·单元测试）2024年3月16日上午，扬州市“跟着赛事去旅行”消费体验季暨2024大运河城市网球公开赛启动仪式在宋夹城体育休闲公园举行，其中宋夹城体育休闲公园所在地——扬州大运河文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数x表示月份且，例如表示1月份．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)7，8，9月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【分析】（1）根据题意首先求出A，再根据周期求出，最后根据求出k，即可得到函数解析式； （2）令，结合余弦函数的性质计算可得，注意x为正整数． 【详解】（1）由②可知，解得． 由②可得，则，又，所以解得． 所以，， 即，解得．所以，且． （2）令，则， 则，即． 因为，所以，又，所以， 所以一年中的7，8，9月是该地区的旅游旺季． 17.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在上有最小值，无最大值，且满足． (1)求的最小正周期． (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由已知得范围，由得时，函数取到最小值，从而求出，确定周期；（2）(i）由已知可得，求出值；（ii）由恒成立，得恒成立，求解可得实数的取值范围. 【详解】（1）由在上有最小值，无最大值， 可知，故有． 又与在一个最小正周期内，且， 所以时，函数取到最小值， 所以．故有． 又因为，所以． 所以函数的最小正周期． （2）（ⅰ）由可知，中一个对应最大值，一个对应最小值． 对于函数其最大值与最小值对应的相邻的距离为半个最小正周期． 所以有（借助图象理解，如图）． 即． （ⅱ）由以上可得，． 因为对任意的，都有成立， 所以当时，恒成立． 由可得，此时， 由可得，此时． 所以，解得． 即实数的取值范围为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 三角函数模型的简单应用 教学目标 1.了解三角函数模型是描述周期变化现象的重要工具，能用y＝Asin(ωx＋φ)+B等模型解决简单实际问题； 2.掌握从实际问题中提取周期、振幅等信息，确定三角函数模型参数的方法； 3.增强数学应用意识：体会三角函数在生活、物理等领域的实用价值. 教学重难点 1.重点： （1）理解三角函数模型的实际意义； （2）掌握从实际问题中建立三角函数模型的步骤：识别周期现象→提取数据→确定参数→构建模型； （3）运用三角函数模型解决简单实际问题（如预测气温、计算潮位）. 2.难点： （1）实际问题与三角函数模型的对应关系：如何将现实中的周期现象（如时间 - 气温关系）转化为三角函数表达式； （2）模型参数的确定：根据实际数据（如最大值、最小值、周期）计算A、ω、φ、B 的具体值； （3）模型的应用与验证：利用模型进行预测后，如何检验结果的合理性；复杂问题中的思维转换（如非线性关系转三角模型）. 知识点01 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换与性质 （1）图象变换： 设A>0，ω>0，φ是常数，函数y=Asin(ωx+φ)的图象可通过以下步骤由正弦曲线y=sinx变换得到： ①平移变换：将y=sinx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移∣φ∣个单位长度； ②周期变换：将所得曲线的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）为原来的（纵坐标不变）； ③振幅变换：将所得曲线的纵坐标扩大（A>1）或缩小（0<A<1）为原来的 A倍（横坐标不变）. （2）性质：值域：[−A,A]；周期：. （3）参数的几何意义：简谐振动中的物理意义（若x表示时间，x∈[0,+∞)）以简谐振动的图象为例， y=Asin(ωx+φ)中参数的意义： A：振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； 周期T=：振动的周期； 频率f=：单位时间内的振动次数； ωx+φ：称为相位； x=0时的相位φ：称为初相. 【即学即练】（多选）（24-25高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 题型01 三角函数在生活中的应用 【典例1】（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【变式1-1】（25-26高三上·上海·期中）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处.的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米.游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟.当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米.则的最大值为 .    【变式1-2】（25-26高三上·宁夏银川·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，则当筒车旋转90秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 . 【变式1-3】（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 题型02 几何中的三角函数模型 【典例2】（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【变式2-2】（24-25高一下·上海·月考）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【变式2-3】（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 题型03 三角函数在物理学中的应用 【典例3】（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【变式3-1】（多选）（2025·河南开封·二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【变式3-2】（2025高一上·全国·专题练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（单位：）和时间t（单位：s）的函数关系式为，当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ 【变式3-3】（2025高一上·全国·专题练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（单位：）和时间t（单位：s）的函数关系式为，单摆来回摆动一次需多长时间？ 题型04 函数y=Asin(ωx+φ)图象和性质的综合应用 【典例4】（25-26高三上·黑龙江·期中）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的最小正周期及表达式； (2)将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【变式4-1】（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，其部分图像如图所示，其中为最高点，，则的解析式为 ， . 【变式4-2】（25-26高一上·全国·单元测试）给出以下三个条件：①直线是函数图象的一条对称轴；②点，是函数图象的相邻的对称中心，且；③．从这三个条件中任选两个将下面的题目补充完整并按要求进行解答． 已知函数满足条件______与______． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数a的最大值． 注：如果选择多种情况分别解答，则按照第一个解答计分． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 一、单选题 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 2.（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 3.（24-25高一下·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   6.（2025高三·全国·专题练习）如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津西青·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（25-26高三上·云南昆明·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A．的周期为 B．该函数的解析式为 C．是图象的一个对称中心 D．的单调递增区间是 10．（25-26高三上·四川内江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 11．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图所示，是函数的部分图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．是的对称轴 D． 三、填空题 12．（24-25高一下·广东佛山·月考）点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为： 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 14．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 16.（25-26高一上·全国·单元测试）2024年3月16日上午，扬州市“跟着赛事去旅行”消费体验季暨2024大运河城市网球公开赛启动仪式在宋夹城体育休闲公园举行，其中宋夹城体育休闲公园所在地——扬州大运河文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数x表示月份且，例如表示1月份．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 17.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在上有最小值，无最大值，且满足． (1)求的最小正周期． (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $