3.4.2空间向量在几何中的应用—求距离（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在几何中的距离求法，先通过复习线线、线面、面面平行垂直的向量条件引入，再以问题链引导学生从平面距离迁移到空间，构建“定义-公式推导-应用”的学习支架。 其亮点在于问题驱动探究，将线面、面面等距离转化为点面距离，结合正方体等模型典例，小结用表格清晰呈现四种距离求法。体现数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，学生能掌握转化方法，教师可提升教学效率。

3.4.2空间向量在几何中的应用—求距离 第三章 空间向量及其应用 学习目标 教学重点：掌握用空间向量解决立体几何中平行、垂直及夹角、距离等问题的方法。教学难点：实现立体几何与空间向量运算的转化，尤其是复杂场景下的模型构建。。 理解空间向量在立体几何中的应用逻辑； 掌握用向量解决平行、垂直、夹角、距离具体方法； 提升用向量法解决几何问题的能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：几何问题抽象为向量模型； 逻辑推理：向量条件与几何结论的关系； 数学运算：准确进行向量运算解决问题； 直观想象：结合空间模型理解向量坐标； 数学建模：用向量模型解决几何问题。 新知引入 线线 线面 面面 使得 使得 ，使得 新知探究 思考1：“距离”在生活中处处可见，那么在数学中距离的定义是什么？到目前为止，你学过哪些平面内的距离吗？这些“距离”的定义有什么共同点呢？ 两点间距离 点到直线的距离 点到平面的距离 平行直线间的距离 直线到平面的距离 平行平面间的距离 空间中两点之间的距离是指任意两个点连线的线段长度。 问题1：利用空间向量，我们可以得到空间中两点间的距离公式是？ 新知探究 问题2：借助空间向量，我们能不能也得到空间中点到直线的距离公式？ B A C 如图，直线外一点A到直线的距离是？ AC 设,则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得 练习巩固 辨析1：已知的顶点，，，则边上的高的长为(　　) A. 3                        B. 4                           C. 5                             D. 6 【答案】：5 【解析】：因为，所以在上的投影为，又，所以边上的高的长为 小技巧：求高即求距离，除利用等面积法、等体积法、定义法外，现在我们还可以借助空间向量求解距离问题。 新知探究 问题3：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 问题4：空间中点到平面的距离公式？ ① 点到平面𝛼的距离是？ AC ②如何利用已知条件求AC？ 如图，是空间中的两个点，其中点在平面上，是平面的一个法向量。 在的方向上的投影的模 新知探究 问题5：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线𝑙到平面𝛼的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 典例精讲 例3：如图，在正方体中，，. （1）求顶点到平面的距离； （2）求直线到平面的距离 解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则可得有关点的坐标分别为、、，所以， 设平面的法向量为，则， 把各向量的坐标代入，计算得到，，可取，从而得到平面的一个法向量为 典例精讲 例3：如图，在正方体中，，. （1）求顶点到平面的距离； （2）求直线到平面的距离 到平面的距离公式知，点到平面的距离为 （2）因为，所以，从而平面，问题转化为求点到平面的距离。因为，所以直线到平面的距离为 新知探究 用向量法求点到直线的距离一般步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③计算所求点与直线上某一点所构成向量在直线的方向向量上投影； ④利用勾股定理求点到直线的距离. 注：平面的法向量不是唯一的，所以可以给它的某个坐标一个值，再确定其他 坐标的值． 新知探究 用向量法求点到平面的距离一般步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求相关点的坐标； ③求相关向量的坐标（平面的法向量）； ④距离. 典例精讲 解：求平行平面与之间的距离，只要求平面上一点（例如）到平面的距离。如图，建立空间直角坐标系，可得点的坐标 、、、， 于是，，， 设是平面的法向量，则 因为，所以 例4：设正方体的棱长为，求平行平面与之间的距离。 典例精讲 例4：设正方体的棱长为，求平行平面与之间的距离。 ，不妨取，则，，就得到平面的一个法向量 这样，点到平面的距离为 因此，平行平面与平面之间的距离为 练习巩固 练习1：如图，已知正方形的边长为，平面，且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(1) 如图建立空间直角坐标系，则，，， ∴，，. 设平面的法向量为 则所以即 令则. 所以点到平面的距离. 练习巩固 练习1：如图，已知正方形的边长为，平面，且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)由于分别为的中点，所以， 所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于，又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 练习巩固 求两平行直线距离，只要求其中一条直线上一点到另一直线的距离； 求平面的平行线与平面的距离，只要求平行线上一点到平面的距离； 求两个平行平面的距离，也只要求其中一个平面上的一个点到另一个平面的距离． 线线、线面、面面距的算法： 统一转化为点线、点面距的计算 练习巩固 变式1：如图，在棱长为1的正方体中， 为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，，所以， 练习巩固 (1)取，则 . 所以，点到直线的距离为 变式1：如图，在棱长为1的正方体中， 为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 练习巩固 变式1：(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)因为所以 所以平面.所以点到平面的距离即为 直线到平面的距离.设平面的法向量为，则 所以取则 所以，是平面的一个法向量. 又因为，所以点到平面的距离为 .即直线到平面的距离为. 练习巩固 变式2：如图，已知四棱柱是底面边长为的正四棱柱.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 解：设正四棱柱的高为建立如图空间直角坐标系，有 ，， ， 设平面的法向量为，则即 取得，所以点到平面的距离为 ，解得 故正四棱柱的高为2. 新知探究 问题6：如何求两条异面直线之间的距离？ 异面直线的距离：是指两条异面直线之间的最短距离，即连接两条异面直线的公垂线段的长度。 练习2：如图，已知正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则异面直线与间的距离为_______ 【答案】： 新知探究 用向量法求异面直线间的距离的一般步骤： ①异面直线与间的距离可用以下公式求解. ，其中满足 ②求公垂线段所在的向量的坐标,进而求出模. 小结 四种类型的距离求法 距离类型 求解（转化）方法 点到直线 的距离 已知直线外一点,直线过点B,直线的单位方向向量为 ，设 ，则点到直线的距离 点到平面 的距离 已知平面 外一点,B为平面 上一点,且 的一个法向量为 ,则点 到平面 的距离 线面距离 线面距离可以转化为点面距离求解 面面距离 面面距离可以转化为点面距离求解 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $