第三章 圆（单元测试·基础卷）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 D D D D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.70°/70度 12.4 13.1 14.5 15.33-π 2 16.4或8 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：点B在oC外，理由如下： 在Rt△ABC中，AC=3,AB=5, .BC=AB2-AC2=52-32=4, :BC>3.5,即B到圆心C的距离大于⊙C的半径， .点B在OC外；3分 (2)解：作CD⊥AB于D, D Sc= IAC BC=1AB CD, 2 CD=d=AC-BC_3x4 =2.4, AB 5 当OC与直线AB相交时，r>2.4.6分 18. 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, 由圆周角定理得：∠ACB=∠ADB, LABC=LADB;3分 (2)解：0OA∥CD,理由如下： :AB=AC,即AB=AC AO⊥BC, ∴∠BA0=∠CA0, 0A=0B, .∠AB0=∠BAO, ∠AB0=∠CA0, 由圆周角定理得：∠ABO=∠ACD, .∠CAO=∠ACD, 0A∥CD.6分 19. 【详解】(1)解：如图①中，连接OD交BC于点E,则点E即为所求； O E D 图① 理由：D是劣弧BC的中点， .OD垂直平分BC,且OD与BC交于点E, 则点E是线段BC的中点， 点E即为所求；3分 (2)解：如图②中，延长BA交OO于J,延长CA交OO于K,连接CJ,BK,延长CJ交BK的延长线 于点H,作直线HA交BC于点D, 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图② 理由：：BC是OO的直径， ∴.LBKC=∠BJC=90°， JC⊥AB,BK⊥AC, HD⊥BC, 线段AD即为所求；6分 20. 【详解】(1)证明：如图，连接BD,OA,OB, :BC⊥AB,D为AC的中点， 1 BD-7AC-AD. 又：0A=0B, OD垂直平分AB, 0D1AB;3分 (2)解：如图，设OD交AB于点H, A :半径OD⊥AB,垂足为H,AB=4V3, B :.AH=1AB=23, 2 D是AC的中点，AC=8, 3/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 AD=4, DH=VAD2-AH=V42-(25=2, 设0D=0A=r,则0H=r-2, 在Rt△OAH中，OH2+AH2=OA, 即(r-2+(25=r2, r=4,即⊙0的半径为4..6分 21. 【详解】(1)解：设该段弯路的半径为rm, 0C⊥AB,AB=300m, 4D=BD号AB=150m 在RtA AOD中， A02=AD2+OD2 r2=1502+-5052, 解得：r=100√万（米）.4分 (2)解：根据题意：c--120m1005_2005m. 180 180 展直长度为：AE+BF+1c=235+235+205E- 470+200V3x m.…8分 3 3 22. 【详解】(1)解：连接OE, D :⊙O的半径为R,六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形. ·∠E0F=360° 6 =60°，0E=0F,EF=FG, .△OEF是等边三角形， :.OF=EF FG 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△OFG是等腰三角形， ∠EFG=90°，∠0FE=60°， .∠0FG=150°， ∠0GF=180°-150）=15.4分 (2)解：过0O作OM⊥EF于M,设正六边形的边长为a. H C D :∠F0E为正六边形的中心角， .∠F0E=60°. E0=F0=a, “.△EOF是边长为a的等边三角形， :EF=a,∠EOM=∠EOF=30°， :正方形EFGH的面积为d,ME=}OE=a, 2 2 OM-VOR-MET3 0, 正六边形的面积为6x1a V3.3N32, 2. 20s :正六边形与正方形的面积比为35 2:a2=3V5:2.8分 2 23. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, B M D :0A=0C, :∠0AC=∠0CA, :AC平分∠OAD, 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LDAC=∠0AC, .∠DAC=∠OCA, AD∥OC. :AD⊥MN, :0C⊥MN. :0C是半径， MW是O0的切线；2分 (2)解：①在Rt&ADC中，AD=3,∠DAC=30 :CD=3,AC=2CD=23, :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，AC=2√5，∠CAB=∠CAD=30°， AB=4,即00直径为4；5分 ②：∠CAB=∠CAD=30°， .∠B0C=2∠CAB=60°， 八OB=OC=B=2, △OBC是等边三角形， AOBC的高为：OB=√5， S阴影部分=S贵形OBC-S0BC 60×π×221 2x/3 3602 2 .8分 24. 【详解】解：(1)连接OE,OF,如图，作OG⊥EF于点G, 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G VB .∠BAC=60°， .∠E0F=120°， :0E=0F=AD=4, ∴.∠0EF=∠OFE=30°， .EG=0Ecos30°=2√5， EF =2EG=43, EF的长度不会变化；4分 (2)连接OE,OF,OM, VB :∠BAC=60°， ∠E0F=120°， ∠OEF=∠OFE=30°， :OE=OF=AD=4,M为EF的中点， 2 则.OM⊥EF, 0M=0E=2, 即在三角尺旋转过程中，点M始终在以O为圆心，2为半径的圆上运动， 当E、A重合时，如图， 7112 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A(E) B :M是EF中点， OM⊥EF, ∠BAC=60°，∠C=90°， .∠B=30°， :AC与圆相切， .∠DAC=90°， ∠DAB=30°， :∠40M=60,0M=2oE=2. 当D、F重合时，如图， A --M D (F) B :AD是直径， ∴∠AEF=90°， DE∥BC, .∠ADE=∠B=30°， :∠DOM=60°，∠AOM=120°， ∴点M旋转的角度是120°-60°=60°， 0M=2, 六点的运动路径长是6002-号：…8分 (3)BC与半圆O相切； 作ON⊥BC于点N,如图， 8/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (F) BV :∠BAC=60°，∠C=90°，AC=6, ∠B=30°， AB=12, B0=12-4=8, 0N=0B=4, 2 .0N=0A, :.BC与半圆O相切； 连接OE,如图， B :LBAC=60°，0A=0E, .△AOE是等边三角形， .∠AOE=60°，∠D0E=120°， .∠ADE=30°， =4, AE-1 .DE=V82-42=45, :Ru△4BC与半阴O里叠部分的面积=S+Sx5e+Sm =×5x4x45+120xx4=45+ 221 360 +32分 25. 9/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图1，：点E在△ABP的外接圆上， ∠AEP+∠A=180°， ∠AEP=90°， ∠EAP+∠EPA=90°， .EA=EP, ∠EAP=∠EPA=45°， △PAE是等腰直角三角形；4分 (2)解：结论：DE=√2PF, 理由：如图2，延长FE交AD于点H, H D :EF⊥BC,BCI AD, B P F C 图2 :EH⊥AD,即LAHE=LEFP=90°， ∠EAH+∠AEH=90°， :∠AEP=90°， ∠PEF+LAEH=90°， ∠EAH=∠PEF, 又PAE是等腰直角三角形， .EA=EP, .△EAH≌△PEF(AAS), .AH EF,EH=PF, :四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°， 又∠DHE=90°， .四边形DHFC是矩形， :AD=DC=HF,DH=CF, .AH +HD EF HE .HD HE PF 10/12 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．平面内，若的半径为2， ，则点P在（   ） A．外 B．内 C．内或外 D．上 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径r的大小关系判断． 【详解】∵的半径，，且， ∴， ∴点P在外． 故选A． 2．下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 D．相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；需根据每个选项的条件和结论进行判断即可． 【详解】解：∵三点共线时不能确定一个圆，∴A错误； ∵相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中成立，选项未指定条件，∴B错误； ∵过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，∴C错误； ∵相等的弧所对的圆心角相等，这是圆的基本性质，∴D正确； 故选D． 3．如图，点、、在上，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、圆周角定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 根据平行线性质得到后，再结合圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：D． 4．如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，的长是． 故选：B． 5．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 6．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接，由垂径定理得到，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，于是得到的半径的长为． 【详解】解：连接， ∵直径于点E， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径的长为． 故选：D． 7．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 8．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 9．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，内切圆和外接圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 假设正方形内切圆的半径为1，则，利用勾股定理求出外接圆的直径，然后利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得， ∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为； 外接圆的面积为， ∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1， 故选：C． 10．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，点A、B、C、D都在上，已知，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查圆周角定理，由与所对的弧是同一条弧可得，由此解答即可 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 12．如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，运用圆的切线垂直于过切点的半径和勾股定理是解题关键，先由切线的性质得，再由勾股定理求得圆的半径，进而求出长． 【详解】解：如图，连接， ∵切于A点， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 13．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 【答案】1 【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解． 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是正方形， 设半径为r，， ，，， ， ，， ， ， 的内切圆的半径为1； 故答案为：1． 14．如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关系是由相似得到． 设圆的半径为r，即，则由为直径，可得；由为切线，可得，在中，，根据相似三角形得到，又在中，根据勾股定理，，联立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵是半圆O的切线，B为切点， ∴， 又， 在中，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即， 在中，，由勾股定理得， 设的半径为r，则， ∴， ∴，即， 解得（负值舍掉）， 故答案为：． 15．如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，理解菱形的对称性是解题的关键．构造扇形，扇形，连接，通过两个公式：两个扇形组合构成的中间花瓣的面积，求解即可． 【详解】解：构造扇形，扇形，连接， 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形， ， ， ， ， 在菱形中，， ， ， 令交于点， 在中，， ，， ，， ． 故答案为：． 16．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作于，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作于，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在射线时，与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时，与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 【答案】(1)点在外，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系是解决问题的关键． （1）先根据勾股定理求出B到圆心C的距离，再根据点与圆的位置关系即可求出结论 （2）过作于，先根据三角形面积公式求出到的距离，再根据直线与圆的位置关系即可求出结论． 【详解】（1）解：点在外，理由如下： 在中，， ∴， ∵，即到圆心的距离大于的半径， ∴点在外； （2）解：作于， ∵， ∴， 当与直线相交时，． 18．如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 19．如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图①，内接于，D是劣弧的中点，画出的中点E； (2)如图②，BC是的直径，A是内一点，画出的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，垂径定理推论，圆周角定理，三角形中线、高的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图，连接交于点，则点即为所求； （）如图，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图中，连接交于点，则点即为所求； 理由：∵是劣弧的中点， ∴垂直平分，且与交于点， 则点是线段的中点， ∴点即为所求； （2）解：如图中，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点， 理由：∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴线段即为所求； 20．如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，垂直平分线的判定，垂径定理，勾股定理，构造合适的辅助线是解题的关键． （1）连接，，，先由直角三角形斜边上的中线性质可得，结合，可知垂直平分，即可得证； （2）根据垂径定理可得，利用勾股定理即可求得的长，设，则，在中，再次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ，为的中点， ， 又， 垂直平分， ； （2）解：如图，设交于点． 半径，垂足为，， ， 是的中点，， ， ， 设，则， 在中，， 即， ，即的半径为． 21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，． (1)求这段弯路的半径； (2)若m，，在不计公路宽度的前提下，计算该段公路的展直长度．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理等知识． （1）设该段弯路的半径为，由垂直定理得出，再利用勾股定理得出，代入数值计算即可得出答案． （2）根据该段公路的展直长度为计算即可． 【详解】（1）解：设该段弯路的半径为， ∵，， ∴， 在中， ， 解得：（米）． （2）解：根据题意：， ∴展直长度为： 22．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 23．如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据勾股定理，以及直角三角形的性质求出，，根据圆周角定理可知，再根据勾股定理，以及直角三角形的性质即可求出直径； ②先判定是等边三角形，利用勾股定理得出，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； （2）解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 24．将直角三角尺（）的顶点A放在量角器（半圆O）上，已知，，，量角器（半圆O）的直径为8． 操作  现从与半圆O相切于点A（图1）的位置开始，将三角尺（）绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转后分别与半圆O相交于点E，F，连接（图2），当边落到上时停止（图3）． （1）在旋转过程中，判断弦的长是否会发生变化？说明理由； 思考  取的中点为M． （2）从三角尺（）旋转开始到结束，求点M运动的路径长； 探究  当旋转结束时，点F与D重合，如图3． （3）直接指出边与半圆O的位置关系（不说理由），并求此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 【答案】（1）的长度不会变化，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接，如图，作于点G，根据圆周角定理可得，再解直角三角形求出即可判断； （2）求出的长，从而得到M的轨迹，点D从开始到结束的度数变化，再根据弧长公式求解； （3）作于点N，如图，通过计算证明即可求出边BC与半圆O的位置关系；根据与半圆O重叠部分的面积即可求出此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 【详解】解：（1）连接，如图，作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度不会变化； （2）连接， ∵， ∴， ∴， ∵，M为的中点， 则∴， ∴， 即在三角尺旋转过程中，点M始终在以O为圆心，2为半径的圆上运动， 当E、A重合时，如图， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵与圆相切， ∴， ∴， ∴． 当D、F重合时，如图， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M旋转的角度是， ∵， ∴点M的运动路径长是； （3）与半圆O相切； 作于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与半圆O相切； 连接，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与半圆O重叠部分的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直线和圆相切，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质以及弧长公式和扇形面积的计算等知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 25．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②或12 【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交于点H．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论； （3）①由（2）知．求得．根据是BC的中点，于是得到， ②推出，当时，如图3，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图4，连接．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：结论：， 理由：如图2，延长交于点H， ，， ，即， ， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：①由（2）知． ， ， ∴， 是的中点， ． ②由①可知，， ∴， ∴，， 存在或， 当时，如图3，， ， ， 是圆的直径， 连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图4，连结； 是圆的直径， ， ， ， ， 综上所述，的长是或12． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．平面内，若的半径为2， ，则点P在（   ） A．外 B．内 C．内或外 D．上 2．下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 D．相等的弧所对的圆心角相等 3．如图，点、、在上，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 7．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 9．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，点A、B、C、D都在上，已知，则的度数为 ． 12．如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 ． 13．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 14．如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为 ． 15．如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值） 16．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 18．如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 19．如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图①，内接于，D是劣弧的中点，画出的中点E； (2)如图②，BC是的直径，A是内一点，画出的高． 20．如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，． (1)求这段弯路的半径； (2)若m，，在不计公路宽度的前提下，计算该段公路的展直长度．（结果保留） 22．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 23．如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 24．将直角三角尺（）的顶点A放在量角器（半圆O）上，已知，，，量角器（半圆O）的直径为8． 操作  现从与半圆O相切于点A（图1）的位置开始，将三角尺（）绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转后分别与半圆O相交于点E，F，连接（图2），当边落到上时停止（图3）． （1）在旋转过程中，判断弦的长是否会发生变化？说明理由； 思考  取的中点为M． （2）从三角尺（）旋转开始到结束，求点M运动的路径长； 探究  当旋转结束时，点F与D重合，如图3． （3）直接指出边与半圆O的位置关系（不说理由），并求此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 25．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三章 圆·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．平面内，若的半径为2， ，则点P在（   ） A．外 B．内 C．内或外 D．上 2．下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 D．相等的弧所对的圆心角相等 3．如图，点、、在上，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 7．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 9．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，点A、B、C、D都在上，已知，则的度数为 ． 12．如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 ． 13．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 14．如图，为半圆O的直径，是半圆O的切线，B是切点，交半圆O于点D，已知，，那么的半径为 ． 15．如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值） 16．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 18．如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 19．如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图①，内接于，D是劣弧的中点，画出的中点E； (2)如图②，BC是的直径，A是内一点，画出的高． 20．如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，． (1)求这段弯路的半径； (2)若m，，在不计公路宽度的前提下，计算该段公路的展直长度．（结果保留） 22．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 23．如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 24．将直角三角尺（）的顶点A放在量角器（半圆O）上，已知，，，量角器（半圆O）的直径为8． 操作  现从与半圆O相切于点A（图1）的位置开始，将三角尺（）绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转后分别与半圆O相交于点E，F，连接（图2），当边落到上时停止（图3）． （1）在旋转过程中，判断弦的长是否会发生变化？说明理由； 思考  取的中点为M． （2）从三角尺（）旋转开始到结束，求点M运动的路径长； 探究  当旋转结束时，点F与D重合，如图3． （3）直接指出边与半圆O的位置关系（不说理由），并求此时三角尺（）与量角器（半圆O）重叠部分的面积． 25．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $