专题13 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题13 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 32 17 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（24-25九年级上·山东威海·期末）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（   ） A．点A B．点B或点C C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点 例2（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 例3（25-26九年级上·江苏连云港·月考）1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？ 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例4（24-25九年级上·福建福州·月考）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点距离地面米，最低处点距离地面米，观赏者的眼睛点距离地面米，当过，，三点的圆与过点的水平线相切于点时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点的水平线上任取异于点的点，连接交于点，连接，．（1）按照小明的思路，求证：； 【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点距地面3米，最低处的点距地面1.8米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含，，的代数式表示） 例5（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（2025九年级下·广东·专题练习）如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点是直线l上的两个动点，且，求线段长度的最小值． 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    例4（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 【问题解决】（3） 如图③，矩形是某农业观光园的部分平面示意图，千米， 千米， 边上的点E为休息区， 且千米， 三条观光小路、、（小路宽度不计， F在边上， G在边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要， 并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的？若存在，请求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由． 例5（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 2.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 3．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 4．（2025·山东·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 5.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 6．（2025·山西晋城·模拟预测）最佳视点：如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点． 如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…    任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大； 任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)． 7．（2025·江苏常州·模拟预测）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，根据圆周角定理进行探究． (1)如图1，是的弦，点是上一点，连接，，过点作于点，连接，，求的大小；(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点为直线上的一个动点，且，求出点的坐标；（ⅱ）如图3，点为直线上的一个动点，连接，．当最大时，求出此时的面积． 8．（2025·江苏镇江·二模）数学的思考 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标． 数学的眼光(1)如图①，请说明 数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程； (3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标； (4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹） 9．（2025·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值和点的坐标；(2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标． 10．（2025·河南驻马店·三模）足球运动员带球跑动时有多种路线，比如横向、竖向、斜向等，而竖向跑动（用直线表示）一般又分为以下两种情况：（A、B为门框端点） ，垂足D在线段上 ，垂足M在线段外       (1)当运动员带球沿图1的竖向跑动时，请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性（即求证：）；(2)如图2，当过点A、B的与相切时，切点即为最佳射门点，若，，求最佳射门点到M的距离． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，在矩形中，，．在边上是否存在一点M，使得的值最大？若存在，请找出点M，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 问题解决（2）如图②，一支队伍沿着射线方向行进，一名观察员从点O出发，沿着射线行进，从而观察整支队伍的行进情况．已知与的夹角为，观察员行进后到达点P，观察队伍的行进情况，设其有效观测角为．若射线上存在唯一观测点P，满足，请结合题目条件求出队伍AB的长度． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：（1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________．    问题探究：（2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决：（3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______； （2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值； （3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图，是的弦，点是上的一点，点是外一点，则______（填“”“”或“”），请说明理由． （2）如图，五边形是一块小型湿地，，，，米，米，米为了进一步满足当地市民和游客的观景需求，计划在该湿地修建观景步道和相关设施，部分设计方案如下：①点为入口，点为出口，在湿地边缘的中点修建观景台，在湿地边缘上修建洗手间；②修建观景步道，即线段、、，为了尽可能保护生态，要使所修观景步道的长度最短；③在湿地边缘上选一点安装监控装置，用来监控步道，为了保证监控效果最佳，要使监控视角最大， 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出此时的长及最大视角的正弦值即；若不存在，请说明理由步道的宽忽略不计 15．（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出（1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决（2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 16．（25-26九年级上·广东惠州·月考）【提出问题】如图1，直线l是足球场底线，是球门，点P是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到Q点时，乙跟随冲到P点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为C，连接， ∵，∴______，∵，∴，∴______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻， ①当球员到点D和点E点射门时，射门角是否相等，请说明理由． ②最好的射点在______． A．点C        B．点D或点E C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.米勒最大张角（视角）模型 6 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 32 17 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，， ，，，，， ，，，，，， 在中，， 设的半径为，则，，， ，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（24-25九年级上·山东威海·期末）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（   ） A．点A B．点B或点C C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 根据勾股定理，可得，,， ，即，， ，四点共圆，， 则可得点和线段（异于端点）上一点都在圆外， 点和线段（异于端点）上一点到的张角都小于， 线段（异于端点）上一点到的张角都大于， 最好的射点在线段（异于端点）上一点，故选：D． 例2（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【答案】B 【详解】解：根据题意，当的外接圆与x相切于点C时，最大， 设外接圆的圆心为D，连接，，过点D作于点E， ∵点、的坐标分别是，∴点D一定在线段的垂直平分线上， 点， 故，根据切线性质，∴，∴四边形，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：B. 例3（25-26九年级上·江苏连云港·月考）1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？ 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】根据米勒定理可知，当的外切圆相切时，最大，如图，设的外接圆的圆心为，过点作，垂足分别为，连接，当与点重合时，最大 ∴四边形是矩形，则，即张角最大时，则 ∵宽大约为米，球门长大约为， 根据对称性可得，∴， 在中，；∴即大约为故选：C． 例4（24-25九年级上·福建福州·月考）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点距离地面米，最低处点距离地面米，观赏者的眼睛点距离地面米，当过，，三点的圆与过点的水平线相切于点时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点的水平线上任取异于点的点，连接交于点，连接，．（1）按照小明的思路，求证：； 【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点距地面3米，最低处的点距地面1.8米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米；（3） 【详解】解：（1），，，； （2）连接，，，，作于点， 由题知，米，，， ，为等边三角形，米， ，米，米， ，四边形为矩形， 米，米，距地面的距离为（米)， 即观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米； （3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米， 米，，，米， 米，由（2）同理可知，四边形为矩形， 米， ． 例5（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（2025九年级下·广东·专题练习）如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点是直线l上的两个动点，且，求线段长度的最小值． 【答案】 【详解】解：作的外接圆，连接，作于， 则∴是等边三角形，∴， ∵，∴∴，∴ ， 即线段长度的最小值为 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 例4（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 【问题解决】（3） 如图③，矩形是某农业观光园的部分平面示意图，千米， 千米， 边上的点E为休息区， 且千米， 三条观光小路、、（小路宽度不计， F在边上， G在边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要， 并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的？若存在，请求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，的面积的最小值为 【详解】解：（1）如图1，作于，点是的中点，， ，，，故答案为：． （2）如图2，延长， 交的延长线于点，作的外接圆，连接，，，作于，设，四边形是正方形，， 是的中点，且，，，， ，，，， ，，，， ，，，，， 当点共线时，，， ，面积的最小值为． （3）如图3，存在的面积的最小值，理由如下： 延长， 交的延长线于点，作的外接圆，作于，作，交的延长线于，设的半径为，四边形是矩形，，， 千米，千米，（千米），，， ，， 由（2）得：，， ，四边形是矩形，， ，，，（千米）， （平方千米），（平方千米）． 例5（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵∴， 设，则， ∵，，∴，解得：， ∴，∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，，∴，，， ∴； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值，∴当取得最小值时，取得最大值， ∵，∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J．设的外接圆半径为，则， 又∵，∴，∴， 当点O在上时，最短，此时，∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵，∴，同理可得：， 设，则，， ∵，∴，∴，∴， ∴的面积的最小值为，∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 【答案】B 【详解】解：以为弦作圆，当圆与相切于时，最大，甲最佳射门位置是点， 连接，过作于，连接，，（米， ，四边形是矩形，，， 米，米，（米，米， （米，米， 甲位于最佳射门位置时离点的距离是米．故选：B． 2.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【答案】/ 【详解】解：由题意，，∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，如图，过点B作于点H． ∵，∴，∵．，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴；故答案为：． 3．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE， ∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 法1：根据：∠EAF＝60°，AK＝2，得到定角定高（探照灯）模型 设三角形△AEF的高为AK=h，其外接圆半径为r，∠EAF= 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△AEF是等腰三角形（AE=AF）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴=4，当取等号时△ABC面积有最小值； 法2：作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 4．（2025·山东·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 【答案】（1，0） 【详解】解：∵点P在x轴正半轴上，作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角， ∴当圆E的半径最小时，∠MPN最大，∴当圆E和x轴相切时，∠MPN最大， 设E（x，y），则P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根据EM=EN=PE， 则，由化简可得：x+y=3， 由化简可得：， 将y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案为：（1，0）． 5.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 【解析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r， ∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴， ∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：． 6．（2025·山西晋城·模拟预测）最佳视点 如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点． 如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…    任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大； 任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)． 【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想 【详解】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接， ∵是的外角，∴， 又∵与都是弧所对的圆周角， ∴， ∴，∴在点E时视角最大． 任务二：∵，∴， 又∵，∴是等边三角形，． 如图2，连接，∵是的切线，∴，    ∵，∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴．由题意得，(米)， 在中，(米)． 答：观察者应该站在距离米的地方最理想． 7．（2025·江苏常州·模拟预测）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，根据圆周角定理进行探究． (1)如图1，是的弦，点是上一点，连接，，过点作于点，连接，，求的大小；(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点为直线上的一个动点，且，求出点的坐标；（ⅱ）如图3，点为直线上的一个动点，连接，．当最大时，求出此时的面积． 【答案】(1)(2)（ⅰ）P点坐标为或；（ⅱ）． 【详解】（1）解：连接，∵，，∴， ∵，∴， （2）解：（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图）， 设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，则点Q在直线上，设， 则，∴， 当时：，即，，∴，， ∵，∴，解得或者（舍去），此时， 当点P在x轴下方时，由轴对称可知：； 综上所述，当时，P点坐标为或； （ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1）， 设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，则点Q在直线上，，则有， 如图2，当与直线相切时，最大， ∴，此时为等腰直角三角形，， ，在中：， 解得：或（舍去），∴，∴， 即为等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 8．（2025·江苏镇江·二模）数学的思考 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标． 数学的眼光(1)如图①，请说明 数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程； (3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标； (4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析(2)(3)(4)见解析 【详解】（1）解：如图，连接，∴∵是的外角，∴， ∴，∴． （2）直线l的表达式为，∵点C在直线l上，设点， ∴，， ∵，∴                        ∴， 解得，（不合题意，舍去），∴P点坐标为． （3）连接并延长，交于点E，连接，如图， ∵是直径，∴，∴， ∵与x轴相切于点P，∴轴，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，即可得到直线的解析式为，∴， ∴，，∴，即， ∴，∴P点的坐标为． （4）令，，根据第（3）问得，构造直径长为的半圆，得到c，即在图中截取即可，如图所示，此时即为所求． 9．（2025·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值和点的坐标；(2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标． 【答案】(1)，，(2)(3)点的坐标为 【详解】（1）∵抛物线交轴于点，，与轴交于点， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：； ∵二次函数的对称轴：，∴，∴，∴点． （2）作轴于点，∵点，点∴， ∵，，∴，∴， ∴，设，则，∴点， ∵点在二次函数，∴，解得：（舍），，∴． （3）∵抛物线平移到顶点在原点的位置，∴现抛物线解析式为：， 设点，，直线的解析式为：， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴， ∵，∴，，∴，∴， ∴，∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，在直线上，∴，整理得：， ∴，∴，∴，解得：， ∴直线的解析式为：，∴直线过点， ∵，∴为直角三角形，斜边，∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当时，最大，∴，，， 过点作轴交于点，设点，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，，∴此时点的坐标为． 10．（2025·河南驻马店·三模）足球运动员带球跑动时有多种路线，比如横向、竖向、斜向等，而竖向跑动（用直线表示）一般又分为以下两种情况：（A、B为门框端点） ，垂足D在线段上 ，垂足M在线段外       (1)当运动员带球沿图1的竖向跑动时，请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性（即求证：）；(2)如图2，当过点A、B的与相切时，切点即为最佳射门点，若，，求最佳射门点到M的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：证明：由三角形外角性质可得：，， ∴，即， ∴．在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性； （2）如图，由垂径定理可得，圆心O在线段的中垂线上，且到的距离等于半径，得到圆心O的位置如图，所在直线为线段的中垂线，点Q为切点，    ∴，∴， ∵，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，最佳射门点到M的距离是． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，在矩形中，，．在边上是否存在一点M，使得的值最大？若存在，请找出点M，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 问题解决（2）如图②，一支队伍沿着射线方向行进，一名观察员从点O出发，沿着射线行进，从而观察整支队伍的行进情况．已知与的夹角为，观察员行进后到达点P，观察队伍的行进情况，设其有效观测角为．若射线上存在唯一观测点P，满足，请结合题目条件求出队伍AB的长度． 【答案】（1）存在，（2）米 【详解】解：（1）存在，理由如下：如图，作的外接圆，根据题意，当与相切时，满足题意．连接并延长与交于点，连接，由与相切，可知，故在矩形中，， ，，，， 又，即，设的半径为， 在中，，即，解得， ； （2）如图，作的外接圆，根据题意可知当与相切于点时，满足题意，连接并延长与交于点，连接，过点作，垂足为， ，，，，，， 又，，由与相切可知，即， 在中，，故， 设的半径为，在中，， 在中，， 而，解得， ，即队伍的长度为米． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：（1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________．    问题探究：（2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决：（3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 【答案】（1）；（2）最大值；（3）花坛面积的最大值为平方米． 【详解】解：（1）如图所示，根据题意作的外接圆， ∵，其外接圆半径等于，所对的圆周角是，所对的圆心角是，∴， ∵，∴是等边三角形，∴； （2）∵如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，∴， ∵线段是定值，∴当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴，∴， ∴，∴的最大面积为； （3）解：依题意，，，如图所示，作的外接圆O，连接， 则，点在优弧上， 由（1）可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大，如图所示， 设，则，， ∵，∴， ∴平方米， 答：花坛面积的最大值为平方米． 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______； （2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值； （3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【详解】解：（1）是等边三角形，，， ，，等边的高为， 则，故答案为：； （2）如图，连接，，，作于点． 设的半径为，由圆周角定理可知，， ，． 在中，，，． ，，即， ，，； （3）的面积存在最小值．如图，作，交的延长线于点． ，，， ，． ，，，，． 作于点，于点，，， ，面积最小时，面积最小． 作，则，作的外接圆，，连接，，设的半径为．，，， ，即，， 当，，三点共线时，最小，最小为，， ，． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图，是的弦，点是上的一点，点是外一点，则______（填“”“”或“”），请说明理由． （2）如图，五边形是一块小型湿地，，，，米，米，米为了进一步满足当地市民和游客的观景需求，计划在该湿地修建观景步道和相关设施，部分设计方案如下：①点为入口，点为出口，在湿地边缘的中点修建观景台，在湿地边缘上修建洗手间；②修建观景步道，即线段、、，为了尽可能保护生态，要使所修观景步道的长度最短；③在湿地边缘上选一点安装监控装置，用来监控步道，为了保证监控效果最佳，要使监控视角最大， 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出此时的长及最大视角的正弦值即；若不存在，请说明理由步道的宽忽略不计 【答案】（1），见解析；（2）米，存在， 【详解】解：（1）如图，设与的交点是，连接， ，， ，，故答案为：； （2）如图，延长至，使米，连接，交于， 则最小，过，作，且与相切于，则最大， ，，， 米，米，米，，米， ，垂直平分，，， 设，，， 在中，由勾股定理得，，， ，舍去，． 15．（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出（1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决（2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【答案】（1）；（2）当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，面积最大，， ∵的面积为，∴的半径为， ∵，，， ，，∴面积的最大值为； （2）如图2，连接，设相交于点， 由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小， 是等边三角形，，， 由题意可知，是的直径，，， 为的中点，，，四边形是菱形， 在中，，，， ， ∴阴影部分面积最小值为 故当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 16．（25-26九年级上·广东惠州·月考）【提出问题】如图1，直线l是足球场底线，是球门，点P是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到Q点时，乙跟随冲到P点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为C，连接， ∵，∴______，∵，∴，∴______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻， ①当球员到点D和点E点射门时，射门角是否相等，请说明理由． ②最好的射点在______． A．点C        B．点D或点E C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 【答案】（1），甲；（2）①当球员到点D和点E点射门时，射门角相等，理由见详解；②C 【详解】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为C，连接， ，， ，，甲射门好，故答案为：，甲； （2）解：①当球员到点D和点E点射门时，射门角相等，理由如下， 取格点，连接、、、，如图所示， ，、、、四点在以为圆心，为半径的圆上， ，则当球员到点D和点E射门时，射门角相等； ②，点在圆外，由（1）可得，，故选项A不符合题意； 线段（异于端点）的点在圆外，线段（异于端点）上一点的射门角均小于，故选项D不符合题意； 在线段（异于端点）上取一点，连接并延长交圆于点，如图所示，连接、， 则，，，， 最好的射点在线段（异于端点）上一点，故选：C． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务． 素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．    素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．    素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．    任务一 若素材一中的，求的最大值． 任务二 若素材二中的，求的最小值． 任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．    任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值． 任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值 【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五： 【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接 ∵，， ．∴，故的最大值为2．               任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即， 故的最小值为12．                                   任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，   ∴，设的半径是R， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∵∴， ∴，∴，∴，∴的最小值是． 任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接， ∴，设的半径是R，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴， ∵∴，∴， ∴，∴，∴的最小值是． 任务五，如图3，作于G，延长交于H， ∵，∴，设，∴， ∴，在的延长线上截取， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴， 由任务四可知，， ∵， 当最小时，∴取得最大值，此时最大值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $