第二章 二次函数（必备知识+8大易错+易错训练）（知识清单）数学北师大版九年级下册

该初中数学二次函数单元知识清单全面覆盖二次函数的概念、解析式、图象性质、平移规律、与方程关系及实际应用，通过清单条目、表格对比、易错点分析及例题解析，搭建了从基础定义到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识梳理+易错突破”的结构化设计，如用表格清晰对比a的符号对函数性质的影响，“上加下减左加右减”口诀简化平移规律，每个易错点附方法技巧总结培养数学思维，例题变式覆盖存在性问题强化模型意识，助力学生自主高效复习，也为教师教学提供精准资源支持。

第二章 二次函数 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【易错一】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0” 方法技巧总结： 1. 先列等式，求可能值：根据题目条件，比如"函数是二次函数"或"函数经过某点"，列出关于系数的方程。 解出所有可能的解。 2.再用定义，定最终值：检查上一步得到的解。根据二次函数定义，二次项系数  a  不能为0。 【例1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 【易错二】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 方法技巧总结： 1. 先定开口，分情况：二次函数的增减性由开口方向决定。 - 当  a > 0  时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧  y  随  x  增大而减小，右侧则增大。 - 当  a < 0  时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧  y  随  x  增大而增大，右侧则减小。 解题时需分别讨论这两种情况。 2. 再列方程，求解集：在每种开口方向下，结合题目给出的增减性条件，列出关于系数的不等式或方程。 解出每种情况下的系数取值范围。 3. 最后综合，得答案：将所有有效情况的解合并，得出最终的系数取值范围。 【例2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 【易错三】二次函数的图象与系数的关系 方法技巧总结： - 看a：决定抛物线的开口方向和宽窄。 -  a > 0  时，开口向上； a < 0  时，开口向下。 -  |a|  越大，抛物线开口越窄；反之则越宽。 - 看a和b：共同决定对称轴的位置  x = -b/2a 。 - 可以用"左同右异"的口诀记忆：当对称轴在y轴左侧时， a  和  b  符号相同；在右侧时，符号相反。 - 看c：决定抛物线与y轴的交点位置。 - 交点坐标是  (0, c) 。 c > 0  时，交点在y轴正半轴； c < 0  时，在负半轴； c = 0  时，抛物线过原点。 - 看判别式： Δ = b² - 4ac  的值决定抛物线与x轴的交点数量。 -  Δ > 0  时，有两个不同交点； Δ = 0  时，有一个交点； Δ < 0  时，没有交点。 【例3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 【易错四】利用二次函数解决实际问题中最值问题 方法技巧总结： 1. 设变量，建模型：先设自变量，通常是问题中要求最大化或最小化的量。 然后根据题目中的等量关系，列出函数解析式  y = ax² + bx + c 。 2. 求顶点，得最值：二次函数的最值出现在顶点处。 - 当  a > 0  时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。 - 当  a < 0  时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。 最值对应的自变量值为  x = -b/2a ，将其代入解析式可得最值。 3. 验范围，做取舍：检查顶点横坐标是否在自变量的实际取值范围内。 - 若在范围内，顶点处即为最值点。 - 若不在，则需根据函数增减性，在取值范围的端点处寻找最值。 【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． (2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【分析】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式． （1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论； （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为．根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】（1）解：设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． （2）解：设降价元，该超市的利润最大，利润为． 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【易错五】二次函数中线段、周长、面积最值问题 方法技巧总结： 1. 线段/周长最值：“转化模型”优先 单线段最值用“顶点法”，如抛物线上点到定直线距离，设点坐标代入距离公式，转化为二次函数求顶点；多线段和最值用“对称转化”，如“将军饮马”模型，作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，连对称点与另一定点，与抛物线交点即所求，线段长为最小值。 2. 面积最值：“底高公式+函数转化” 三角形面积优先选平行于坐标轴的边为底，如以x轴上线段为底，高为抛物线上点纵坐标绝对值，代入面积公式得二次函数，开口向下时顶点纵坐标即最大面积；多边形面积用“割补法”拆为三角形/矩形，分别表示面积再合并，转化为二次函数求最值。 【例5】（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 【易错六】二次函数中等腰三角形、直角三角形存在性问题 方法技巧总结： 1.等腰三角形存在性问题 这类问题通常需要"两圆一线"的思路来确定点的位置： - 两圆：以已知线段的两个端点为圆心，线段长度为半径画圆，圆与抛物线的交点即为满足条件的点。 - 一线：作已知线段的垂直平分线，这条直线与抛物线的交点也是满足条件的点。 计算时，利用两点间距离公式。设出抛物线上点的坐标(x, y)，再把它代入二次函数表达式。然后根据"腰"的不同组合列方程求解。 2.直角三角形存在性问题 这类问题的关键是利用勾股定理或斜率乘积为-1来判断垂直关系。 - 固定直角顶点：先假设三个顶点中的一个为直角顶点。 - 计算边长：分别计算出三条边的长度的平方（避免开方）。 - 列方程求解：根据勾股定理列出等式。 - 验证结果：将解出的坐标代入二次函数，验证是否在抛物线上。 【例6】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 【变式2-2】（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)存在满足条件的 点，其坐标为或． 【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解； （）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图， 过顶点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， ∵，，点为抛物线上的一个动点， ∴设， ∴， ， ， 由于以为直角边的直角三角形， 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点； 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点， 综上可知：点的坐标为或． 【易错七】二次函数中特殊四边形存在性问题 方法技巧总结： 1. 平行四边形的存在性 平行四边形的关键是对角线互相平分。 设出三个已知点和一个未知点的坐标。 根据中点坐标公式，利用对角线中点重合的性质列方程求解。 这种方法比用对边平行或相等的性质计算更简洁。 2. 菱形、矩形、正方形的存在性 这类问题通常是在平行四边形的基础上增加特殊条件。 - 菱形：在平行四边形的基础上，增加"邻边相等"的条件。 - 矩形：在平行四边形的基础上，增加"邻边垂直"的条件。 - 正方形：在平行四边形的基础上，同时满足"邻边相等"和"邻边垂直"。 【例7】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【易错八】二次函数中的新定义型综合问题 方法技巧总结： 1. 精读定义，抓住本质 这类问题会给出一个教材上没有的新定义。比如"关联点"、"伴随函数"、"和谐三角形"等。你需要做的第一件事，就是逐字逐句地阅读和分析这个定义。把定义里的关键词、条件和数学表达式都划出来，确保完全理解。 2. 转化定义，建立联系 理解新定义后，下一步是把它"翻译"成我们学过的知识。通常是转化为函数、方程或几何关系。例如，新定义可能等价于"两点之间的距离等于某个值"，或"某个函数的函数值恒大于零"。这个转化过程是解题的桥梁。 3. 运用定义，求解验证 完成转化后，就可以运用我们熟悉的方法来解题了。比如，设点的坐标，代入二次函数表达式，然后根据转化后的条件列方程或不等式求解。最后，一定要把解出来的结果代回原题的新定义中，验证是否符合所有条件。 【例8】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）①设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出进行求解即可； ②根据题意可知，需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解． 【详解】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，     ∵， ∴的顶点坐标为； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或．            ②∵的解析式为：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或 （舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）： Ⅲ、当时，， 函数的最大值为，函数的最小值为； ∴， 解得（舍）； 综上，a的值为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西忻州·期中）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键． 先提取二次项系数，然后配成完全平方公式即可求解． 【详解】 ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．通过计算二次函数的顶点坐标和判断开口方向，利用二次函数的性质分析各选项． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故抛物线开口向下， 对称轴为 ， 当时， ，即顶点为 ； 对于A：∵ ，∴开口向下，该选项不符合题意； 对于B：∵开口向下，对称轴为 ，∴当 时，y 随 x 增大而减小，该选项不符合题意； 对于C：∵开口向下，∴有最大值5，无最小值，该选项不符合题意； 对于D：顶点坐标为 ，该选项符合题意； 故选：D。 4．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26九年级上·江西·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④，合计4个． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）将二次函数化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，函数表达式需满足x的指数为2且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， 则指数部分，且系数， 解得：， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．将二次函数化为顶点式，确定开口方向及顶点坐标，结合给定取值范围的端点值，求函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵ 二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，顶点处取最小值， 当时， 当 时，取得最小值； 当时，； 当时，， ∴ 当时，的取值范围为， 故答案为： 9．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： ①当时，随增大而增大；②抛物线的开口向上；③；④当时，的取值范围是．以上结论正确的有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性，由和时，确定对称轴为直线；利用对称性求的值；根据开口方向和增减性判断结论；由函数值小于求的取值范围。 【详解】解：由表可知，当和时，， 抛物线的对称轴为直线， 和关于对称轴对称， 时， 时， 即， 故结论错误； 由表格中的数据可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 抛物线开口向上， 故结论正确； 抛物线的对称轴是， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而增大， 故结论正确， 当时，的取值范围是， 故结论正确． 故正确的结论有个． 故答案为：3. 10．（25-26九年级上·广西百色·期中）已知抛物线（n为常数），当时，其对应的函数值最大为，则n的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：的值为7或． 故答案为：7或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）已知函数，求这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴． 【答案】开口方向向上，顶点坐标是，对称轴为直线 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．根据配方法的操作将二次函数一般式化为顶点式，根据a大于0确定出抛物线开口向上，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴． 【详解】∵函数中二次项系数为 ∴开口向上； ∵ ∴顶点坐标是，对称轴为直线． 12．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 13．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点． (1)求点A和点B的坐标； (2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 【答案】(1)A点坐标为，B点坐标为； (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入解析式即可求得函数解析；再令，求出x的值并结合函数图象即可确定A、B的坐标； （2）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，如图：连接，交对称轴于点P，根据两点之间，线段最短可得点P即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：； ∴． 令，则，解得：， ∴A点坐标为，B点坐标为； （2）解：由抛物线的对称轴为直线， 如图：点B关于抛物线的对称轴的对称点是点A，连接，交对称轴于点P， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，则点P即为所求； 设直线的关系式为：， 把代入， 得：，解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴P点坐标为． 14．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知抛物线 (1)与x轴的交点是________，与y轴的交点是________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线． (3)根据图像，直接回答，当时，的取值范围是___． 【答案】(1)，； (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，画抛物线的图象，抛物线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）令，求出；令，求出即可得解； （2）先列表，再画图即可； （3）根据函数图像的性质回答即可； 【详解】（1）二次函数解析式为， 当时，， ， ，， 与轴的交点为，； 令，得， 与轴的交点为； 故答案为：，；． （2）列表如下： 作图如下： （3）由图可知，对称轴为，最小值为， 当时，分两种情况： 当时，随的增大而减小，此时， 当时，随的增大而增大，此时； 综上所述：当时，． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法将，代入，即可求解； （2）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为； 联立，得， 解得，（不符合题意，舍去），， 点P的坐标为． 16．（2025·浙江·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， （2）解：①， ∴抛物选开口向上， ， ∴当时，该函数最小值为 ∵该函数的最小值为， ， ∴， ②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等 当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意） 当时， 当时， ∵两个函数的最小值相等， ，即 【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的单调性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置． 17．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 18．（25-26九年级上·福建泉州·期中）福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数．为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品．已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． (1)设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出___________件． (2)为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ (3)文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天的利润不可能达到4000元．”你认为他分析得是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)降价10元 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该小型德化瓷器降价元，根据每件的利润销售数量销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该小型德化瓷器降价元，根据每件的利润销售数量销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出的数量是 件， 故答案为：； （2）解：设该小型德化瓷器降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 让利于游客， ， 该小型德化瓷器降价元时，文旅公司每天获得利润3200元； （3）解：正确，理由如下： 设该小型德化瓷器降价元， 则 ， ， 当时，取最大值为元， ， 故他分析得正确． 19．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 20．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 21．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)当时，取最大值，此时 (3)N点横坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【详解】（1）解：∵与x轴交于点两点， ∴； （2）解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 22．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点，顶点为．将抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)判断四边形的形状，并证明： (3)连接，将抛物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，若抛物线与线段只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据对称轴为直线，且过点，得，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）根据旋转的性质，中心对称性质，中点坐标公式，待定系数法，矩形的判定解答即可． （3）设新抛物线的解析式为，由物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为，得到，故， 分抛物线经过点和点两种情况解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，中心对称，矩形的判定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线：与轴分别交于、两点（点在点的左侧），对称轴为直线，且过点， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得，抛物线的顶点为， ∴， 当， 解得， ∴，， 设，，， ∵抛物线绕点旋转得到新抛物线，抛物线顶点为，与轴分别交于、两点 ∴，，， 解得，，， ∴，，， ∴新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∴， 同理可证，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形。 （3）解：设新抛物线的解析式为， 由物线沿直线平移得到新抛物线，顶点为， ∴， ∴， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 此时，符合题意； 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个交点， ∴， 整理得， 解得， 此时，符合题意； 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时， 的取值范围或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章二次函数 思维导图 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数 二次函数的概念 般式 顶点式 二次函数解析式的三种形式 交点式 对称轴 顶点 二次函数的图象及性质 二次函数 增减性 上加下减，左加右减 二次函数的平移 ax2+bx+c-0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c( ā≠0)的图象与x轴交点的横坐标 二次函数与一元二次方程的关系 列出二次函数的解析式 用二次函数的性质解决实际问题 在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出 二次函数的最大值或最小值 知识清单 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如y=a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=r2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)· (2)顶点式：ya(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h,k). (3)交点式：=(x-x)(x-),其中x,2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0. 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【清单03】]二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) b 对称轴 e二2d 6 Aac-b2 顶点 (- 2a Aa a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 b 当x二2a 4ac-b2 b 最值 当=二 4ac-b2 时，y最小值= 4a 时，y最大值= a 4a 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 6 b 当父-2a时，y随x的增大而减小： 当x-2a 时，y随x的增大而增 增减性 b 当心二2a时，y随x的增大而增大 6 大；当x)= 时，y随x的增大而 2a 减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后 的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式. =a向0【或下c0】平移k个单位，=ar 向右h>0 【或左h<O】 平移h个单位 一向右h>0【或左c0】平移个单位 向上0)【或下依<0)】平移个单位 向右(h>0) 【或左(h<0)】 平移h1个单位 例向上0（或下40】平移个单位a炉网 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当=0时，就变成了一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0). 2)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 3)(1)b2-4ac>0-方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点： (2)b2-4ac0-方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点： (3)b-4ac<0-方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点. 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、 最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐 标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于 利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 易错总结 【易错一】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“≠0” 方法技巧总结： 1.先列等式，求可能值：根据题目条件，比如"函数是二次函数"或"函数经过某点"，列出关于系数的方程。 解出所有可能的解。 2.再用定义，定最终值：检查上一步得到的解。根据二次函数定义，二次项系数不能为0。 【例1】(24-25九年级上湖北宜昌期中)函数”=(m-2)x2-2mx+1 的图象是抛物线，则m= 【易错二】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 方法技巧总结： 1.先定开口，分情况：二次函数的增减性由开口方向决定。 -当>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧则增大。 -当<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧则减小。 解题时需分别讨论这两种情况。 2.再列方程，求解集：在每种开口方向下，结合题目给出的增减性条件，列出关于系数的不等式或方程。 解出每种情况下的系数取值范围。 3.最后综合，得答案：将所有有效情况的解合并，得出最终的系数取值范围。 【例2】(2425九年级上辽宁营口期中)对于二次函数=-2x+1,当Q-1≤x≤0时，函数=r-2x+刊 的最小值为1，则a的值为 【易错三】二次函数的图象与系数的关系 方法技巧总结： 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -看a:决定抛物线的开口方向和宽窄。 -a>0时，开口向上：a<0时，开口向下。 -lal越大，抛物线开口越窄；反之则越宽。 -看a和b:共同决定对称轴的位置x=-b/2a。 -可以用"左同右异"的口诀记忆：当对称轴在y轴左侧时，a和b符号相同；在右侧时，符号相反。 -看c:决定抛物线与y轴的交点位置。 -交点坐标是(0，c)。c>0时，交点在y轴正半轴； c<0时，在负半轴；c=0时，抛物线过原 点。 -看判别式：△=b2-4ac的值决定抛物线与x轴的交点数量。 -△>0时，有两个不同交点；△=0时，有一个交点：△<0时，没有交点。 【例3】(24-25九年级上湖北襄阳期中)二次函数"=+br+ 的图象如图所示，有如下结论：① abc>0;②2a+b=0;③3b-2c<0;④am2+bm≥a+b(m为任意实数)；⑤方程ax2+bx+c=1的两根 之和为1.其中正确结论的个数是() x= 31 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【易错四】利用二次函数解决实际问题中最值问题 方法技巧总结： 1.设变量，建模型：先设自变量，通常是问题中要求最大化或最小化的量。 然后根据题目中的等量关系，列出函数解析式y=ax2+bx+c。 2.求顶点，得最值：二次函数的最值出现在顶点处。 -当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。 -当 a<0时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。 最值对应的自变量值为x=-b/2a,将其代入解析式可得最值。 3.验范围，做取舍：检查顶点横坐标是否在自变量的实际取值范围内。 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -若在范围内，顶点处即为最值点。 -若不在，则需根据函数增减性，在取值范围的端点处寻找最值。 【例4】(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期中)某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利 3 900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的)倍. ()求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可 售出100箱.若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利 润最大？最大利润是多少元？ 【易错五】二次函数中线段、周长、面积最值问题 方法技巧总结： 1.线段/周长最值：“转化模型”优先 单线段最值用“顶点法”，如抛物线上点到定直线距离，设点坐标代入距离公式，转化为二次函数求顶点； 多线段和最值用“对称转化”，如“将军饮马”模型，作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，连对称点与另 一定点，与抛物线交点即所求，线段长为最小值。 2.面积最值：“底高公式+函数转化” 三角形面积优先选平行于坐标轴的边为底，如以x轴上线段为底，高为抛物线上点纵坐标绝对值，代入面 积公式得二次函数，开口向下时顶点纵坐标即最大面积；多边形面积用“割补法”拆为三角形矩形，分别 表示面积再合并，转化为二次函数求最值。 【例5】(24-25九年级下山东东营期中)如图，抛物线y=+bx-3(a≠0)与x轴交于点4-0 点830 ,与'轴交于点C. (1)求抛物线的表达式： 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O△ACO (2)在对称轴上找一点，使 的周长最小，求点的坐标： (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标. 【易错六】二次函数中等腰三角形、直角三角形存在性问题 方法技巧总结： 1等腰三角形存在性问题 这类问题通常需要“两圆一线"的思路来确定点的位置： -两圆：以已知线段的两个端点为圆心，线段长度为半径画圆，圆与抛物线的交点即为满足条件的点。 -一线：作已知线段的垂直平分线，这条直线与抛物线的交点也是满足条件的点。 计算时，利用两点间距离公式。设出抛物线上点的坐标化，)，再把它代入二次函数表达式。然后根 据"腰"的不同组合列方程求解。 2.直角三角形存在性问题 这类问题的关键是利用勾股定理或斜率乘积为-1来判断垂直关系。 -固定直角顶点：先假设三个顶点中的一个为直角顶点。 ,计算边长：分别计算出三条边的长度的平方（避免开方）。 -列方程求解：根据勾股定理列出等式。 -验证结果：将解出的坐标代入二次函数，验证是否在抛物线上。 【例6】(24-25八年级下浙江宁波期中)如图，将抛物线y=t向右平移a>0 个单位得到新抛物线， 新抛物线的顶点为A,与'轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形 B A (1)求a的值： (2)在新抛物线上是否存在一点C,使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标：若不存在， 请说明理由. 【变式2-1】(24-25九年级上内蒙古呼伦贝尔期中)如图，已知二次函数片=一2 +2x+c的图象与x 2 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴的一个交点为4(40，与广轴的交点为B,过A、B的直线为凸=+b, ①)求二次函数”的解析式及点B的坐标： 2油图象写出满足<”的自变量*的取值范围， (3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，说明理由 【变式2-2】(2425九年级上云南保山期中)如图，已知抛物线经过点4(-3,0，B10,顶点为P, 与'轴交于点C0,-3引，且与直线=+3交于点D, 备用图 ()求抛物线的解析式及顶点P的坐标： (2)求△APD的面积： (3)若点M为抛物线上的一个动点，是否存在以AD为直角边的直角三角形ADM？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【易错七】二次函数中特殊四边形存在性问题 方法技巧总结： 1.平行四边形的存在性 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行四边形的关键是对角线互相平分。 设出三个已知点和一个未知点的坐标。 根据中点坐标公式，利用对角线中点重合的性质列方程求解。 这种方法比用对边平行或相等的性质计算更简洁。 2.菱形、矩形、正方形的存在性 这类问题通常是在平行四边形的基础上增加特殊条件。 -菱形：在平行四边形的基础上，增加"邻边相等"的条件。 -矩形：在平行四边形的基础上，增加"邻边垂直"的条件。 -正方形：在平行四边形的基础上，同时满足"邻边相等"和"邻边垂直"。 【例7】(24-25九年级下·山东菏泽·期中)如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象 限斜靠在两坐标轴上，且点1，B的坐标分别为10,2，B1,0 ,抛物线y=ar-ar-2经过点C VA B (1)求点C的坐标： (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标： C D (③)在抛物线上是否存在点P与点9（点C,D除外）使四边形 为正方形？若存在，请求出P,0的 ABPO 坐标：若不存在，请说明理由 【易错八】二次函数中的新定义型综合问题 方法技巧总结： 1.精读定义，抓住本质 这类问题会给出一个教材上没有的新定义。比如"关联点"、"伴随函数"、"和谐三角形"等。你需要做的第 一件事，就是逐字逐句地阅读和分析这个定义。把定义里的关键词、条件和数学表达式都划出来，确保完 全理解。 2.转化定义，建立联系 8/15 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理解新定义后，下一步是把它“翻译"成我们学过的知识。通常是转化为函数、方程或几何关系。例如，新 定义可能等价于“两点之间的距离等于某个值"，或"某个函数的函数值恒大于零"。这个转化过程是解题的 桥梁。 3.运用定义，求解验证 完成转化后，就可以运用我们熟悉的方法来解题了。比如，设点的坐标，代入二次函数表达式，然后根据 转化后的条件列方程或不等式求解。最后，一定要把解出来的结果代回原题的新定义中，验证是否符合所 有条件。 【例8】(24-25九年级下浙江杭州期中)新定义：我们把抛物线'=+r+C(其中b≠0)与抛物线 y=bx2+ax+ 称为“关联款物线”，饲：范物线2+3+的关联抛物线”为=3+2x+1 己知抛物 C:y=2ar2+r+a-3(a≠0)的“关联抛物线”为C. (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： 2若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物 C,C于点M,N. ①当MN=6a时，求点P的坐标： ②当-3≤x≤a-1 C, 时，的最大值与最小值的差为2a,求a的值. 易错训练 一、单选题 1.(25-26九年级上云南昆明期中)若关于的函数=-m+2是二次函数，则m的值为《) A.0 B.1 C.2 D.3 2。(25-26九年级上山西忻州期中)用配方法将二次函数y=-2x+4化为y=x-+k的形式为 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.y=x-2+2 B.yx-244 C. D.y=x-2+4 3.(25-26九年级上湖北武汉期中)关于二次函数’=-3x+2x-7, 下列说法正确的是() A.开口向上 B.当x>2时，y随x的增大而增大 C.有最小值5 D.顶点坐标是2，列 y=ax+b 4.(25-26九年级上·陕西商洛期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数 (a,b均不为0)与 二次函数y=br2-ar 的图象可能是() 5.(25-26九年级上江西期中)二次函数=ar+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线=1.下列结论： 0ac>0,②2a+h=0;③3a+c>0:④m+bm≥a+b(m为实数).其中结论正确的个数为(） 个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4 二、填空题 10/15