第二章 二次函数（必备知识+10大题型+分层训练）（复习讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学二次函数复习讲义通过知识清单系统构建知识体系，以【清单01】至【清单06】梳理概念、解析式、图象性质等核心内容，用表格对比a的符号对开口方向、增减性的影响，清晰呈现知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖定义辨析、解析式转化等十大题型，例题与变式题结合，如用钢架加固大棚问题培养模型意识，几何综合题提升推理能力，基础与能力测试满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第二章 二次函数（复习讲义） 1. 了解二次函数的概念（形如y=ax²+bx+c(a≠0)），体会二次函数各知识点之间的整体联系。 2. 能用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）表示函数。 3. 理解二次函数的图象及性质，能分析其对称轴、顶点、增减性的特征。 4. 能用“上加下减，左加右减”的规律进行二次函数图象的平移。 5. 理解二次函数与一元二次方程的关系，明确方程的解对应抛物线与x轴交点的横坐标。 6. 能用二次函数的性质解决实际问题：列出解析式后，在自变量取值范围内求其最大值或最小值。 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 【题型一】二次函数的定义 【例1】（25-26九年级上·广西梧州·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数的定义，解题关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如 ，其中 ），逐一判断各选项是否符合． 【详解】二次函数需满足最高次项为且系数不为零， 选项，，含项，其中 ，符合题意，选项正确； 选项，为分式函数，不是二次函数，不符合题意，选项错误； 选项，为一次函数，无 项，不符合题意，选项错误； 选项，，未明确 ，不一定是二次函数，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如（），判断各选项是否满足该形式，即可得到答案． 【详解】解：A：，为一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：，满足二次函数定义，是二次函数，符合题意； C：，的次数不是正整数，不满足二次函数定义，不符合题意； D：，为一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 【题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）将二次函数化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用，熟练运用完全平方公式是解题关键．通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】， ， = ， = ， = ． ∴ 顶点式为 ， 故选：B． 【变式2-1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）用配方法将函数写成的形式是 【答案】 【分析】本题考查了把二次函数一般式化为顶点式，根据题意，用配方法将函数，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·新疆·阶段练习）用配方法把二次函数化成的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，直接利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性．通过直接计算顶点坐标和对称轴来判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）已知：二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．若图象与轴有交点，则 C．当时，不等式的解集是 D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，包括单调性、判别式、不等式解集和平移变换．根据二次函数的基本性质逐项判断． 【详解】解：∵ 二次函数 ，开口向上，对称轴 ． ∴ A∶ 当 时， 随 增大而减小，正确，符合题意． B∶ 图象与 轴有交点时，判别式 ，解得 ，但选项要求 ，错误，不符合题意． C∶ 当 时，不等式 的解集为 或 ，不是 ，错误，不符合题意． D∶ 平移后函数为 ，过点 时，代入得 ，解得 ，但选项要求 ，错误，不符合题意． 故选 A． 【题型四】利用二次函数的图象和性质求解 【例4】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括二次函数的对称轴、顶点坐标以及函数在给定区间内的最值问题．关键在于准确确定对称轴，结合函数的开口方向和给定取值范围判断函数的最值情况． 【详解】该二次函数为正数，开口向上，由二次函数顶点公式，得顶点横坐标 ， 在取值范围内，故当时，函数取最小值．所以代入函数得 ． 故答案为 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，当时，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，根据及（a为常数，且）得到关于的不等式，进一步根据二次函数的图象与性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 【变式4-2】（25-26九年级上·山东日照·期中）已知抛物线（m为常数，且），当时，y随x的增大而减小，当时，y的最大值为10，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与区间最值问题，由抛物线解析式可得对称轴为直线，根据当时y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，即；再根据当时y的最大值为10，由于区间在对称轴左侧且开口向下，最大值在处取得，代入解析式求解方程，结合 确定m的值． 【详解】解：将抛物线配方得，故对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，因此， 当时，由于对称轴，区间在对称轴左侧，且开口向下，y随x的增大而增大，最大值在处取得， 代入，得， 设， 即，解得或， ∵， ∴舍去，符合条件， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，时取最大值， 即， 则，解得， 方程的解不在的取值范围里，不符合题意； 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 【题型五】二次函数与一元二次方程的交点问题 【例5】（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．将代入二次函数求解即可． 【详解】解：将代入二次函数中，则， 故二次函数与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式等知识点，将抛物线与x轴的问题转化成一元二次方程根的问题成为解题的关键． 将抛物线与x轴的交点将问题转化为方程有2个不等实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可． 【详解】 解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 【题型六】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例6】（25-26九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 0 ．．． (1)表中___________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像； (3)当时，，则___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或1 【分析】本题考查了二次函数的对称性、图象绘制及函数值的取值范围，解题的关键是利用二次函数的轴对称性确定函数值，结合图像分析取值范围． （1）利用二次函数的轴对称性，确定对应的对称点的函数值得到； （2）根据表格对应值描点后用平滑曲线连接； （3）结合函数值的范围，确定长度为1的区间，进而得的值． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， 因为与时的点关于直线对称，且时， 故． 故答案为： （2）解：根据表格中与的对应值描点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的图像． （3）解：由表格知，时或，时或； 要使时，观察图象可得， 当时，在内，从到，符合条件； 当时，在内，从到，符合条件． 故答案为：或． 【变式6-2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； (3)根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大；② 【分析】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）①观察图象即可求解； ②根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线； （2）解：如图所示， 0 6 8 6 0 （3）解：①由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 【题型七】二次函数的平移 【例7】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数图像平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线可由抛物线向 （填上或下）平移 个单位长度得到． 【答案】 上 【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：抛物线可由抛物线向上平移个单位长度得到， 故答案为：上，． 【变式7-2】（24-25九年级上·山西大同·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 【题型八】待定系数法求二次函数的表达式 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求，的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． (3)若，求函数值的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数关系式，二次函数的顶点式等知识点； 思路：（1）将点的坐标代入关系式得到方程组，求出解即可； （2）利用配方法将解析式转化为顶点式或根据顶点坐标公式计算； （3）根据（1）中解析式确定对称轴，确定开口方向后，根据增减性即能确定范围． 【详解】（1）解：将点与代入得： ， 解得： ， 所以，； （2）由（1）得解析式为：， 方法一：可转化为 所以顶点：； 方法二： 顶点横坐标， 代入求纵坐标， 所以顶点：； （3）已知， 所以二次函数图像开口向下， 顶点是最大值点， 对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，有最大值，， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式8-1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）根据题目中的条件，求二次函数的表达式． (1)已知二次函数的图像经过点和，求二次函数表达式． (2)已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，求抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于正确的计算． （1）把和代入二次函数解析式求解即可； （2）设此二次函数的表达式为，把代入求解即可． 【详解】（1）解：把和代入二次函数解析式得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：设此二次函数的表达式为， 代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． (3)直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的图象与性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）把化为顶点式，然后根据上加下减、左加右减的规律求解即可； （3）由二次函数的性质得抛物线开口向下，顶点坐标为，然后求出当时和当时的函数值即可求解． 【详解】（1）设，把点，，代入，得 ， 解得， ∴； （2）∵， ∴该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 ； （3）∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵当时，， 当时，， ∴最大值为，最小值为． 【题型九】利用二次函数解决实际问题 【例9】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为轴，建立平面直角坐标系，如图，已知抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该农户准备沿、、安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米．已知点、在抛物线上，点、在轴上，四边形是矩形，求钢架的高度．（接口处的材料损耗忽略不计） 【答案】(1) (2)钢架的高度为3米 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解决本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，根据顶点为，则抛物线的解析式为，再将代入求解即可； （2）设点的横坐标为，根据矩形的性质和二次函数的性质得出的长度为（米），的长度为（米），再结合钢架总长度为8米进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，抛物线与x轴的一个交点为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得解析式， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为， ∵四边形是矩形，且抛物线对称轴为， ∴点的横坐标为（关于对称轴对称）， ∴的长度为（米）， 的长度为A的纵坐标，即（米）， ∵钢架总长度为8米， ∴， ∴ ， 解得或． 若，则，不符合“矩形”的实际意义，舍去； 若，代入得：（米）， ∴钢架的高度为3米． 【变式9-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m． (1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． (2)计算水柱喷射的最大高度． (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 【答案】(1) (2)水柱喷射的最大高度为22m (3)喷口高度的可调节范围为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与不等式的结合，根据题意进行平面直角坐标系的建模是解题关键． （1）根据题意可得抛物线的三个点为，，，采用待定系数法即可求出解析式． （2）将抛物线解析式化为顶点式求出最值即可． （3）设喷口高度为h，重新建立抛物线解析式，利用抛物线分别经过，，建立不等式求解． 【详解】（1）解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， ∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． （2）解：． ，∴当时，取最大值22， ∴水柱喷射的最大高度为22m． 答：水柱喷射的最大高度为22m． （3）解：设平移后的抛物线的函数解析式为． 将代入，得，解得， 将代入，得，解得， ，即． 答：喷口高度的可调节范围为． 【变式9-2】（25-26九年级上·广西梧州·期中）根据以下素材，解决生活问题： 【素材背景】 素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元； 素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数的关系． 【问题解决】 问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为元，求与之间的函数表达式； 问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】问题1：； 问题2：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 问题3： 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键． 任务1：根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式； 任务2：利用二次函数，，求最大值即可； 任务3：求出时的自变量的值，进而确定取值范围即可． 【详解】解：任务1：根据题意得 W与之间的函数表达式是； 任务2：根据题意得， 解得 ，对称轴为直线，且 当时，取得最大值， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 任务3：在中， 当时，， 解得，． ，且，抛物线开口向下， 当时，， 答：若公司想获得不低于1000元的日利润，售价范围为． 【题型十】二次函数与几何图形的综合问题 【例10】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴交x轴于E，点D为抛物线顶点． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，且．求点P的坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，是否存在以点B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为或 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标； （3）若是等腰三角形，通过作图画“两圆一线”来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时， ， 解得， ∵点A、B（点A在点B的左侧）， ∴点A为，点B为， 当时， ， ∴点C为， 故答案为：，，； （2）解：∵， 顶点， ， ，， 设直线解析式为：， 将点，点代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 如图，记直线与对称轴的交点为， ∴将代入， 点， ， ， ， 设中边上的高为，则 ， ， 如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 点在过点与直线平行的直线上， 即将直线向下平移8个单位长度即可得到直线， 直线的解析式为：， 联立， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：点与点关于对称轴对称，点，点， ， ①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形， 由图知：当点位于点上方时，B、C、M三点共线， ∴此点舍去； 当点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为； ②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 在中，，， ， 此时点的坐标为或； ③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 连接， 为线段的垂直平分线， ，点为中点， ， 由中点坐标公式得点， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得， 点， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式， 得， 解得， 直线解析式为：， 将代入直线解析式得：， 此时点． 综上所述：点的坐标为或或或． 【变式10-1】（2025·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【变式10-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线BC：交y轴于点C．点D为直线下方抛物线上一动点，且不与A、B重合．过点D作x轴的垂线，垂足为G，直线分别交直线，于E，F两点． (1)求抛物线的表达式： (2)求的值； (3)若，第一象限有一动点P，满足，求周长的最小值； (4)抛物线上有一个动点N，记的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入点坐标，用待定系数法求解即可； （2）设出点D的坐标，用参数表示出和，再相比即可； （3）通过条件，将求的周长的最小值转化为求的最小值，再验证最小值时是否满足条件即可； （4）根据条件判断出符合条件的点N的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得 ∴． （2）解：设直线：， 将点，代入，得 解得 ∴， 设，则，，， ∴，， ∴． （3）解：∵的周长为， 又， ∴的周长为， ∵，为定值， ∴当取得最小值时，的周长取得最小值， 将代入，得， ∴， ∵点P在第一象限， ∴当点P在线段上时，取得最小值，最小值为， 验证点P是否可以在线段上： 假设点P在线段上，设， 则，， ∴， 解得， ∴在第一象限上，点P在线段上，且满足， ∴的最小值为． （4）解：设点N到直线的距离为q， 则， 如图，由题意，可知与直线的距离为q的两条直线，与抛物线有且只有3个交点， 由图，可知，其中一条过点N且与直线平行的直线，与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 令，整理，得， ∵有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点N符合条件的位置之一在直线上， 设直线与x轴交于点M，则， 由平行线间距离处处相等，可知， ， ∴， ∴． 【变式10-3】（2025·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，； (2)①点的坐标为；②； (3)． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点式，将、两点代入，展开后对比系数得出、与的关系． （2）①通过对称性得到角相等，推出直线的表达式，结合对称轴求出点横坐标，代入表达式得坐标；②根据菱形与正方形的关系，结合抛物线方程、根与系数关系及正方形条件列方程求解． （3）先确定抛物线表达式，求出长度，取中点构造平行四边形，利用平行四边形面积关系，结合点坐标求出相关三角形面积，进而得到四边形面积． 【详解】（1）解：抛物线过，， 该抛物线的函数表达式为， 即， ，； （2）解：①如图1，连接交轴于点． 由对称性知， ， ， 直线的函数表达式为， ，， 点的横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； ②如图2，由轴对称性可知四边形为菱形． 当时，菱形为正方形， 设点的坐标为，点的坐标为， 在中，令， 得， 则，是该一元二次方程的两个根， ，， 故， 当时，， ， ， 化简，得， ， 解得（，舍去）， 故； （3）解：， 抛物线为， 则点的坐标为， ， 如图3，取的中点，连接，， ， ，， 四边形、四边形均为平行四边形， ， ， 过点作轴的垂线，过点作轴的平行线，两直线交于点， 设点，则点， 将点代入二次函数的表达式，得 ， 解得， ，， 的中点为， 连接，则， ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了将一般式化成顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据函数值y的最大值为列方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，函数值y的最大值， ∵函数值y的最大值为， ∴，解得：． 故选B． 4．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·天津·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质．根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握变换规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 三、解答题 9．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解： 将代入得， ． 10．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）列表如下： … … … … 函数图像如下所示： （2）由函数图像可知，当时，． 11．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 【答案】(1) (2)；面积为 (3) 【分析】1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点P的位置，再确定出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴； （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)，线段周长问题(二次函数综合)，解题关键是用待定系数法求二次函数的解析式． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数表达式及二次函数图象与性质． （1）用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）①先求出，则，即可得出结论；②先求，作轴，取中点N，连接，则是的中位线，进而求出F点的坐标为，代入直线解析式求出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，． ∴C点坐标为， 将，代入抛物线解析式，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图1，点D的横坐标为n，则D点坐标为，点B坐标为，    ∴设，代入B，D两点坐标, ， 解得：， ， ∴， ∴， 即； ②∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴令，解得或， ∴A点坐标为， ∵， 设直线的解析式为， 把点代入解析式，得， ∵， ∴设直线的解析式为， 把A点坐标代入上式，得：， ∴， ∴， ∵， ∴点F是的中点， 作轴，取中点N，连接， ∴是的中位线，如图2所示，    设D点坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴F点的坐标为， ∵点F在直线上， ∴将点F坐标代入中， 得：， 解得（舍去）或， ∴点D的坐标为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，由抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果； ③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②令，可得， ， 令，即， 解得， 该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确； ③该二次函数的图象与轴交于，两点， ， ， 或， 设抛物线与轴的交点是，， ， ， ， 或， 或时，，故③不正确． 故选：B． 二、填空题 6．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解含有的直角三角形，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的点B的坐标是解决本题的关键． 设点，根据，可得，再根据勾股定理与含有的直角三角形求解出a与b的关系，由此可得与的长度，再由菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接交于点D，如图， 设点，即，， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，即点， ∵点B在二次函数上， ∴，解得，（舍）， 即，， ∴，， ∴菱形的面积为． 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：(①；②；③；④，正确的结论有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，根据图象开口方向，与轴交点及对称轴可判断①；由时，函数有最大值可判断②；由图象与轴的另一个交点在与之间，由此判断③；由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断④，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下 ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，即最大值为， ∴当时，， 即，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，图象与轴的一个交点在与之间， ∴图象与轴另一个交点在与之间， ∴当时， 即，故③正确； 由图象知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故④错误． 综上，正确的结论有2个． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 10．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，   拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， . 12．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同可得，再解方程即可； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出一元二次方程，解方程经检验后可得答案； ②设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可 【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； ②设每件服装应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵，且降价金额不超过30元且不少于5元， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元． 13．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 14．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 15．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，抛物线：过点，顶点为Q．抛物线：（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． 【答案】(1)， (2)选择嘉嘉（或淇淇），理由见详解 (3)①直线的解析式为；②直线与轴交点的横坐标为或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，设与轴交点横坐标为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点，顶点为， ， 解得， ∴抛物线为， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ， 当时，， ∴过定点， ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时，， ∴顶点， 而， 设为， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵， 到轴的距离为6， 与交点的纵坐标为， 当时（等于6两直线重合不符合题意）， ， ， ∵直线的解析式为， 当时，， 解得， 时，解得， 设与轴交点横坐标为， 则， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为； ， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为． 综上，直线与轴交点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 16．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章二次函数（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解二次函数的概念（形如y=ax2+bx+c(a≠0）)，体会二次函数各知识点之间的整体联系。 2.能用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）表示函数。 3.理解二次函数的图象及性质，能分析其对称轴、顶点、增减性的特征。 4.能用“上加下减，左加右减”的规律进行二次函数图象的平移。 5.理解二次函数与一元二次方程的关系，明确方程的解对应抛物线与x轴交点的横坐标。 6.能用二次函数的性质解决实际问题：列出解析式后，在自变量取值范围内求其最大值或最小值。 知识图谱梳理因基础 形如y-ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的函数 二次函数的概念 一般式 顶点式 二次函数解析式的三种形式 交点式 对称轴 顶点 二次函数的图象及性质 二次函数 增减性 上加下减，左加右减 二次函数的平移 ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c（ ā≠0)的图像与x轴交点的横坐标 二次函数与一元二次方程的关系 列出二次函数的解析式 用二次函数的性质解决实际问题 在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出 二次函数的最大值或最小值 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析•夯重点 【清单01】二次函数的概念 般地，形如y=ac2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ar2+br+c(a,b,c为常数，a≠0) (2)顶点式：ya(x-h)+k(a,h,k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h,k). (3)交点式：y=a(x-x)(x-x),其中x,x是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0. 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 对称轴 x-2a b 顶点 4ac-b2 (-2a' 4a a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 6 4ac-b2 6 时，y最小值 当x= 4ac-b2 最值 2a 4a 2a 时，y最大值= 4a 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 6 b 当x(二2a时，y随x的增大而减小 当二2a时，y随x的增大而增 增减性 b 当x7二2a 时，y随x的增大而增大 6 大；当x)二 时，y随x的增大而 2a 减小 【清单04】]二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下诚，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后 的解析式：二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式. y=ax2 向上(o0)【或下k<O)】平移个单位 -y=ax2+k 向右h>0) 【或左(h<0】 平移h个单位 向右>0【或左h<0】平移个单位 向上0)【或下<0】平移个单位 向右(h>0) 【或左(h<0)】 平移h1个单位 o-向上o0【或下0】平移个单位-a- 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当=0时，就变成了一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0). 2)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 3)(1)b-4ac>0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点： (2)b-4ac=Q-方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点： (3)b2-4ac<0=方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点. 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、 最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐 标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于 利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 考点题型突破·拓思维 【题型一】二次函数的定义 【例1】(25-26九年级上·广西梧州期中)下列函数中，是二次函数的是() A.y=8x2+2x B.y=x 1 C.y=3x-5 D.y=ax2+bx+c 【变式1-1】(25-26九年级上河南商丘·期中)下列函数中，是二次函数的是() 2 A.y=2x+1B.y=2x(x-1 C.y= D.y=(x+2)2-x2 【变式1-2】(2025·上海普陀一模)下列函数中，'关于x的二次函数的是() B.y=2x C.y=ax+bx+c D.y=(x+2)2 【题型二】把y=ax2+bx+c化成顶点式 【例2】(25-26九年级上吉林长春期中)将二次函数y=-8x+3化成"=a(x-°+k的形式为《) A.y=(x-42+3 B.y=(x-4)2-13 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.y=(x+42-13 D.y=(x-82+3 【变式2.】(2025九年级上江苏连云潘专题练习)用配方法将函数y--2x+1写成y=aK++ 的形式是 【变式2-2】(25-26九年级上新疆阶段练习)用配方法把二次函数y=-3r+6x+5化成”=ax-°+k 的形式一· 【题型三】二次函数的图象和性质 【例3】(25-26九年级上重庆长寿期中)关于抛物线”=-2r-8x+1, 下列说法正确的是() (-2,1) A.开口向上 B.顶点坐标是 C.对称轴是直线x=-4 D.x>-1时，y随x增大而减小 【变式3-1】(25-26九年级上甘肃定西期中)二次函数”=+2x+ 的图象，在对称轴右侧的部分是( A.y随着x的增大而增大 B.y随着x的增大而减小 C.y随着x的增大先增大后减小 D.y随着x的增大先减小后增大 【变式3-2】(25-26九年领上甘肃调泉月考)已知：二次函数'=-4-0，下列说法正确的是() A.当x<1时，y随x的增大而减小 B.若图象与x轴有交点，则a≤4 C.当a=3时，不等式-4r+a>0 11<x<3 的解集是 D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点 则3 1,-2) 【题型四】利用二次函数的图象和性质求解 【例4】(25-26九年级上广东广州期中)已知二次函数”=2r-4x+ 的图象，当0<x<3时，'有最小 值为一。 4/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】(25-26九年级上浙江绍兴期中)）已知二次函数'=+4a+a+1(“为常数，且a<0)的 图象经过P(,州，3，当<时，则×的取值范围为_ 【变式4-2】(25-26九年级上山东日照期中)已知抛物线'=mr-4mx+m (m为常数，且m≠0)，当 x>5时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最大值为10，则m的值是一· 【变式43】(24-25八年级下浙江宁波期中)已知二次函数”=-r-2x+366是常数)，当自变量 1≤x≤5时，函数有最大值为10，则b= 【题型五】二次函数与一元二次方程的交点问题 【例5】(24-25九年级上江西赣州期中)已知二次函数'=-4r-5, ,则该二次函数图象与轴交点坐 标为一· 【变式5-1】(24-25九年级上·甘肃庆阳·期中)已知抛物 y=ar2-4ar+2(a≠0与x轴的一个交点坐标 为3,0 , 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为一· 【变式5-2】(2425九年级上湖南湘西期中)若二次函数”=r-4r+m 的图像与x轴有两个交点，则m 的取值范围是 【题型六】画二次函数y=ax2+bx+c的图象 【例6】(25-26九年级上北京西城期中)已知二次函数’=-4r+3 4 3 2 1 -4-3-2-10 2345 1 =4 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()将函数解析式化为'=a-'+k 的形式； xOy (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象： 6)当八0 y>0时，”的取值范围是 (4)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出'的取值范围为 【变式6-1】(25-26九年级上河南周口期中)在二次函数'=r+br+ 中，与'的几组对应值如下表 所示： x -4 -3 -2 -1 0 1 y 5 0 -3 -4 -3 0 名 6 4 3 65-43210 123456 -3 、 (1)表中m= (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像： 6当≤x≤+1时，0sy55,则 = 【变式6-2】(25-26九年级上青海西宁期中)已知抛物线”=-2r+4r+6 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 9 3 -2 1 -5-4-3.-2191.2.345x 3 （)请用配方法将y=-2x+4+6化为=a(x-+人的形式，并直接写出对称轴： y=-2x2+4x+6 (2)在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出 的图象： (3)根据图象，回答下列问题： ①当x取何值时，y随x的增大而增大？ ②当1<x<4时，直接写出y的取值范围. -1 0 1 2 3 … 0 6 P 6 0 【题型七】二次函数的平移 【例7】(24-25九年级上山东济宁期中)将抛物线”=r-6x+5 向上平移5个单位长度，再向右平移 1个单位长度后，得到的抛物线解析式是一· 【变式7】(24-25九年级上湖南长沙期中)抛物线”=-2r+5可由抛物线=2 向（填上或下） 平移一个单位长度得到. 【变式7-2】(2425九年级上山西大同期中)将抛物线”=-2r 先向右平移2个单位长度，再向上平移1 个单位长度，则平移后抛物线的解析式为一. 【题型八】待定系数法求二次函数的表达式 【例8】(25-26九年级上浙江杭州期中)已知二次函数y=-+x+C经过点43,0)与B-1.6 7/21 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求b,c的值， (2)求该二次函数图象的顶点坐标， (3)若0<x<3,求函数值y的取值范围. 【变式8-1】(2025九年级上·江苏连云港·专题练习)根据题目中的条件，求二次函数的表达式. )已知二次函数”=a+x+1的图像经过点山3和3，-5，求二次函数表达式. 2已知抛物线的顶点坐标是6，且经过点4-2)，求抛物线的函数表达式 【变式8-2】(25-26九年级上陕西西安期中)已知二次函数的图象经过点4(-，-6)，B2,3引 C(0,-3 (I)求该二次函数的表达式： (2)将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达 式 (3)直接写出当-2≤x≤3时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值. 【题型九】利用二次函数解决实际问题 【例9】(25-26九年级上·陕西渭南·期中)某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，大棚的截面为某抛物 线的一部分，以大棚截面与地面的一个交点为坐标原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系，如图，己知 抛物线的顶点P(2,4) y(米) R x(米)》 (1)求抛物线的函数解析式： (2)该农户准备沿AB、AC、BD安装一个钢架对大棚进行加固，使用的钢架总长度为8米.已知点A、B 在抛物线上，点C、D在x轴上，四边形ABDC是矩形，求钢架的高度AC.(接口处的材料损耗忽略不 计) 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式9-1】(25-26九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点A 处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线.以喷泉池底的最低点O为坐标原点，水平方向为x轴，OA所在 的直线为'轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度OA为2m.经测量，当水柱的水平喷射距离为 4m时，高度为14.8m;当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m. y/m /m ()求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式： (2)计算水柱喷射的最大高度， (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m,外径21m),为确保水柱落点能精准喷 入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度OA的可调节范围 【变式9-2】(25-26九年级上·广西梧州·期中)根据以下素材，解决生活问题： 【素材背景】 素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元： 素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数 =-2x+240 的关系 【问题解决】 问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为W元，求W与x之间的函数表达式： 问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最 大，最大利润是多少元？ 问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价x的取值范围. 【题型十】二次函数与几何图形的综合问题 【例10】(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，抛物线y= 。2-2x+6交x轴于点4、B(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,且对称轴交x轴于E,点D为抛物线顶点. 9121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 备用图 (1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为； 2点P是直线AC下方的抛物线上一点，且Sc=2Sc.求点P的坐标 (3)点M为抛物线对称轴上一点，是否存在以点B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接 写出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 【变式101】(2025江苏连云港一模)如图，抛物线'=-+r+C与产轴交于4、8两点（点4在点B 的左侧)，点A的坐标为-0，与'轴交于点C0,3引，作直线BC,动点P在x轴上运动，过点P作 PM⊥x轴，交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式： (2)求直线BC的解析式： (3)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值： (4)当点P在线段OB上运动时，若△CMW是以MN为腰的等腰直角三角形时，直接写出m的值； (⑤)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值， 【变式10-2】(25-26九年级上湖北黄冈期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=)x2+bx+c与坐 2 标轴交于0，-2，B4,0两点，直线BC.y=-2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动 10/21