专项突破05 轴对称中的最短路径问题（期末复习-知识回顾+期末真题百分练 共26题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练

该初中数学讲义以轴对称中的最短路径问题为核心，通过四个知识点梳理系统构建知识体系，涵盖两点之间线段最短、轴对称解决距离和最小、选址问题及距离差最大问题，结合问题情境、图形分析和方法总结呈现知识脉络，突出轴对称转化的核心方法与内在逻辑。 讲义亮点在于“知识回顾+真题演练”的分层设计，26道期末真题覆盖选择、填空、解答题，如知识点梳理02中“直线上找一点使距离和最小”的问题，通过作对称点转化线段和，培养推理意识与几何直观。方法总结帮助基础学生掌握技巧，综合解答题供优秀学生拓展，为教师提供精准教学素材，助力学生自主复习与能力提升。

专项突破05 轴对称中的最短路径问题 （知识回顾+期末真题百分练 共26题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：两点的所有连线中，线段最短 1 知识点梳理02：运用轴对称解决距离最短问题 2 知识点梳理03：最短路径选址问题 2 知识点梳理04：运用轴对称解决距离之差最大问题 2 期末真题 实战演练 3 知识点梳理01：两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 思路引导：利用两点之间线段最短得出答案． 解题过程：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 知识点梳理02：运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 思路引导：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解题过程：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 知识点梳理03：最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 思路引导：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解题过程：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； 　　 (2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 知识点梳理04：运用轴对称解决距离之差最大问题 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大． 思路引导：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决． 解题过程：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB. 方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（24-25八年级上·天津南开·期末）直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【规范解答】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【思路引导】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质求解． 【规范解答】解：作N关于l的对称点E，连接，交l于点C， ∴的垂直平分线为l， ∴， ∴， 即P与C重合， 故选：C． 3．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【思路引导】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【规范解答】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 4．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【规范解答】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、角直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，由直角三角形的性质求得，由，得到，即可得到答案． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ，， 作点关于直线的对称点，过作于，交于， 则此时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴ 故选：B 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【规范解答】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【思路引导】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【规范解答】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 【答案】C 【思路引导】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可． 【规范解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小， ∵AC=BC， ∴CH=AC， ∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°， ∴∠ACH=∠CAE=40°， ∴△CFH≌△AEC， ∴FH=CE， ∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°． 故选：C． 【考点剖析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】8 【思路引导】根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ∴，最小， 此时点与点重合． 所以的最小值即为的长，为8． 所以的最小值为8． 故答案为：8． 【考点剖析】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质． 12．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    【答案】 【思路引导】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【规范解答】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 13．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 【答案】50 【思路引导】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 【规范解答】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示． 根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， 故答案为：50． 14．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【思路引导】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 16．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【规范解答】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【规范解答】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 18．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】15° 【思路引导】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根据三角形的外角性质即可求解． 【规范解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1， ∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点， ∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE， ∴CE为线段BD的垂直平分线， ∴PD=BP， ∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD， ∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值， 连接BP1，则BP1=DP1， ∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC， ∴∠CBP1=∠CDP1， ∵AC=BC=CD， ∴∠CDP1=∠CAD，即 延长AC至Q， ∵∠ACB=90°，∠BCD=60°， ∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1， ∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°， ∴当的值最小时，=15°， 故答案为：15°． 【考点剖析】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的坐标分别是．    (1)如图1，画出关于轴对称的图形； (2)如图2，在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)点的坐标为 【思路引导】（1）根据图形关于轴对称的作法即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点的位置，根据图形与坐标即可求解． 【规范解答】（1）解：关于轴对称的图形，如图所示，    ∴即为所求图形． （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，      ∴， ∴点的坐标为． 【考点剖析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，对称—最短路径的知识，掌握图像关于轴对称的作法，最短路径的计算方法是解题的关键． 20．（本题6分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在（1）的条件下，点为边上一点，请直接写出点的对称点的坐标为______（用含，的式子表示）； (3)在轴上找一点，使得周长最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：在（1）的条件下，点为边上一点， 点的对称点的坐标为； （3）解：如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接 此时的周长为，此时为最小值， 则点即为所求． 21．（本题8分）（24-25八年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，请根据图形解答下列问题． (1)写出A，B，C三点的坐标； (2)请作出关于y轴对称的； (3)在x轴上找一点P，使得．最小． 【答案】(1)点，点，点． (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）由图可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）取点B关于x轴的对称点，连接'交x轴于点P，则点P即为所求． 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【规范解答】（1）由图可得，点，点，点． （2）如图，即为所求 （3）如图，取点B关于x轴的对称点，连接'交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 22．（本题8分）（21-22八年级上·广东广州·期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P． (1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝PC； (3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数． 【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)45° 【思路引导】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论； （2）在线段DA上取一点H，使得DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=EC，可得结论； （3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论． 【规范解答】（1）解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下： ∵AB=AC，∠A=45°， ∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°， ∵∠ABE＝∠ABC， ∴∠ABE = 22.5°， ∴∠CBE=45°， ∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°， ∴∠BEC=∠ACB， ∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC = ∠CDB = 90°， ∴∠ACD = 90°–∠A = 45° ∴∠A=∠ACD=45°， ∴DA= DC， ∴△ADC是等腰三角形， ∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°， ∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°， ∴CP=CE， ∴△CPE是等腰三角形， 综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE； （2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH， ∵DH=DB，CD⊥AB， ∴BC=CH， ∴∠BHC=∠ABC=67.5°， ∵∠BEC=∠ACB=67.5°， ∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB， ∵BC=CB， ∴△BCH≌△CBE， ∴BH=CE， ∵CE=CP， ∴BH=CP， ∴ ； （3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小， ∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB， ∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°， ∵DM⊥CB， ∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°， ∵DA=DC，DF⊥AC， ∴∠CDF=∠CDA=45°， ∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°， ∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°， ∵GD=GM，HF=HD， ∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF， ∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F， ∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°， ∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 23．（本题8分）（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，则的度数是___________度； (2)若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解； （2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ． （2）①， 的周长是， 即 ， ， ， ． ∴的长度为． ②当P与M重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长， ∴的周长最小值． 【考点剖析】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 24．（本题8分）（24-25八年级上·陕西商洛·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于x轴对称的并求出它的面积； (2)若点与点B关于某条直线成轴对称，请画出这条直线并写出C点关于这条直线的对称点的坐标； (3)请在y轴上确定一点P，使的周长最小．（不写做法，保留痕迹） 【答案】(1)见解析；2.5 (2)这条直线是y轴，的坐标 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可；利用割补法即可求出的面积； （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线， 即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． （3）解：如图，点即为所求． 25．（本题10分）（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点关于的对称点，连接，即可求解； （2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：作出点如图所示： （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 26．（本题10分）（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或或或 (3)3 【思路引导】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，最短路径问题． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案； （3）最短路径问题，作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小，即可求得结果． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或； （3）解：如图2， ， 作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小， 延长交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破05 轴对称中的最短路径问题 （知识回顾+期末真题百分练 共26题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：两点的所有连线中，线段最短 1 知识点梳理02：运用轴对称解决距离最短问题 2 知识点梳理03：最短路径选址问题 2 知识点梳理04：运用轴对称解决距离之差最大问题 2 期末真题 实战演练 3 知识点梳理01：两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 思路引导：利用两点之间线段最短得出答案． 解题过程：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 知识点梳理02：运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 思路引导：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解题过程：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 知识点梳理03：最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 思路引导：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解题过程：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； 　　 (2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 知识点梳理04：运用轴对称解决距离之差最大问题 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大． 思路引导：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决． 解题过程：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB. 方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（24-25八年级上·天津南开·期末）直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 3．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 4．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 5．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 9．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值是 ． 12．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    13．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 14．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 16．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 18．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的坐标分别是．    (1)如图1，画出关于轴对称的图形； (2)如图2，在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 20．（本题6分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在（1）的条件下，点为边上一点，请直接写出点的对称点的坐标为______（用含，的式子表示）； (3)在轴上找一点，使得周长最小（不写作法，保留作图痕迹）． 21．（本题8分）（24-25八年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，请根据图形解答下列问题． (1)写出A，B，C三点的坐标； (2)请作出关于y轴对称的； (3)在x轴上找一点P，使得．最小． 22．（本题8分）（21-22八年级上·广东广州·期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P． (1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝PC； (3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数． 23．（本题8分）（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，则的度数是___________度； (2)若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 24．（本题8分）（24-25八年级上·陕西商洛·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于x轴对称的并求出它的面积； (2)若点与点B关于某条直线成轴对称，请画出这条直线并写出C点关于这条直线的对称点的坐标； (3)请在y轴上确定一点P，使的周长最小．（不写做法，保留痕迹） 25．（本题10分）（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 26．（本题10分）（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $