综合实践活动--最短路径 教学设计 2025-2026学年 人教版 八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦最短路径问题，通过轴对称解决“将军饮马”“造桥选址”等模型。课堂导入回顾两点间线段最短、垂线段最短，搭建旧知支架，引导学生从异侧两点到同侧转化，逐步抽象数学模型。 此教案融合课程思政，对比最短路径与低碳路径渗透可持续发展理念，培养转化思想与几何直观。如将军饮马问题转化同侧为异侧，造桥选址平移转化，落实模型意识，提升学生问题解决能力，助力教师高效教学。

乌鲁木齐市第八十七中学电子教案模版 课题名称 综合实践活动--最短路径 课 型 新授课 设计者 课 时 2课时 素养目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 3.经历实际问题抽象为数学中线段和的最小值问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活 4.能将实际问题抽象为“两点一线”“两线两点”等几何模型，运用转化方法解决问题 教学重点 应用所学知识解决最短路径问题. 教学难点 选择合理的方法解决问题. 课程思政 对比“最短距离路径”和“最低碳排放路径”。提问：我们追求的“最优解”应该是什么？引导学生思考“绿水青山就是金山银山”的理念，理解“最短”应是综合经济、社会、环境效益的可持续发展之路。 教学过程 教学环节 主要师生活动 二次备课 情景引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？ 能用学过的数学知识解释这个问题吗？ 探究新知 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 当点C在l的什么位置时，AC与BC的和最小. （1）现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 思考： 1.通过怎样的操作可以把同侧两点转化为异侧两点来解决呢？ 2.CB 与CB′的长度相等吗？ 学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充 追问：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 师生共同分析然后学生说明证明过程 巩固练习 如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 探究新知 1.如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 2.如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? 3.牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，生活区然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短? 4.举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决。 学生在练习本上独立画出图形，写出已知、求证.模仿教师步骤完成证明，重点标注“轴对称性质”“线段公理”等依据.小组讨论：“如果作点B的对称点，能否得到同样的结论?”(能，方法类似) 探究3 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？ 如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. 你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？ 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法 课堂小结 通过本节课的学习，有什么收获？ 通过本节课的学习，有什么疑问？ 课堂检测 1.如图，∠AOB内有两点P，Q，在OA，OB上分别找点M，N，使四边形PQMN的周长最短． 2.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为l，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形▲ABC的顶点A，C的坐标分别为(-4,5),(-1,3) (1)请作出▲ABC关于Y轴对称的 (2)在Y轴上找一点P，使PA+PC最小； (3)在X轴上找一点Q，使QA-QB最大． 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．尺规作图，保留作图痕迹 (1)若要使水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪儿建厂？ 若要使水厂到，村所用的水管最短，应建在什么地方？ 板书设计 综合实践活动--最短路径问题 一、将军饮马问题 二、造桥选址问题 作业设计 基础类作业：1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（　　） A．3 B． C．4.5 D．6 2.如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4 ， QD=3 ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 拓展类作业： 3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上. (1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； (2) △ABC 的面积是______； (3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短. 教学反思： 学科网（北京）股份有限公司 $