专题03 圆锥曲线（期末真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题03 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点01 椭圆的图像与性质 考点02 直线与椭圆的位置关系 考点03 双曲线的图像与性质 考点04直线与双曲线的位置关系 考点05抛物线的图像与性质 考点06直线与抛物线的位置关系 ( 地 城 考点01 椭圆的图像与性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质分析选项即可. 【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率， 焦距长， 而的长轴长、短轴长分别为， 离心率，焦距长， 由，显然只有焦距相同. 故选：D 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得. 【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c， 由及，得， 显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号， 因此，即，又，则， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值是1 D．存在点P，使得为钝角 【答案】BCD 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点，验证为钝角. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 因为点在曲线C上，而点不在曲线C上，所以曲线C不关于x轴对称，故A错误； 若，则，所以这样的点P存在，故B正确； ，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C正确； 取曲线C上点，此时， 在曲线C上再寻找一个特殊点，， 则，即， 两边平方并整理得，解得， 即或. 因为，则取点， 此时，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是判断曲线C的方程表示的几何图形，根据已知条件并数形结合P点的位置，再通过找特殊点得出即或，并取点，从而解决问题. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，列出等式求解即可. 【详解】 由椭圆定义得，又因为， 所以，， 又，，结合勾股定理得， 解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据题设条件易得线段为的两条中位线，再利用椭圆的定义求出值即得. 【详解】    如图，因点 ,分别为 ,的中点,故，得， 则的焦距为． 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案. 【详解】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，． (1)求的方程； (2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，由 点在上可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程可得点坐标，进而可得，进而可得，结合，可得，进而可得，即，进而可得. 【详解】（1）由题意可知，故，则两焦点的坐标为，． 由椭圆的定义得，故， 故，故C的方程为． （2） 证明：由（1）得．设，， 直线的方程为， 联立方程组，得， 易知恒成立，由韦达定理得，故， 代入直线得，又是的中点，故， 故直线的方程为，又直线与直线交于点，故， 故，又因，故，故， 故直线的方程为， 因直线与直线交于点，故， 故，又，故， 故．设直线交直线于点，直线交于点, 故无论为何值，均有. 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明，考虑到，只需证明即可，即证.根据题意设直线的方程为，进而根据题中条件求得点坐标即可. ( 地 城 考点0 2 直线与椭圆的位置关系 ) 一、单选题内蒙古赤峰·期末 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设两点的坐标分别为，得到，结合椭圆的离心率为，求得，列出方程，即可求解. 【详解】由直线与该椭圆交于两点，不妨设两点的坐标分别为， 因为在椭圆上，可得， 又因为椭圆的离心率为，可得，所以， 所以，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论. 【详解】解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，化为， ，解得， 点P到直线x-2y+10=0的距离最小，故时，， 解得，， . 故选：C. 3．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直； B．若直线方程为，则. C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若点M坐标为，则直线方程为； 【答案】D 【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得： ，设，则. 对A：，故直线不垂直，则A错误； 对B：若直线方程为，联立椭圆方程， 可得：，解得，故， 则，故错误； 对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又， 解得，即，故错误； 对：若点M坐标为,则，则， 又过点，则直线的方程为，即，故正确. 故选：. 【点睛】本题考查椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，属中档题. 4．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．-2 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率. 【详解】设，，因为A，B都在椭圆上， 所以，两式相减，得， 得， 又因为线段AB中点坐标为，，， 所以， 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【分析】将点和点代入椭圆方程组成方程组，利用和点在直线上消去多余未知数，化简得到用表示的关系式，因为表示过定点斜率为的直线，所以直线不与轴重合，因为点在椭圆上，根据椭圆性质得到，从而解得范围选出答案. 【详解】由，得．因为点，在椭圆上，所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．    故选：CD 【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到关于的表达式，根据的范围求出的范围. 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解，再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论. 【详解】椭圆：，则，所以， 又，所以点再椭圆上， 连接，    则，故A不正确； 由椭圆的定义可得， 又的内切圆圆心为，所以内切圆半径， 由于， 所以， 故，故C正确； 又， 所以， 则，所以，故D正确； 又，所以， 又，所以，即，故B正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成的图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】因为实数满足， 当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分； 当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分； 当时，方程为的图象不存在； 当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分； 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 则表示点到直线的距离的倍， 根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为， 令，即，与双曲线渐近线平行，观察图象可得， 当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大， 即当直线与椭圆相切时，最大， 联立方程组，得，， 解得，又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以， 又直线为双曲线的一条渐近线，故曲线上的点到直线的距离大于0， 所以，综上所述，，所以，即， 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点． (1)求实数a的取值范围； (2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程； (3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆及圆的性质可得，则，结合即可求得结果； （2）由题可知，又，求解即可； （3）设线段的中点为，由结合点差法求得的坐标，根据点P在椭圆内部得的范围，又点P在直线上，代入得的关系式，从而得实数的取值范围. 【详解】（1）椭圆C的短半轴，圆的圆心为原点，半径为， ∵椭圆C与圆有公共点，∴，，则， 又，从而解得， 所以a的取值范围为.    （2）由题可知，又， 联立解得，， 所以椭圆的方程为. （3）设线段的中点为, ∵，∴①， 设，，则，， 两式作差得，即， 即，即②， 联立①②解得，即， 因为点P在椭圆内部，则， 代入点P坐标化简得， 又点P在直线上，代入得， 因此，实数的取值范围是．    9．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 【答案】(1). (2). 【分析】由题可知，伞面的直径与长轴围成底角为的等腰三角形，根据余弦定理可求出椭圆的长轴，可得椭圆的标准方程. 求出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式；即可求解. 【详解】（1）根据题意，以椭圆的长轴所在直线为轴，以椭圆的短轴所在直线为轴建系.    伞面是以半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为. 伞面与地面所成夹角为；且伞面直径为. 又光线与地面所成夹角也为. 伞面与地面长轴围成底角为的等腰三角形； 由余弦定理可得：；解得：. .. 椭圆的标准方程为：. （2）由知：,得.所以右焦点坐标为. 设直线的方程为：；设. 联立，可得. ，. . 10．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，得到，再由求解； （2）当直线l与x轴垂直，容易判断；当直线l与x轴不垂直，设直线l的方程是，与椭圆C的方程联立，由，即结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为，所以椭圆C的左焦点的坐标是， 所以，解得， 所以椭圆C的方程为 （2）当直线l与x轴垂直， 则直线l与椭圆C的交点M，N的坐标分别是， 所以，符合题意； 此时直线的方程是； 若直线l与x轴不垂直，设直线的方程是， 由，消去y并整理，得， 设，则， ， 又，所以，即， 所以 ， 即， ， 显然满足， 所以直线l与x轴不垂直时，直线的方程是，即. 综上：直线的方程为或， ( 地 城 考点0 3 双曲线的图像与性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，再利用即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 因为渐近线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知点M为双曲线C：上任意一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形（O为原点）的面积为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先确定四边形为矩形，然后点，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案. 【详解】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出，利用三角形边角关系解出；从而依次对各选项内容进行计算和判断，选项A，B，根据双曲线性质，实轴长为，离心率；选项C:根据面积等于的面积减去的面积计算；选项D：根据三角形边角关系得出，且共线且方向相同，得出. 【详解】 已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，， 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则. 由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积， ， 所以，故C对. 中，，，为中点， 为中点，即， 又，， ，又共线且方向相同，，故D对. 故选：ACD. 6．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知双曲线的右焦点为，在线段上存在一点，使得到渐近线的距离为，则双曲线离心率的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BCD 【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离列出不等式，得到，逐项判断即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设，， ，整理得，因为，所以，即， 解得，即，因为，，，，所以BCD正确，A错误. 故选：BCD 三、填空题 7．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）不经过点的直线交双曲线于，两点，直线，的斜率互为相反数.求的倾斜角为 . 【答案】（或） 【分析】设，，，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据，求出，所以或，当时，直线过点，与题意不符，故，得到答案. 【详解】双曲线的左右顶点为， 易知直线的斜率存在，设，，， 联立可得，， 所以，， 且. 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点， 与题意不符，舍去，故， 故的倾斜角为（或）. 故答案为：（或） 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 8．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出与的关系即可. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为, 对于圆，有，圆心为，半径为，渐近线被圆截得的弦长为， 所以圆心到渐近线的距离为，由点到直线距离公式得：, 则由则. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. （2）设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. ( 地 城 考点0 4 直线与双曲线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】判断直线系过的定点，结合双曲线的渐近线的性质，讨论与渐近线平行、与左支相切两种情况求解即可． 【详解】直线恒过，双曲线渐近线为：，左顶点，， 直线与双曲线有且只有一个公共点， 有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切． 所以则的不同取值的个数为4个． 故选：． 2．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积． 【详解】解：由可知，，所以， 因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形， 设，，由双曲线的定义可得， 所以， 又因为，所以，所以， 所以四边形的面积． 故选：D． 3．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出． 【详解】设，，由，的面积为， 可得，∴① 由离心率为，可得，代入①式，可得. 故选：A. 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】不妨设，， 从而，， 由两式相减可得，， 又因为线段AB的中点为，从而，， 故，即直线AB的斜率为， 直线AB的方程为：，即， 将代入可得，， 从而，， 故. 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（    ） A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 【答案】ACD 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则， ，故， 可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 四、解答题 8．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线C的方程； (2)若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求； (3)若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：． 【答案】(1) (2)6 (3)证明见解析. 【分析】（1）由双曲线的离心率，焦点到一条渐近线的距离建立等量关系，求解即可. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出交点的纵坐标即可. （3）设出直线的方程，联立方程组，得到韦达定理，由，解得，证明即可. 【详解】（1）设双曲线的左焦点，由其离心率为2，得，即， 由点到双曲线的渐近线的距离为，得， 而，解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知，直线，则，解得， 所以. （3）由（1）知，由过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于， 知直线的斜率存在，设其方程为：，，而， 由得：，， ，，， ，，， 由，得，即，， 所以 . 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． ( 地 城 考点0 5 抛物线的图像与性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P到y轴的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为，设点， 由，得，解得，则，解得， 所以点P到y轴的距离为. 故选：D 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线的方程，再联立两个方程求出弦长. 【详解】由抛物线过点，得，抛物线的方程为， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由消去得，解得，， 所以. 故选：A 3．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的标准方程即可得到焦点坐标. 【详解】由得，，故抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 4．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点在上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．11 C．16 D．21 【答案】B 【分析】确定抛物线方程，设直线PM的方程为，联立抛物线方程，结合焦半径公式得到，即可求解； 【详解】因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以． 显然直线PM的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，由得得， 所以，解得，所以， 又由垂直关系可得：直线的方程为 同理可得， 所以， 所以的最小值是11，此时，解得． 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ACD 【分析】确定焦点和准线，设直线为，联立得到根与系数的关系，结合抛物线的定义逐项计算判断. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 易知直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确． 故选：ACD 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，（在第一象限）两点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线方程为 B．弦长为4 C． D．过点作准线的垂线，垂足为，则三点共线 【答案】ACD 【分析】由抛物线方程可得，由在直线上求，由此可得抛物线方程判断A，联立方程组结合根与系数关系判断C，结合焦点弦公式求判断B，利用向量方法判断D. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，故， 所以抛物线的方程为，A正确； 联立，消得， 方程的判别式， 因为直线与抛物线相交于，（在第一象限）两点， 故为方程的两根，且， 所以，，C正确； 所以，B错误； 因为抛物线的准线方程为， 所以的坐标为，点的坐标为， 所以，， 又， 所以，所以三点共线，D正确； 故选：ACD. 7．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）直线过抛物线C：（）的焦点F，且与C交于A，B两点，为C的准线，则（    ） A． B． C．（设） D．准线与以为直径的圆相切 【答案】ACD 【分析】由焦点在直线上，求出可判断A；把直线与抛物线的方程联立，结合韦达定理及抛物线的定义可判断B；由抛物线的定义求出可判断C；求出线段中点到准线的距离与比较可判断D． 【详解】抛物线C：（）的焦点为， 焦点在直线上， 则，解得，故A正确； 抛物线C的方程为，焦点，准线为， 由，消去并整理得， ，设， 则，， 则，故B错误； 由可知在第一象限，知，得， 由方程，解得， 因此，则，故C正确； 线段的中点的横坐标， 则线段中点到准线的距离为， 因此准线与以为直径的圆相切，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）当抛物线上一点到直线的距离最短时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，则点到直线的距离为，然后利用二次函数的知识可得答案. 【详解】设，则点到直线的距离为 所以当时，点到直线的距离最短，此时. 故答案为：. 9．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 【答案】 【分析】以抛物线顶点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程后结合题意计算即可得. 【详解】 以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系， 则，由，拱顶距水面8米，故， 设该抛物线方程为，有， 解得，即， 由，令，则，即， ，故不超过米时，才能使货船通过拱桥. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到； （2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系. 【详解】（1）直线的方程为， 联立得，显然， 设，则， 则； （2）当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得，显然， 设，则， 则， 故，所以，即. 11．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，与相交于两点，直线的斜率分别为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量关系可得，代入抛物线方程运算求解即可； （2）设点，根据题意结合斜率公式分析证明. 【详解】（1）设点，则，因为， 所以，即点， 代入方程中，得，所以的方程为. （2）因为均在抛物线上， 设点， 则直线的斜率， 直线的斜率， 直线的斜率， 直线的斜率， 可得， ， 所以.    ( 地 城 考点0 6 直线与抛物线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）过抛物线的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段中点的纵坐标为2，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程得，利用韦达定理求出值，再利用弦长公式即可. 【详解】由抛物线方程知焦点坐标为， 设直线的方程为，联立得， 设，，则，， 则，解得， 则， 故选：C. 2．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线：的焦点的坐标为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（   ） A． B． C．=+2 D． 【答案】C 【分析】过M作MP与准线垂直，垂足为P，分析得到取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程根据即得解. 【详解】解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切， 因为抛物线：的焦点的坐标为，所以. 设切线方程为y＝k（x+2），则，ky2﹣8y+16k＝0， Δ＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k=±1， 因为点在第一象限且在抛物线上，所以. 则直线方程y＝x+2. 故选：C 3．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点为抛物线的焦点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据焦半径公式得到点的坐标，进而求出直线的方程，与抛物线联立求得点的坐标，然后利用焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，设， 因为，所以，得，所以或， 当时，直线的斜率为，所以直线：， 联立，解得或，所以，所以； 当时，直线的斜率为，所以直线：， 联立，解得或，所以，所以； 综上，. 故选：C. 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、两点，且，若抛物线的准线与轴交于点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线，将直线与抛物线联立后消去可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合题意可计算出所设直线，再由点到直线的距离公式即可得. 【详解】由抛物线，故其焦点，准线与轴交点， 易知直线不为水平直线，故可设直线为，、， 由抛物线对称性，不妨设，且在上方， 联立，消去可得，， 故，， 由，即，即。 由，故，， 又，可得， 化简有，故， 由前设，故，即直线为，即， 则点到直线的距离. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】首先求出抛物线方程，再设直线联立抛物线方程得到韦达定理式，再计算将韦达定理式代入计算即可判断AB，同理化简，再根据的范围即可得到判断CD. 【详解】将代入，得．设， 直线的方程为，联立方程组，消去得． 由，得或，所以， 则． 因为，所以． 又因为，且或， 所以． 故选：BC. 三、填空题 6．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是 【答案】4 【分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得， 由抛物线的定义知：， 故答案为：4. 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于A，两点，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】求出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到． 【详解】解：抛物线的焦点，， 准线方程为，设，，，， 则直线的方程为， 代入可得， ，， 由抛物线的定义可知，，， ， 解得． 故答案为：2． 四、解答题 8．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 9．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交C于，两点，. （1）求抛物线C的方程； （2）O为坐标原点，D为C上一点，若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）设直线的方程，与抛物线联立，由于直线过焦点，故，代入即得解； （2）设，由，可得，代入抛物线方程即得解 【详解】（1）直线的方程可表示为， 与抛物线方程联立可得方程组， 消去y得，解得，. 由于直线过焦点，故， 得，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）知，. 设，由，得， 所以. 因为点D在C上，所以， 化简得，解得或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点01 椭圆的图像与性质 考点02 直线与椭圆的位置关系 考点03 双曲线的图像与性质 考点04直线与双曲线的位置关系 考点05抛物线的图像与性质 考点06直线与抛物线的位置关系 ( 地 城 考点01 椭圆的图像与性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．（24-25高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）曲线C是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值是1 D．存在点P，使得为钝角 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为 . 8．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为 ． 四、解答题 9．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，． (1)求的方程； (2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有． ( 地 城 考点0 2 直线与椭圆的位置关系 ) 一、单选题内蒙古赤峰·期末 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直； B．若直线方程为，则. C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若点M坐标为，则直线方程为； 4．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．-2 B． C．2 D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 四、解答题 8．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点． (1)求实数a的取值范围； (2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程； (3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围． 9．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 10．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程. ( 地 城 考点0 3 双曲线的图像与性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知点M为双曲线C：上任意一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形（O为原点）的面积为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 6．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知双曲线的右焦点为，在线段上存在一点，使得到渐近线的距离为，则双曲线离心率的值可以为（    ） A． B． C． D．3 三、填空题 7．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）不经过点的直线交双曲线于，两点，直线，的斜率互为相反数.求的倾斜角为 . 8．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. ( 地 城 考点0 4 直线与双曲线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（    ） A． B．3 C．4 D．6 3．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（    ） A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 四、解答题 8．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线C的方程； (2)若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求； (3)若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：． ( 地 城 考点0 5 抛物线的图像与性质 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P到y轴的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线过点，过且与．(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点在上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．11 C．16 D．21 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C． D．面积的最小值为16 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，（在第一象限）两点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线方程为 B．弦长为4 C． D．过点作准线的垂线，垂足为，则三点共线 7．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）直线过抛物线C：（）的焦点F，且与C交于A，B两点，为C的准线，则（    ） A． B． C．（设） D．准线与以为直径的圆相切 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）当抛物线上一点到直线的距离最短时，点的坐标为 . 9．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 四、解答题 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为，求； (2)求证：. 11．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，与相交于两点，直线的斜率分别为，证明：. ( 地 城 考点0 6 直线与抛物线的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期末）过抛物线的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段中点的纵坐标为2，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线：的焦点的坐标为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（   ） A． B． C．=+2 D． 3．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点为抛物线的焦点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、两点，且，若抛物线的准线与轴交于点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 6．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于A，两点，，则的值为 ． 四、解答题 8．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 9．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交C于，两点，. （1）求抛物线C的方程； （2）O为坐标原点，D为C上一点，若，求的值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $