专题02 直线与圆的方程（期末真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题02 直线与圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线方程 考点03 两条直线的交点坐标与距离公式 考点04圆的方程 考点05直线与圆、圆与圆的位置关系 ( 地 城 考点01 直线的倾斜角与斜率 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线：，：，若，则（    ） A．5 B．2 C．2或-5 D．5或-2 3．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线垂直，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）过点和点的直线倾斜角（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知直线，直线，若，则实数可能的取值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线：，直线：，若，则 . 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为 . ( 地 城 考点0 2 直线方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）下列说法正确的是（    ） A．表示过点的所有直线方程 B．直线与y轴交于一点，其中截距 C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 D．方程表示过任意两点，的直线 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 6．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则（    ） A．直线的斜率为 B．点的坐标为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的方程为 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 8．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）一条直线经过点并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常不能沿直线方向行走，而只能沿街走（拐直角弯）.因此我们引入直角坐标系，对给定的两点和，用以下方式定义距离： （注：下述问题中提到的“距离”都是指上述距离） (1)画出到定点距离等于1的点构成的图形，并描述图形的特征； (2)设和，画出到A、B两点距离之和为4的点构成的图形，并描述图形的特征. ( 地 城 考点0 3 两条直线的交点坐标与距离公式 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线，下列选项正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 6．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点到直线的距离的最大值为 . 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为 ． 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）在平面直角坐标系中，已知． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若点在直线上，且，求点到直线的距离． 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知直线过点，O为坐标原点． (1)若与OM垂直，求直线的方程； (2)若O到的距离为2，求直线的方程． ( 地 城 考点0 4 圆的方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与交于点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）以圆心，且过坐标原点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 6．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古·期末）求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程 . 8．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）求解下列问题： (1)求过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求以线段为直径的圆的方程. 10．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点，. （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线:与曲线只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. ( 地 城 考点0 4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 6．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知圆直线，则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆只有一条公切线 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线被圆截得的弦长为 . 8．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）过点且与圆相切的一条直线方程为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 10．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆，两点、. (1)若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程； (2)动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线方程 考点03 两条直线的交点坐标与距离公式 考点04圆的方程 考点05直线与圆、圆与圆的位置关系 ( 地 城 考点01 直线的倾斜角与斜率 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 故选：C 2．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线：，：，若，则（    ） A．5 B．2 C．2或-5 D．5或-2 【答案】A 【分析】根据直线平行，结合一般式方程建立方程，分别验根，可得答案. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得或. 当时，直线：与直线：重合，不符合题意； 当时，直线：与直线：平行，符合题意. 综上，. 故选：A. 3．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线垂直，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故选：B 4．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）过点和点的直线倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】过点和点的直线的斜率 又，所以. 故选：B 5．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设三条直线，，的倾斜角为, 由图可知, 所以. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知直线，直线，若，则实数可能的取值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】利用两直线垂直的判断方法列出方程，解之即得实数的值. 【详解】由，可得，解得或1． 故选：BC. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线：，直线：，若，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解. 【详解】由直线：与直线：平行，得，解得， 所以. 故答案为：2 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】计算，，根据图像得到范围。 【详解】如图所示：，. 直线的斜率的取值范围为 故答案为： ( 地 城 考点0 2 直线方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系确定角的大小. 【详解】由题设，直线斜率，而倾斜角范围为，则直线对应倾斜角为. 故选：D 2．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解. 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解. 【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为， 因为直线过点，代入可得，即； 当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，代入可得，即， 综上可得，所求直线的方程为或. 故选：B. 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）下列说法正确的是（    ） A．表示过点的所有直线方程 B．直线与y轴交于一点，其中截距 C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 D．方程表示过任意两点，的直线 【答案】D 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解. 【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确； 对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负，所以B不正确； 对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确； 对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】将直线化为确定定点判断A；由，直线为判定B；注意直线过原点的情况判断C；根据平移得，整理后有即可判断D. 【详解】A：由，显然直线恒过，对； B：由，则， 而直线可化为，所以直线不经过第四象限，对； C：若直线过原点时，直线为，即，错； D：令原直线为，根据平移有， 所以与为同一直线， 所以，对. 故选：ABD 6．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则（    ） A．直线的斜率为 B．点的坐标为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的方程为 【答案】BCD 【分析】根据直线斜率，直线垂直，直线方向向量，直线方程逐项判断即可. 【详解】已知点和，则，故A不正确； 点在轴上，且为直角， 设，则，所以，故点的坐标为，故B正确； 则直线的一个方向向量为，则也是直线的一个方向向量，故C正确； ，则直线的方程为，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 8．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）一条直线经过点并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 . 【答案】 【解析】先求得直线的倾斜角,即可由倾斜角的2倍求得该直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为, 则 所以 则该直线的倾斜角为 斜率为 由点斜式可得直线方程为 化简可得 故答案为: 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系,点斜式求直线方程的方法,属于基础题. 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常不能沿直线方向行走，而只能沿街走（拐直角弯）.因此我们引入直角坐标系，对给定的两点和，用以下方式定义距离： （注：下述问题中提到的“距离”都是指上述距离） (1)画出到定点距离等于1的点构成的图形，并描述图形的特征； (2)设和，画出到A、B两点距离之和为4的点构成的图形，并描述图形的特征. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分类讨论，得到每一段的直线解析式，作出图形即可； （2）首先求出，然后分类讨论，得到每一段的直线解析式，作出图象即可. 【详解】（1）点满足的方程是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时， 故图形是以、、、为顶点的正方形，如图所示， （2）点满足的方程是， ，结合数轴可解得， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 故图形是以、、、、、为顶点的六边形， 如下图所示 ( 地 城 考点0 3 两条直线的交点坐标与距离公式 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线的斜率及与x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线斜率为，且过点， 则直线关于x轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即. 故选：B 2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 3．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线，下列选项正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 【答案】AD 【分析】对于A，根据两直线垂直，设出直线方程，代入已知点，可得答案； 对于B，整理直线方程，建立方程组，可得答案； 对于C，根据两直线垂直，建立方程，可得答案； 对于D，根据两直线平行，建立方程，求得参数，利用平行线距离公式，可得答案. 【详解】对于A，垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，故所求直线方程为，故A正确； 对于B，直线化为：，由， 求得直线过定点，故B错误； 对于C，时有：，解得，故C错误； 对于D，当时，，解得， 此时直线， 两平行线间的距离为，故D正确． 故选：AD. 6．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】根据直线平行和垂直的斜率公式求解k判断选项AB，对直线方程变形即可求解定点判断C，利用时距离最大判断D. 【详解】对于A，当直线与直线平行时， ，解得，正确； 对于B，当直线与直线垂直时， ，解得，正确； 对于C，直线方程转化为：，令，解得， 所以直线过定点，错误； 对于D，由选项C知直线过定点，则垂直于直线时，原点到直线的距离最大， 最大值为，正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】先判定直线过定点，再结合两点距离公式计算即可. 【详解】易知直线，即其恒过定点， 所以点到该直线的距离的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可. 【详解】函数， 表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上， 点关于轴的对称点， 所以， 所以的最小值为：. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）在平面直角坐标系中，已知． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若点在直线上，且，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算直线的斜率为，确定高所在直线的斜率为1，得到直线方程. （2）计算直线方程，的垂直平分线方程，联立得到，计算距离即可. 【详解】（1）直线，即，直线的斜率为， 故边上的高所在直线的斜率为1， 所以边上的高所在的直线方程为，整理得； （2）直线，即， 的中点为，所以的垂直平分线所在的直线方程为， 因为为垂直平分线与直线的交点，所以，解得， 所以到直线的距离为． 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知直线过点，O为坐标原点． (1)若与OM垂直，求直线的方程； (2)若O到的距离为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）分直线斜率存在和斜率不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为点，可得，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即． （2）解：当直线斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，直线l方程为； 当直线斜率不存在时，的方程为，原点到的距离为2， 综上可得，直线的方程为或． ( 地 城 考点0 4 圆的方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法可求圆的一般式方程，再化为标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 因为圆三点，，， 可得，解方程可得， 即圆的方程为，即圆的标准方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与交于点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得点为圆上动点，用三角换元求的最大值. 【详解】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点， 且，所以， 所以与的交点在以为直径的圆上， 则点的坐标满足（不含点）． 可设，且， 则， 所以当时，的最大值为． 故选：D 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 4．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）以圆心，且过坐标原点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意知，所求圆的圆心为， 因为圆经过坐标原点，所以所求圆的半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】BD 【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【详解】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD 6．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为. 【答案】AB 【分析】利用配方法、直线斜率公式、圆的几何性质逐一判断即可. 【详解】A：，显然该圆的圆心C的坐标为，因此本选项说法正确； B：因为，所以点Q在圆C外，因此本选项说法正确； C：当点在圆C上，则有， 即，所以直线PQ的斜率为，因此本选项说法不正确； D：因为，该圆的半径为， 所以， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的几何性质，即半径为圆外一点，圆上任意一点，则有. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古·期末）求与圆：关于直线l：对称的圆的标准方程 . 【答案】 【分析】根据圆的方程设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为，列方程组解得的坐标，从而得对称圆的标准方程. 【详解】圆：的圆心为，半径， 设圆心关于直线l：对称的圆心坐标为， 则，解得，故， 所以对称的圆的标准方程为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）求解下列问题： (1)求过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两直线的交点坐标，再求出直线的斜率，最后利用点斜式计算可得； （2）求出、的中点坐标与，即可得到圆心坐标与半径，从而求出圆的方程. 【详解】（1）解：由，解得，所以两直线的交点为， 因为直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. （2）解：因为，，所以、的中点坐标为， ， 所以以线段的中点为圆心，为半径． 则所求圆的方程为. 10．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点，. （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线:与曲线只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）（3）存在， 【分析】（1）将圆的一般方程整理为标准方程，由此得到圆心坐标； （2）当直线斜率不存在，与圆无交点，可知斜率存在，设，将直线方程与圆的方程联立，由可确定的范围，并得到韦达定理的形式，从而利用表示出中点坐标，消去后即可得到轨迹方程；结合的范围可确定的范围，从而得到所求轨迹方程； （3）由（2）可得的图象，并确定直线所过的定点；由数形结合的方式可求得结果. 【详解】（1）圆:的方程整理得其标准方程： 圆的圆心坐标为 （2）当直线斜率不存在时，方程为，与圆无交点，不合题意 直线斜率存在，设 由得： 则，解得： 设，，中点 则，     消去参数得中点轨迹方程为：          轨迹的方程为： （3）由（2）知：曲线是圆上的一段劣弧（如图，不包括两个端点），且， 直线:过定点 直线:与圆相切时，与没有公共点 又， 当时，直线:与曲线只有一个交点 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、根据直线与曲线的交点个数求解参数范围的问题；易错点是在求解动点轨迹方程时，忽略取值范围的限制，造成轨迹求解错误；根据交点个数求解参数范围的关键是能够采用数形结合的方式确定临界状态，进而得到结果. ( 地 城 考点0 4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故选：A 2．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【分析】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【详解】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD 6．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知圆直线，则（   ） A．直线l恒过定点 B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆只有一条公切线 【答案】AC 【分析】 求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确； 对于B，，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，故B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为， 所以两圆相交，因此它们有两条公切线，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式列式计算. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离 所以所求弦长为. 故答案为：2 8．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）过点且与圆相切的一条直线方程为 . 【答案】或 【分析】先根据斜率是否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可. 【详解】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 9．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 10．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆，两点、. (1)若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程； (2)动点满足，若的轨迹与圆有公共点，求半径的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，得到圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情讨论，结合点到直线的距离公式，即可求解； （2）将点代入得轨迹方程，然后利用两圆有公共点列不等式求解即可. 【详解】（1）若时，圆，可得圆心， 因为直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线方程为或， 综上可得，所求直线的方程为或. （2）因为动点满足，、， 所以，化简得， 所以动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的轨迹与圆有公共点，所以， 即，解得，所以半径的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $