专题01 空间向量与立体几何（期末真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何 6大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量的基本定理 考点03 空间向量及其运算坐标表示 考点04 空间向量证明平行垂直问题 考点05空间向量在立体几何中求夹角 考点06 空间向量在立体几何中求距离 ( 地 城 考点01 空间向量及其运算 ) 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据空间的基底的概念可知，，，三向量共面，从而不能构成基底. 【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时， ，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且， 即，解得. 故选：D 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【分析】依题意可得，将两边平方，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 4．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，以及向量的数量积和模的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意知，平行六面体中，且， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 则 ，所以，所以B错误； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量满足， 且， 则 【答案】BC 【分析】对A：向量，的夹角可能为；对B：根据空间向量共面定理即可得；对C：由即可得；对D：借助空间向量数量积公式及数量积与模长的关系计算即可得. 【详解】对A：若，则向量，的夹角是锐角或，故A错误； 对B：根据空间向量共面定理知：空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，故B正确； 对C：由，故P，A，B，C四点共面，故C正确； 对D：由，则，又， 故，又，则， 故，即，则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在长方体中，设，，则 ． 【答案】5 【解析】由平行四边形法则得出，再由数量积公式求解即可. 【详解】由题意得． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题. ( 地 城 考点0 2 空间向量的基本定理 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知四面体，，分别是棱，的中点，且，，，则向量用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图像即可得出答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解. 【详解】由题意， ， 又因为， 所以， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】， ， ， ， 故选：A. 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可 【详解】 ， 其中 为中点，有 ，故可知 ， 则知 为 的中点，故点 满足 ， ． 故选：A 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】A.根据均为单位向量且两两垂直判断；B.利用基底的定义判断；C.利用数量积的运算律求解判断；D.利用基底的定义判断. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确． 因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误． ，C正确． 因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确． 故选：ACD 7．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 【答案】ABCD 【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果． 【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确． 对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确． 对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确． 对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确． 故选：． 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正四面体中，，则 （用，，表示）．若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，化简得到 ，再根据向量的模的计算，结合向量数量积的定义与向量数量积的运算律即可求出答案. 【详解】 ， ， ， 且正四面体为正四面体， 所以，且之间的夹角都是， 则，      故答案为：；. ( 地 城 考点0 3 空间向量及其运算的坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）设，向量且，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程求得，再由模长的坐标表示求. 【详解】由题设，可得. 所以. 故选：C 3．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义求向量在向量上的投影向量. 【详解】由已知得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：C 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出向量坐标，再利用向量模的坐标表示得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，且，则（    ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可设，则，则. 故选：D 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 7．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 【答案】 【分析】根据点关于平面及关于轴对称点的特征可得的坐标，从而可求  . 【详解】因为关于平面对称，故， 因为为关于轴对称，故， 故， 故答案为：. 9．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在空间直角坐标系中，，，则 . 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为： ( 地 城 考点01 空间向量证明平行垂直问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可，即可判断. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 所以，所以， 所以或. 故选：A 3．（（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用面面平行可得两个平面的法向量平行判断即可. 【详解】因为，设平面的法向量为， 所以，即， 对于A项，，故A项不成立； 对于B项，，故B项不成立； 对于C项，，故C项不成立； 对于D项， ，故D项成立. 故选：D. 4．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【详解】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线可得答案. 【详解】若，则，即向量与向量共线， 可得，解得. 故选：C. 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【答案】C 【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可. 【详解】    以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C 二、多选题 7．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】BCD 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ． 【答案】10 【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值. 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即，解得：. 故答案为：10 ( 地 城 考点0 2 空间向量在立体几何求夹角 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 【答案】A 【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角与线面角的关系可求答案. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 所以直线与平面的所成的角等于. 故选：A. 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，求出平面的法向量为，再代入线面角的公式求解即可. 【详解】因为平面，都在面内， 所以， 又，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则所以取，得． 设直线与平面所成的角为， 所以． 故选：B 3．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据空间向量的数量积的定义计算即可. 【详解】直线与平面所成角的正弦值等于 . 故选：B 4．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出即可求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题可设，则易知三个向量之间两两的数量积均为， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为0． 故选：D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 【答案】AD 【解析】A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确 B. 利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误 C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误 D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确 【详解】解：对于A， 故三棱锥的体积为定值，故A正确 对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误 对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误 对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，， 设平面的法向量为则 ，即 令，则 所以直线与平面所成的角为，正确 故选：AD 【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题. 三、填空题 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图,在正方体中,二面角的余弦值为 ． 【答案】/0.5 【分析】建立合适坐标系,分别求出平面和平面法向量,根据向量夹角的余弦值的公式,计算出法向量夹角的余弦值,即为二面角的余弦值. 【详解】解:由题知正方体，令正方体棱为1， 以为原点,分别以方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系: 可得, , 记平面法向量为, 则有, 即, 取,则, 记平面法向量为, 则有, 即, 取,则, 所以, 由图可知二面角的大小为锐角, 故二面角的余弦值为. 故答案为: 四、解答题 7．（24-25高二上·内蒙古·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点．    (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，利用基本事实得，利用平面性质即可证明. （2）利用直棱柱性质及线面垂直的判定定理得平面，则有，再由正方形性质得，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）连接．因为分别为的中点， 所以易得， 所以，所以四点共面． （2）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，平面， 则，又因为，平面， 所以平面．因为平面，所以． 连接，因为分别为的中点，所以， 因为，所以易得四边形为正方形，则，所以， 因为，平面，所以平面． （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，． 由（2）易得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图，在四边形中，，，，，，E是的中点．现将沿翻折，使得点A移动至平面外的点P． (1)若点F是靠近P的四等分点，求证：平面； (2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得出线线平行，进而应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而应用二面角公式计算求解余弦值，最后结合同角三角函数关系求值. 【详解】（1）在线段上取靠近点P的四等分点G，连接与． ∵且E为的中点，∴． 由和得及， 则和． 又∵，所以和， 从而和，所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面， 所以平面． （2）由得． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 即，令，则，，可取． 又平面，可取平面的一个法向量为， 则． 设平面与平面所成二面角为，则． 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 9．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，结合面面垂直的性质定理即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，则以O为坐标原点， 为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量公式可计算结果. 【详解】（1）是等边三角形，O为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以， 以O为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 即，可取， 设直线PC与平面PAM所成角为， ， 所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为. 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在三棱柱中，，平面． (1)证明：平面． (2)已知，．上是否存在一点M，使得平面和平面夹角的正切值为？若存在，确定M位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，M是的中点． 【分析】（1）由平面得，又，即可证平面，由平面即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面的法向量和平面的法向量，利用夹角公式即可表示出含的方程解出即可. 【详解】（1）证明：已知平面，平面，∴． ∵，，∴平面． 又平面，∴平面平面． （2）过C作AB的平行线作为x轴，以AC所在直线为y轴，以所在直线为z轴（C为坐标原点，为正方向）建立如图所示的空间直角坐标系． 由，，，，即， 设， 则，，，，，， ，． 设平面的法向量为，则有，令， 易得平面的一个法向量为． 平面的法向量为， ，， ，令， ∴平面的一个法向量为． ． 设平面和平面夹角为，则由平面和平面夹角的正切值为， 即，又，解得， ，解得，即M是的中点． ( 地 城 考点0 3 空间向量在立体几何中求距离 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】利用向量单位化，求得直线的单位方向向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】与向量同向的单位向量，则直线的单位方向向量为， 设，则点到直线的距离为， 易知当时，距离取得最小值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离. 【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量， 在平面上任取一点，则， 所以点到平面距离. 故选：C. 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，0，，，0，，，2，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，所以平面的一个法向量． 点到平面的距离为． 故选：D． 二、多选题 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与平面平行 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】连接，根据得为直线与直线的夹角可判断A；利用线面平行的判定定理可判断B；以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法可判断C；分别取的中点，平面的中心分别为点，可得长方体与三棱锥有相同的外接球，求出长方体的对角线长可判断D. 【详解】连接， 对于A，因为点分别是棱的中点，所以， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， 即为，又因为，所以， 所以直线与直线的夹角为，故A正确； 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设是平面的一个法向量，则 ，令，则，， 所以点到平面的距离为 ，故C错误； 对于D，分别取的中点，平面的中心分别为点， 连接，则为长方体， 可得长方体与三棱锥有相同的外接球， 且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 可得三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．点到面的距离为 D．三棱锥的体积为 【答案】BCD 【分析】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP，构建空间直角坐标系，应用向量法判断线面关系及求线面角，由面面垂直性质及中点确定点到面的距离，应用棱锥体积公式求体积判断各项正误. 【详解】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP， 因为三角形为等边三角形，所以． 因为面面，面面，面， 所以面，面，且，所以两两垂直， 如图，以O为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则． 因为点Q是PD的中点，所以， 平面的一个法向量，，显然与不共线， 所以CQ与平面不垂直，A不正确； ，，， 设平面的法向量，则，令，则， 设PC与平面所成角为θ，则＝，故， B正确； 由题意，点到面的距离，即为，C正确； 三棱锥的体积为，所以D正确． 故选：BCD 三、填空题 6．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，正方体的棱长为是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 则,， ∴点到直线的距离为. 故答案为： 7．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量及，再应用点到平面距离的向量求法求距离. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，    所以，，设平面的法向量为， 则，取，则， 而，故， 则点到平面的距离为. 故答案为： 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面相互垂直，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，进而表示出，最后利用二次函数的性质即可求出. 【详解】由题意得，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 则，，，， ，， 令，对称轴， 当时，，此时， 当或时，，此时， 则的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 6大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量的基本定理 考点03 空间向量及其运算坐标表示 考点04 空间向量证明平行垂直问题 考点05空间向量在立体几何中求夹角 考点06 空间向量在立体几何中求距离 ( 地 城 考点01 空间向量及其运算 ) 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 4．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量满足， 且， 则 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在长方体中，设，，则 ． ( 地 城 考点0 2 空间向量的基本定理 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）已知四面体，，分别是棱，的中点，且，，，则向量用，，表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 7．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正四面体中，，则 （用，，表示）．若，则 ． ( 地 城 考点0 3 空间向量及其运算的坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）设，向量且，则（    ） A．1 B． C． D．3 3．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则（    ） A． B． C． D．4 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，且，则（    ） A．-2 B．2 C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 9．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在空间直角坐标系中，，，则 . ( 地 城 考点01 空间向量证明平行垂直问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 6．（24-25高二上·内蒙古阿拉善盟·期末）如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 二、多选题 7．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 三、填空题 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ． ( 地 城 考点0 2 空间向量在立体几何求夹角 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（    ） A． B． C． D．以上均错 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 三、填空题 6．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图,在正方体中,二面角的余弦值为 ． 四、解答题 7．（24-25高二上·内蒙古·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点．    (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图，在四边形中，，，，，，E是的中点．现将沿翻折，使得点A移动至平面外的点P． (1)若点F是靠近P的四等分点，求证：平面； (2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值． 9．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在三棱柱中，，平面． (1)证明：平面． (2)已知，．上是否存在一点M，使得平面和平面夹角的正切值为？若存在，确定M位置；若不存在，说明理由． ( 地 城 考点0 3 空间向量在立体几何中求距离 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．6 2．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与平面平行 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．点到面的距离为 D．三棱锥的体积为 三、填空题 6．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，正方体的棱长为是的中点，则点到直线的距离为 . 7．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 . 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面相互垂直，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $