1.4 数学归纳法教案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.4数学归纳法 教学设计 课题名称：数学选择性必修第1册 数学归纳法 教学目标： 1.让同学们掌握数学归纳法的原理； 2.学会运用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 教学重点、难点： 教学重点： 1.了解数学归纳法的原理； 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 教学难点： 1. 数学归纳法原理的理解； 2. 数学归纳法的运用。 教学方法：自主学习，合作探究，类比发现法 教学过程 【教学过程与设计】 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节： 创设情境启迪思维 深入探究获得新知 解决问题应用知识 变式训练提炼方法 小结反思拓展引申 【教学程序与设计意图】 一、问题情境——启迪思维 同学们好，今天学习的内容是《数学归纳法》。 我们先听听这两则小故事。 故事一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子由一是一横，二是两横，三是三横，得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的． 故事二：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明． 【设计意图】 创设数学情境，启发学生的思维，激发学生的兴趣，感受引入数学归纳法的必要性.同时也渗透数学文化，让学生感到既耳目一新，又能深刻感受到数学存在于生活中，存在于我们悠久的文化中，从而引导学生用数学的眼光去观察生活。 二、自主探究——获得新知 已知数列{an}满足 试根据数列的递推关系写出它的通项公式. 已知数列通过对 n=1,2,3,4 进行归纳，可以猜想数列的通项公式是： 我们可算得： “ n2+n+11 是质数”这个命题对 都成立， 但当 n=10时，102+10+11=121=112 ，是一个合数. 1. 验证： 1. f（0）＝11，f（1）＝13，f（2）＝17，f（3）＝23，f（4）＝31， 1. f（5）＝41，f（6）＝53，f（7）＝67，f（8）＝83，f（9）＝101， 1. f（10）＝121＝112，是合数． 思考：我们遇到类似的问题，很自然的想到逐一往下穷举，但是这个过程无穷无尽，根本无法实施。因而，我们希望寻找到一种方法：通过有限步骤的推理，来证明 n 取所有正整数都成立。 多米诺骨牌效应 多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 如果把骨牌想象为一系列多个编了号的命题p1,p2,p3, …,  假定能够证明： (1)（奠基） 最初第一个命题正确, (2)（递推）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题正确性, 那么便证明了这一系列命题的正确性. 将现实模型的原理转化为证明无限多个有序命题的证明方法需要类比. 骨牌原理 数学证明步骤 ①第一张骨牌倒下 ①证明最初的一个命题正确 ②证明“如果前一张骨牌倒下，则后一张也跟着倒下”这句话是真的 ②证明“由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性”这个命题是真命题 根据①②，所有骨牌都能倒下 根据①②，这个系列无限多个有序命题都成立 上述事例启发我们，在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： （1）证明n=n0（n0∈N+）时命题成立; （2）假设n=k （k∈N+，k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0 开始的正整数n，命题成立. 这种证明方法叫作数学归纳法. 3、 解决问题----运用知识 例1用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an=a₁+(n—1)d 对一切n∈N+都成立. 补充例题 例1 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（ ） A．k2 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋···＋(k＋1)2 解析：因为当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 选择D. 说明：数学归纳法常用来证明与自然数有关的命题，数学归纳法仅用“有限”的两步就巧妙地解决了这一“无限”的难题，这两步是缺一不可的. 四、小结反思——拓展引申 （1）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种； （2） 我们学到了数学归纳法的哪些内容？运用了哪些解题方法和数学思想？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $