第1章 习题课2 等比数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

习题课2　等比数列的性质及其实际应用

任务一　等比数列{an}的常用性质

1.若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq.

特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则aman＝.

2.an＝am·qn－m(m，n∈N＋).

3.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列，公比为qk.

4.若数列{an}与{bn}是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{｜an｜}，{an·bn}，{}，等也是等比数列.

5.a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.

角度一　等比数列中任意两项之间的关系

在等比数列{an}中：

(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；

(2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an.

解：设等比数列{an}的公比为q.

(1)由得q＝.

再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，

则an＝a3·qn－3＝32×()n－3＝()n－8＝，

所以n－8＝1，所以n＝9.

(2)由a7＝a5·q2得q2＝.

因为an＞0，所以q＝，

所以an＝a5·qn－5＝8×()n－5＝()n－8.

对点练1.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　)

A.2 B.

C.2或 D.－2或

答案：C

解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，所以a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.故选C.

对点练2.已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则等于(　　)

A.16 B.8

C.4 D.2

答案：C

解析：等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝q4＝4q4＝16，所以q4＝4.

所以＝＝q4＝4，故选C.

角度二　等比数列中多项之间的关系

已知{an}为等比数列.

(1)若{an}满足a2a4＝，求a1a5；

(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；

(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.

解：(1)在等比数列{an}中，

因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a1a5＝.

(2)由等比中项，化简条件得＋2a6a8＋＝49，即(a6＋a8)2＝49，

因为an＞0，所以a6＋a8＝7.

(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，

所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)

＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]

＝log395＝10.

利用等比数列的性质解题 1.基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 2.优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量

对点练3.公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　　)

A.4 B.5

C.6 D.7

答案：B