第6章 几何图形初步（全章知识点总结+ 10大题型举+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册易错点重难点培优专项复习

该初中数学《几何图形初步》单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点，按“几何图形的认识、点线面体、直线射线线段”等模块呈现，涵盖知识点、核心内容及易错提示，结合重难点突破表格和易错点警示表格，清晰展现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于10类分层题型设计，从基础的立体图形三视图、线段中点计算到提升的动点旋转问题，每个题型配套解题技巧与变式训练，培养空间观念和推理意识，同步练习覆盖不同难度，助力学生自主复习，支持教师精准教学。

第6章 几何图形初步 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点全面梳理（表格版） 模块 知识点 核心内容 易错提示 几何图形的认识 立体图形与平面图形 1.立体图形：各部分不共面（长方体、圆柱、圆锥等）； 2.平面图形：各部分共面（三角形、圆、线段等） 混淆“圆柱”与“圆锥”的侧面特征；误将“球”归为平面图形 立体图形的视图 1.主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）； 2.由视图还原几何体的基本思路 还原几何体时漏算隐藏的小正方体；视图方向判断错误 点、线、面、体 基本关系 1.体→面→线→点（静态）； 2.点动成线、线动成面、面动成体（动态） 混淆“线动成面”与“面动成体”的实例；忽略“棱是面的交线”本质 直线、射线、线段 表示方法 1.直线：直线(或直线)； 2.射线：射线(端点在前)； 3.线段：线段(或线段) 射线表示时端点顺序错误；直线与射线混淆“无限延伸”方向 基本事实 1.两点确定一条直线； 2.两点之间，线段最短 应用“两点之间线段最短”解决实际问题时，误将“线段”等同于“距离” 线段计算 1.中点：若是中点，则； 2.等分点：等分点将线段分等份 忽略“点在线段延长线上”的分类情况；等分点比例计算错误(如三等分点取反) 角的相关概念与计算 角的定义与表示 1.定义：公共端点的两条射线组成(静态)；射线绕端点旋转形成(动态)； 2.表示：、等 角的表示漏写顶点字母；混淆“角的边”(射线)与“线段” 角的度量与换算 1.单位：，； 2.特殊角：周角、平角、直角 度分秒换算时进制错误(误按10进制计算)；角的大小与边的长短无关 角的平分线与等分线 1.角平分线：若平分，则； 2.等分线分角为等份 忽略“射线在角外部”的分类；等分线靠近的边判断错误 余角与补角 1.余角：和为(同角/等角的余角相等)； 2.补角：和为(同角/等角的补角相等) 混淆“余角”与“补角”的度数和；忽略“互为余角/补角”的双向性 方位角 定义与表示 1.以正北/正南为基准，先北/南后东/西(如北偏东)； 2.方位角的相对性 方位角描述时基准错误(先东/西后北/南)；忽略两点间方位角的反向关系 二、重难点突破(表格版) 重点难点 突破策略 典型例题指引 立体图形与展开图互化 1.正方体展开图：牢记“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”型，排除“田”“凹”型； 2.实物模拟：用纸片折叠验证相对面 正方体展开图中相对面判断；由展开图求几何体的表面积/体积 线段的分类讨论计算 1.确定动点/分点的位置：在线段上、线段延长线(两种方向)； 2.用参数表示线段长度(如设) 已知，点在直线上，，求的长(双解) 角的分类讨论计算 1.确定射线位置：在角内部、角外部； 2.旋转问题分顺时针/逆时针方向 已知，作射线，，求(双解) 线段与角的类比探究 1.迁移规律：中点↔角平分线、线段等分点↔角等分点； 2.从特殊到一般(如等分点) 线段中点问题结论迁移到角平分线问题；等分点对应的线段/角的长度关系 三、高频易错点警示(表格版) 易错点类型 错误表现 规避方法 概念混淆类 1.直线、射线、线段的“延伸性”混淆； 2.余角与补角的定义混淆； 3.视图与几何体的对应关系混淆 1.用“端点个数+延伸方向”区分三线； 2.牢记“余角和90°，补角和180°”口诀； 3.画视图时标注方向 计算失误类 1.度分秒换算进制错误(如)； 2.线段/角的和差计算漏加/漏减 1.换算时“度→分→秒”逐级换算，保留60进制； 2.计算前画图形标注已知条件 分类遗漏类 1.线段计算忽略“点在线段延长线上”； 2.角计算忽略“射线在角外部”； 3.旋转问题漏算旋转方向 1.审题时标记“直线”“射线”等关键词，明确位置范围； 2.用“分类树”列出所有可能情况 图形理解类 1.正方体展开图中相对面判断错误； 2.由三视图还原几何体时漏算小正方体 1.用“相对面不相邻”原则验证； 2.分层标注俯视图中各位置的小正方体个数 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】立体图形的三视图 1.核心知识点总结 主视图、左视图、俯视图的观察方向； 由三视图描述几何体的形状。 2.高频考点梳理 给出几何体画三视图； 由三视图判断小正方体的个数(最少/最多)。 3.易错点警示 左视图的观察方向错误(从左向右看而非从右向左)； 还原几何体时漏算隐藏的小正方体。 4.解题技巧拆解 画三视图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则； 用“俯视图定位置，主/左视图定高度”的方法确定小正方体个数。 【例题1】．（25-26七年级上·重庆·期中）用12个大小相同棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求出该几何体的表面积（含底面）； 【答案】(1)见解析 (2)42 【分析】本题考查从不同方向看几何体，求几何体表面积． （1）根据题意观察图形画出图形即可； （2）观察图形得到共有42个面，分别求出一个正方形面积再乘以42即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：观察图形共有42个正方形的面， 每一个小正方体的棱长为1， 该几何体的表面积为：． 【变式题1-1】．（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）如图，从上面看到的几何体的形状图，数字表示这个位置小正方体的个数，若正方体棱长为3，画出从正面看、从左面看的视图，并求该几何体的表面积． 【答案】画图见解析，表面积为 【分析】本题考查的是从不同方向看到的图形，求解几何体的表面积，根据从正面与左面看到的图形画出图形即可，再根据正方体棱长为3，求解表面积即可． 【详解】解：从正面看、从左面看的视图如图所示， ∵正方体棱长为3， ∴该几何体的表面积（含底面）为：； 【变式题1-2】．（24-25七年级上·河南南阳·期末）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数． (1)填空：__________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成，最多由__________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看该几何体的视图，并用阴影涂黑． 【答案】(1)2，1，1； (2)8，10； (3)见解析 【分析】本题考查由从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． （1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：观察从正面看到的图可知，． 故答案为：2，1，1； （2）解：结合从上面看到的图和正面看到的图， ∴这个几何体最少由个小立方块搭成， ∴最多由个小立方块搭成． 故答案为：8，10； （3）解：从左面看到的图形如图所示： 【变式题1-3】．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是______（包含底部）； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加______个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【分析】本题主要考查从不同方向看立体图形，掌握立体图形的特点，表面积的计算方法是解题的关键． （1）根据立体图形的特点画图示即可； （2）根据立体图形表面积的计算方法计算即可； （3）由图示特点进行分析即可； （4）由图示特点进行分析即可． 【详解】（1）解：几何体的三视图如下， （2）解：从下往上，第一层的表面积为：， 第二层的表面积为：， 第三层的表面积为：， ∴几何体的表面积为：； （3）解：根据（1）中的图示，保证从上面看的图和从左面看的图不变，可以在如图所示的位置各增加一个， ∴最多可以增加4个小正方形， 故答案为：4； （4）根据（1）中的图示，要保证三个视图都不变，最多可以在（3）中1的位置增加1个小正方形， 故答案为：1． 【题型2】正方体展开图与相对面问题 1.核心知识点总结 正方体展开图的三种类型：“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”(无“田”“凹”型)； 相对面的判断：“Z”字形两端、间隔一行/一列。 2.高频考点梳理 由展开图判断相对面的数字/汉字； 排除不能围成正方体的展开图。 3.易错点警示 误将“田”型或“凹”型展开图当作正方体展开图； 相对面判断时忽略“间隔一个面”的原则。 4.解题技巧拆解 标记展开图中的相对面(用相同符号标注)； 折叠验证：想象将展开图沿棱折叠，相邻面一定不相对。 【例题2】．（25-26六年级上·山东烟台·期中）爱学习的小明将“数学很有趣”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则这五个字相对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．趣 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图与折叠，熟练掌握无盖正方体展开图的面的对应关系是解题的关键．先确定无盖正方体展开图的结构，找出每个字对应的面，判断相对面是否有字． 【详解】解：将展开图折叠成无盖正方体：“学”是底面，“数”对应后面，“很”对应右面，“有”对应左面，“趣”对应前面． 相对面中，“学”的相对面（无盖的顶面）没有字． 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 【答案】A 【分析】本题考查正方体的对面问题，掌握相关知识是解决问题的关键．先由三个图显示的邻面能够确定红色的对面是蓝色，黄色和黑色的对面分别是剩余的两个颜色，再由各个面的相对位置关系最终得出答案． 【详解】由图可知： 红色的邻面是黄、黑、绿、白， ∴红的对面是蓝， 黄色的邻面是黑、蓝、红， ∴黄的对面是绿或白， 黑色的邻面是黄、红、蓝， ∴黑的对面是绿或白， 结合三个图形中各个面的相对位置可知， 在第二个图中红色在最前面时，黑色应该在底部，而它的左侧应该是绿色， ∴白对黄，黑对绿． 故选：A． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数之和相等，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，解一元一次方程，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得，解方程求出x与y的值，进而求解即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“x”与“”相对，“”与“”相对，“”与“”相对， ∵相对面上的两数之和相等， ∴， 解得，， ∴． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是一个正方体的平面展开图，若还原成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的展开图，求代数式的值，相反数．注意正方体的空间图形，从相对面入手分析，解决问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定，，的相对面，再根据“相对面上的两个数互为相反数”求出，，的值，然后求解即可． 【详解】解：由正方体的表面展开图得， 和是相对面，和是相对面，和是相对面， 相对面上的两个数互为相反数， ，，， ． 故答案为：． 【题型3】线段中点与等分点计算 1.核心知识点总结 中点：；等分点：(靠近端点)； 线段和差：(点在线段上)，(点在线段延长线上)。 2.高频考点梳理 已知中点求线段长度； 多中点/等分点的综合计算(如“中点+三等分点”)。 3.易错点警示 等分点的位置判断错误(如“靠近点”与“靠近点”混淆)； 忽略“点在线段延长线上”的情况，导致漏解。 4.解题技巧拆解 画线段图标注已知条件和所求线段； 用参数表示：设线段总长为，按比例计算各段长度。 【例题3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（   ） A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有 C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点与和差倍数问题，解题关键是运用转化的思想，本题先求出，，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点， ∴，， ∴，即不论点C在什么位置都有； 故选：B ． 【变式题3-1】．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）两个钉子P和Q钉在细木棍上，且靠近木棍的同一端．钉子P在木棍的三等分点上，钉子Q分木棍的长度比为，测量得两个钉子间的距离为2，则木棍的长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了线段和和差和一元一次方程，解题关键是理解P和Q在木棍上的位置关系， 根据已知条件确定木棍的位置，通过线段和差关系，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵P和Q钉在细木棍上，且靠近木棍的同一端．钉子P在木棍的三等分点上，钉子Q分木棍的长度比为， 设， ∴当点P靠近左端时，，， ∴， ∵两个钉子间的距离为2， ∴ 解得：， 当点P靠近右端时，，， ∴， ∵两个钉子间的距离为2， ∴， 解得：， ∴木棍的长为． 故答案为：21． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，点C是线段外任意一点，点E是中点． (1)在图中画出射线和直线；延长线段到点D，使； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，线段的和差． （1）按要求作出射线、直线、线段即可； （2）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：如图，射线、直线、线段即为所求； （2）解：因为点E是中点， 所以， 因为， 所以， 因为， 又因为， 所以． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了与线段中点有关的线段和差计算，解题的关键是根据题干信息和图形得出各线段的关系． （1）先求出的长度，根据N是的中点求出的长度即可． （2）求出和的长度，根据求出结果即可． 【详解】（1）解： ， ∴， 是的中点， ， （2）解： 点，分别是，的中点．， ， ． 【题型4】角平分线与角的和差倍分计算 1.核心知识点总结 角平分线：； 角的和差：(在内部)，(在外部)。 2.高频考点梳理 已知角平分线求角的度数； 多角平分线的综合计算(如“角平分线+角平分线”)。 3.易错点警示 角平分线的反向延长线判断错误； 忽略“射线在角外部”的分类讨论。 4.解题技巧拆解 画角的示意图，标注角平分线和已知角度； 利用“整体思想”：，无需单独求每个小角。 【例题4】．（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，直线与相交于点，，一个直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，当平分时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的动态问题和一元一次方程的应用，当平分时，，依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【详解】解：，平分， 当平分时，， ， 即， 解得； 故答案为：． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是余角，补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行角的等量代换逐个进行判断，即可得解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， 故结论正确； 平分，平分， ，， ， 故结论正确； ，， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ，即， 故结论错误． 故正确的是． 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·全国·周测）已知O是直线AB上一点，作射线OC． (1)如图①，若ON平分，则的度数为________． (2)如图②，若OC平分比大，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的计算．灵活应用角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和邻补角的意义解答即可； （2）设，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； 【详解】（1）解：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． （2）∵平分 ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵比大 ∴ ∴ ∴的度数为． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 【题型5】分类讨论求线段长度(提升) 1.核心知识点总结 点的位置分类：在线段上、线段的延长线(两种方向)； 线段长度公式：(数轴背景下)。 2.高频考点梳理 已知线段总长和部分线段长，求另一部分线段长(双解/多解)； 数轴上的线段问题(结合坐标计算)。 3.易错点警示 只考虑点在线段上的情况，忽略延长线的情况； 数轴上计算线段长度时，混淆“坐标差”与“绝对值”。 4.解题技巧拆解 审题时标记关键词“直线”“射线”(暗示需分类)； 用“分类树”列出所有可能位置：点在上、的延长线(侧)、的延长线(侧)。 【例题5】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段，反向延长线段至C，使，D为直线上一点，且，若，求t的值． 【答案】或6 【分析】本题考查了线段的和差，点在直线上的位置关系，两点间的距离，分情况讨论是解本题的关键．分两种情况：点D在线段的延长线上或点D在线段的延长线上求解即可． 【详解】 解：分两种情况讨论： ①当点D在线段的延长线上时，如图所示： 设， ∵，， ， ， ， ， ∴； ②当点D在线段的延长线上时，如图所示： 设， ∵，， ， ， ， '， 综上可知：t的值为或6， 故答案为：或6． 【变式题5-1】．（2025七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则， 由图知， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【变式题5-2】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，求线段的长度． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点在的左侧和右侧，分别画出图形，根据中点的性质求得，结合图形求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵、分别是线段，的中点， ∴， ∴； 如图所示， ∵，， ∴， ∵、分别是线段，的中点， ∴， ∴； 综上分析可知：线段的长为：或． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·江西宜春·月考）数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．一般地，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，那么两点间的距离可以表示为，线段的中点所表示的数为．比如，，那么两点间的距离，线段的中点所表示的数为．如图，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为8． 应用以上知识解决下列问题： (1) ______，的中点所表示的数为______； (2)数轴上另有一点，位于点右侧，且点到点，点的距离之和为16，求点表示的数； (3)若点是数轴上任意一点，点位于两点之间，已知点到点的距离为2，点到点的距离为3，为线段中点，为线段中点，求点到点的距离． 【答案】(1) (2) (3)点到点的距离为或 【分析】本题考查阅读理解，涉及数轴上两点之间距离求法、线段中点求法，理解题意，掌握数轴上两点之间距离求法、线段中点求法是解决问题的关键． （1）根据题中材料所给数轴上两点之间距离求法、线段中点求法代值求解即可得到答案； （2）由根据题中材料所给数轴上两点之间距离求法，数形结合列出方程求解即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况：当点在点右侧；当点在点左侧；再由两点之间距离及数轴上中点求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，那么两点间的距离可以表示为，线段的中点所表示的数为，点表示的数为，点表示的数为8， ；的中点所表示的数为； 故答案为：； （2）解：设点表示的数是， 数轴上另有一点，位于点右侧，且点到点，点的距离之和为16， ， 解得， 则点表示的数是； （3）解：根据题意，可分两种情况： 当点在点右侧，如图所示： 点表示的数为，点表示的数为8， 点表示的数为，点表示的数为5， 为线段中点，为线段中点， 点表示的数为，点表示的数为， 则点到点的距离为； 当点在点左侧，如图所示： 点表示的数为，点表示的数为8， 点表示的数为，点表示的数为5， 为线段中点，为线段中点， 点表示的数为，点表示的数为， 则点到点的距离为； 综上所述，点到点的距离为或． 【题型6】分类讨论求角的度数(提升) 1.核心知识点总结 射线位置分类：在角内部、角外部； 角的旋转分类：顺时针旋转、逆时针旋转。 2.高频考点梳理 已知角的度数和射线位置关系，求未知角(双解/多解)； 角的旋转问题中，分阶段讨论旋转角度。 3.易错点警示 只考虑射线在角内部的情况，忽略外部情况； 旋转问题中漏算“旋转超过180°”的情况。 4.解题技巧拆解 画两种情况的示意图(内部/外部)，分别标注角度； 旋转问题中，用“旋转角=最终角度-初始角度”计算，注意正负号(顺时针为负，逆时针为正)。 【例题6】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【答案】或 【分析】本题需要分射线在内部和外部两种情况，根据角的和差关系来计算的度数． 【详解】解：当射线在内部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 当射线在外部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的和差计算，掌握分情况讨论射线的位置，根据角的和差关系计算角的度数是解题的关键． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式题6-2】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 【变式题6-3】．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解： 平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 【题型7】线段动点问题探究(培优) 1.核心知识点总结 动点速度公式：路程速度时间()； 线段长度的动态表示：用时间表示线段长度(如)。 2.高频考点梳理 动点运动过程中，线段长度的不变性探究； 动点相遇问题、中点问题的综合应用。 3.易错点警示 动点运动方向判断错误(如“往返运动”漏算返回过程)； 用静态思维解决动态问题，未用参数表示线段。 4.解题技巧拆解 设运动时间为，用表示各线段长度； 结合数轴或线段图，分析动点的运动范围(如的取值范围)； 不变性探究：化简含的表达式，若结果不含，则长度不变。 【例题7】．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，，是线段上一点，且．动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，运动的时间为 (1)，； (2)当时，的长为______； (3)用含有的代数式表示______； (4)当为的中点时，的值为______； (5)将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ①在点、点运动过程中，、的距离为时，直接写出的值为 ②在点、点运动过程中，时，直接写出的值为___． 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5)或 【分析】本题综合考查数轴上的线段比例、动点位置表示、中点性质及一元一次方程的应用； （1）根据，，即可求解； （2）当时，分别求得，，根据，即可求解； （3）根据题意分别表示出，，根据，即可求解； （4）依题意，，根据（3）的结论，列出方程，解方程，即可求解； （5）①根据题意得出点从左往右运动，分相遇前和相遇后，根据、的距离为，列出方程，解方程，即可求解； ②先求得，同①的方法，分相遇前和相遇后，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是线段上一点，且． ∴，， 故答案为：，． （2）当时，，， ∴， 故答案为：． （3）∵，，动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动 ∴当时，在上，在上， ∵，， ∴， 故答案为：． （4）依题意， ∴， 解得： ∴当为的中点时， 故答案为：． （5）①将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ∴点从左往右运动， 相遇前，∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 相遇后， ∵， ∴， 解得：， ②折叠后为中点，， ∵， 当相遇时，，解得： 相遇前，，， ∵ ∴或 解得：（舍去）或（舍去） 相遇后， ∵ ∴或 解得：或 【变式题7-2】．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）数轴是学习有理数的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，直观发现两个重要的结论：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．利用以上结论解决下列问题：如图，已知数轴上有A，B，C 三个点，它们表示的数分别是． (1)A，C两点之间的距离为 ，线段的中点表示的数为 ； (2)若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 当t为何值时，点P与点Q相遇？并求出相遇点所表示的数； (3)在（2）的条件下，若点P、Q均运动到对方起点后停止（不返回），若动点M同时从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，请问是否存在某一时刻，使得点M、P、Q三个点中的任意一点恰好是另外两点的中点．若存在，请直接写出符合条件t的值，并写出求解t的值的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，1 (2)当秒时，点P与点Q相遇；相遇点所表示的数是 (3)存在，；过程见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间距离，求线段的中点，数轴上动点问题， 对于（1），根据两点之间的距离和线段中点的定义解答； 对于（2），根据总路程相等列出方程，求出解，进而得出点表示的数； 对于（3），先表示出P，Q，M表示的数，再根据线段中点表示的数列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：线段的中点表示的数是； 故答案为：16,1； （2）解：根据题意，得 ， 解得， 所以当秒时，点P与点Q相遇，此时， 所以相遇点所表示的数是； （3）解：存在，或或4. 点P从点A到点C距离为16，时间为：秒； 点Q从点C到点A，距离16，时间为：秒． 点P表示的数是；点Q表示的数是；点M表示的数是， 分三种情况： 当点M是的中点时： ∴， 解得； 当点P是的中点时： ∴， 解得； 当点Q是的中点时： ∴， 解得． 故答案为：或或4． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【问题探究】 在一条数轴上，为原点，点对应的数为4，点对应的数为． （1）直接写出：的中点对应的数为 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒．求当为何值时，的中点所对应的数为5.5？ 【拓展延伸】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为； 若数轴上点的对应数为，点的对应数为，点为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为． 以此类推…… （3）在（2）的条件下，若点为最靠近的五等分点，点为的中点，是否存在，使得为定值？若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）存在，定值为 【分析】（1）利用中点公式求解； （2）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，再根据的中点所对应的数为5.5，列方程求解； （3）根据已知条件得出五等分点公式，用含t的式子表示出点D，E表示的数，进而用绝对值表示出，根据绝对值的几何意义及两点间距离公式即可求解． 【详解】解：（1）的中点对应的数为：， 故答案为：1； （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 中点为5.5， ， 解得； （3）存在这样的，使得为定值，理由如下： 点为最靠近的五等分点， 点表示的数为， 点表示的数为， ， ， 表示数到数和之间的距离之和， 当时， 【点睛】本题考查中点公式，列代数式，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义及两点间距离公式，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【题型8】角的旋转综合探究(培优) 1.核心知识点总结 旋转角的定义：射线旋转前后的夹角； 动态角的表示：用旋转时间表示角的度数(如)。 2.高频考点梳理 旋转过程中，角的和差倍分关系探究； 旋转问题中，角平分线的动态性质。 3.易错点警示 旋转方向混淆(顺时针/逆时针)导致角度计算错误； 忽略旋转的周期性(如旋转一周后重复)。 4.解题技巧拆解 设旋转时间为，用表示动态角(如每秒旋转，则旋转角为)； 分阶段讨论：当旋转角跨越特殊角(如、)时，角的和差关系变化。 【例题8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】．（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 【变式题8-2】．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【答案】(1) (2)与的差是定值，该定值为 (3)或或或69 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，则，再求出的度数即可得到答案； （2）分在上方和在下方两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解： 平分， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，当在上方时， ∵，， ∴； 如图所示，当在下方时， ∵，， ∴； 综上所述，与的差是定值，该定值为； （3）解：射线平分，射线平分， ，， 旋转前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①当相遇前，解得，； ②当第一次相遇后，解得，； ③当第一次相遇后，相遇前，解得； ④当第一次相遇后，相遇后，解得，； 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69. 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 【变式题8-3】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 【题型9】几何图形规律探究(培优) 1.核心知识点总结 线段计数规律：个点最多连条线段； 角的计数规律：从一点引条射线，最多有个角。 2.高频考点梳理 线段/角的计数规律探究； 由特殊到一般，推导项规律(如等分点对应的线段长度)。 3.易错点警示 计数时重复或遗漏(如线段计数时漏算隐藏线段)； 规律推导时，未验证特殊值(如、时是否成立)。 4.解题技巧拆解 从特殊值入手：计算、、时的结果，寻找规律； 用代数方法验证：推导一般式后，代入特殊值检验。 【例题9】．（25-26七年级上·广东清远·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3)12 (4)8 【分析】本题考查了多面体顶点、面数、棱数之间的关系，解决本题的关键是有表格得到这三者之间的关系． （1）根据四面体，长方体，正八面体，正十二面体的顶点数，面数以及棱数计算填表即可； （2）观察表格中顶点数，面数以及棱数的数字即可得解； （3）根据顶点数比面数大4，可列，再由有18条棱，可列，根据求解即可； （4）先求解出该玻璃饰品的棱数，再根据可求解该玻璃饰品的面数，由此可求． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：根据表格，可以发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）解：∵顶点数比面数大4， ∴，即， ∵有18条棱， ∴， ∵； ∴，解得， ∴这多面体的顶点数是12； 故答案为：12； （4）解：∵该玻璃饰品有12个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴共有条棱， 设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·重庆·期末）如图1，点是直线上一点，射线从的位置开始绕点顺时针方向旋转，当转到位置时，立即反向旋转，当旋转到位置时，又立即反向旋转，……，如此反复． 按这种方式操作，第1秒从旋转得到射线，第2秒从射线旋转得到射线，第3秒从射线旋转得到射线，……，第秒从射线旋转得到射线．例如，图2所示，当，时，射线与射线恰好重合； 问题解决： (1)当，时，射线与射线，所成的角为，， 我们称的值为射线关于的关联值，记为． ①当时，的值是_____； ②的最大值是_____． (2)，时，射线平分，求的值． (3)，时，，直接写出可能的值．（选取一种情况说明理由） 【答案】(1)①或2；②10 (2)； (3)可能的值为或或． 【分析】本题主要考查角度的计算，以及一元一次方程的应用的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）①由题意得，，当时，分两种情况讨论，即可求解； ②如图1，设，则，此时的最大值是10；如图2，设，则，此时的最大值是2；比较即可求解； （2）判断得到第4秒时，已从处反向旋转，画出图形，根据题意求解即可； （3）分四种情况讨论，分别画出图形根据题意求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，则，， 当时，分两种情况： 如图1，当射线在内时， ， ∴； 如图2，当射线在内时， ， ∴； 故答案为：或2； ②如图1，设，则， ∴； ∵且， ∴， ∴， ∴，此时的最大值是10； 如图2，设，则， ∴； ∵， ∴的最大值是10； 故答案为：10； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴第4秒时，未到达处， ∵射线平分， ∴在内， 即第4秒时，已从处反向旋转，如图3， 则，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得； （3）解：由题意得， ∵， ∴， ∵，， ∴第3秒时，一定未到达处， 当第4秒时，未到达处，如图4， ∴， 解得； 当第4秒时，已从处反向旋转，则， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴(舍去)； 当第4秒时，已从处反向旋转，且在内，如图5， 则， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； 当第4秒时，已从处反向旋转，且在内，如图6， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， 综上，可能的值为或或． 【变式题9-2】．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 【变式题9-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【答案】(1)； (2)①15场；②132元 【分析】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． （1）根据表格中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （2）①根据（1）中的结论，进行求解即可；②根据（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：从左到右依次为；． 故答案为：，； （2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行（场）． ②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为． 因为有起点站和终点站之分， 所以需要安排种车票． 【题型10】新定义与材料阅读题（培优） 1.核心知识点总结 新定义本质：基于线段/角的和差、中点、角平分线等基础性质衍生； 阅读关键：提取定义中“限定条件”（如折线、特定位置、倍数关系）和“量化标准”（如长度/度数相等）。 2.高频考点梳理 定义理解：判断图形是否满足新定义； 计算应用：结合新定义求线段长度/角的度数； 规律探究：推导新定义下的特殊关系（如与中点、角平分线的联系）。 3.易错点警示 漏看新定义的“限定词”（如“折线”“射线在内部”）； 忽略分类讨论； 混淆新定义与已学概念。 4.解题技巧拆解 精读材料，圈画“关键词”（限定条件、量化标准）； 转化定义：将文字描述转化为数学表达式（如“长度平分”→）； 结合图形：标注已知条件，关联已学知识（和差、等分点）求解； 规律推导：从特殊值入手，验证一般结论。 【例题10】．（20-21七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 【变式题10-1】．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，，表示点D见解析； (2)①，，；②的值不变，为；③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是， 表示点D如下： （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 40．（24-25七年级上·山西太原·期末）阅读与思考：下面是小钧课后思考的一部分笔记，请你认真阅读，并完成相应的任务． 线段与角的研究一致性 在第四章《基本平面图形》的学习中，我认识到“线段”和“角”在研究方法和研究路径上具有一致性，同时，我还发现，在解决线段和角的某些问题时，其方法也有许多一致性． 【问题1】如图1，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点，                              ①                            ② 若，，求的长． ③ 分析：在审题时，我用下划线和序号①②③分别标记了题目的已知条件，并逐次分析如下： 由条件①，可得；将条件②得到的部分结论和条件③标记在图1中． 解答：下面是我解决问题1的过程： ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是上一点， ∴． …… 反思1：我发现，根据题中的条件，能求出图1中所有线段的长度．若去掉任何一个条件，就无法求出所有线段了． 反思2：根据问题1的结果，可以发现与有特殊的数量关系，即__________． 反思3：我发现若将条件①改为“点是直线上的一点”，去掉题中的条件__________（选填“②”或“③”），与之间的关系也不会变化． 在练习中，我发现下面的问题2与问题1有许多一致性，分析时，我也用下划线和①②③标记了已知条件，可类比问题1的思路解答． 【问题2】如图2，，将射线绕点逆时针方向旋转得到射线（旋转的度数小于）．已知射线在内部，分别平分和． ①                                                        ②若，，求的度数． ③ 解答：…… 反思4：…… 任务： (1)请将阅读材料中问题1的解答过程和反思2、反思3补充完整； (2)请完成问题2的解答； (3)请类比小钧问题1的反思，写出完成问题2后你的一条反思． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段中点相关运算、角平分线相关运算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）首先根据线段中点的定义以及，易得，结合，即可求得的值；结合题意确定与有特殊的数量关系；并分析出将条件①改为“点是直线上的一点”，去掉题中的条件③，与之间的关系也不会变化． （2）首先根据角平分线的定义可得，，再根据，易得，然后根据角平分线的性质可得，进而可得； （3）结合（1）（2）解题过程和类比小钧问题1的反思，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 反思②补充： 反思③补充：③； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵射线在内部， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （3）本题不同反思水平得分不同，示例如下： 反思1：我发现，根据题中的条件，能求出图2中所有角的度数． 反思2：根据问题2的结果，可以发现与有特殊的数量关系， 即； 反思3：若将题中的条件①改为“射线OC在外部”，同时去掉条件③， 始终等于的． 同步练习 一、单选题 1．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“顺”字所在的面相对的面上标的字是（   ） A．考 B．试 C．顺 D．利 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “顺”与“考”是相对面． 故选：A． 2．（2025六年级上·湖南长沙·专题练习）下列各图中，不属于正方体展开图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的识别. 正方体展开图有11种情况，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，只有选项A不属于正方体展开图， 故选：A． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）现要制作一个正方体文创产品，上面印有四个字（每个字各占一面，剩余两面为空白），若要使一组相对面印有“西”和“安”字，另一组相对面印有“文”和“旅”字，则下列展开图中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的“相间Z端是对面”进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间Z字形是对面”可知，选项B符合要求，即“西”和“安”，“文”和“旅”相对，其它选项均不符合题意， 故选：B． 4．（25-26七年级上·山西晋中·期中）用一个平面去截如图所示的五棱柱，所能截出的边数最多的截面是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查了截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关；一个五棱柱由5个侧面和2个底面构成，根据截面经过几个面，得到的多边形就是几边形. 【详解】解：∵一个五棱柱由5个侧面和2个底面构成，它有7个面， ∴截面最多是七边形. 故选：C. 5．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【详解】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·山西晋中·期中）在今年的九三阅兵仪式上，7架歼-10表演机拉出14道彩烟，寓意着中华民族14年可歌可泣的抗战历程，也象征着14亿中国人民奔向强国复兴的绚丽前景．我们用数学的眼光看飞机拉出彩烟这类现象，抽象成的数学事实是 ． 【答案】点动成线 【分析】本题考查点、线之间的关系；点动成线. 【详解】解：∵飞机抽象为运动中的点，彩烟抽象为直线， ∴用数学的眼光看飞机拉出彩烟这类现象，抽象成的数学事实是点动成线. 7．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个顶点；它由 个面围成；这些面相交成 条棱． 【答案】 6 5 9 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面，根据三棱柱的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形得出这个几何体是一个三棱柱， 这个三棱柱有6个顶点；它由5一个面围成；这些面相交成9条棱． 故答案为： 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）用小正方体搭一个几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 【答案】 7 9 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据图形，从上面看，底层有5个正方体，然后根据从正面看判断出最少和最多的正方体即可求解． 【详解】解：从上面看，底层有5个正方体，从正面看，第二层最少有2个正方体， ∴搭成这样的几何体至少需要个小正方体； 从正面看，第二层最多有4个小正方体， ∴搭成这样的几何体最多需要个小正方体． 故答案为：7，9． 10．（25-26六年级上·山东淄博·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示．搭成这个几何体用到的小正方形的个数最多是 个． 【答案】 【分析】本题考查从不同方向看几何体． 根据从上面看确定位置，从正面看确定个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：如图， 此时，小正方体的个数最多：. 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点定义，当点在线段的延长线上，先求出，再根据中点的定义求出，然后根据得出答案；当点在线段上时，先求出，再根据中点定义求得，最后根据得出答案． 【详解】解：， ， 当点在线段的延长线上， 则， 点为线段的中点， ， ； 当点在线段上时， ， ， ， 点为线段的中点， ， ． 综上，线段的长为或． 12．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期中）西安某文化创意公司为推广古都文化，计划推出一款“长安印象”系列文创茶叶罐、该茶叶罐的设计灵感来源于西安大雁塔的唐代莲花纹样和城市徽章．设计者给出了茶叶罐的从不同方向看的视图，如图所示（单位：mm）． (1)图中的立体图形的名称是：_____． (2)请你按照视图求这个茶叶罐的表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三个方向看几何体，计算圆柱的表面积，正确还原几何体是解题关键． （1）根据从左面看和从正面看是长方形，则该几何体是柱体，再由从上面看为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知条件判断，图中的立体图形的名称是：圆柱； 故答案为：圆柱． （2）， ， 制作一个茶叶罐所需铁皮的表面积为． 15．（25-26七年级上·福建三明·期中）（1）请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从正面、上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】（1）画图见解析；（2）2 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体．解题的关键是会画从不同方向看到的几何体的形状． （1）根据从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图画图即可． （2）在能够添加的位置添加小正方体，再表示在从上面看到的图形中，从而可得答案． 【详解】解：（1）从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示： ． （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从正面、上面看到的这个几何体的形状图不变，小正方体的数量如图所示， ∴最多可以再添加个小正方体． 16．（25-26七年级上·河北承德·期中）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，，点A、B在线段上，点C和点D分别是和的中点，则 ； ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，，求的度数； ②若，，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1），24；（2）①；② 【分析】本题主要考查线段中点的性质、角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握线段中点的性质、角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据线段的和差关系可进行求解； （2）①由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解； ②同理①可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点C和点D分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为，24； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵射线和射线分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 几何图形初步 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点全面梳理（表格版） 模块 知识点 核心内容 易错提示 几何图形的认识 立体图形与平面图形 1.立体图形：各部分不共面（长方体、圆柱、圆锥等）； 2.平面图形：各部分共面（三角形、圆、线段等） 混淆“圆柱”与“圆锥”的侧面特征；误将“球”归为平面图形 立体图形的视图 1.主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）； 2.由视图还原几何体的基本思路 还原几何体时漏算隐藏的小正方体；视图方向判断错误 点、线、面、体 基本关系 1.体→面→线→点（静态）； 2.点动成线、线动成面、面动成体（动态） 混淆“线动成面”与“面动成体”的实例；忽略“棱是面的交线”本质 直线、射线、线段 表示方法 1.直线：直线(或直线)； 2.射线：射线(端点在前)； 3.线段：线段(或线段) 射线表示时端点顺序错误；直线与射线混淆“无限延伸”方向 基本事实 1.两点确定一条直线； 2.两点之间，线段最短 应用“两点之间线段最短”解决实际问题时，误将“线段”等同于“距离” 线段计算 1.中点：若是中点，则； 2.等分点：等分点将线段分等份 忽略“点在线段延长线上”的分类情况；等分点比例计算错误(如三等分点取反) 角的相关概念与计算 角的定义与表示 1.定义：公共端点的两条射线组成(静态)；射线绕端点旋转形成(动态)； 2.表示：、等 角的表示漏写顶点字母；混淆“角的边”(射线)与“线段” 角的度量与换算 1.单位：，； 2.特殊角：周角、平角、直角 度分秒换算时进制错误(误按10进制计算)；角的大小与边的长短无关 角的平分线与等分线 1.角平分线：若平分，则； 2.等分线分角为等份 忽略“射线在角外部”的分类；等分线靠近的边判断错误 余角与补角 1.余角：和为(同角/等角的余角相等)； 2.补角：和为(同角/等角的补角相等) 混淆“余角”与“补角”的度数和；忽略“互为余角/补角”的双向性 方位角 定义与表示 1.以正北/正南为基准，先北/南后东/西(如北偏东)； 2.方位角的相对性 方位角描述时基准错误(先东/西后北/南)；忽略两点间方位角的反向关系 二、重难点突破(表格版) 重点难点 突破策略 典型例题指引 立体图形与展开图互化 1.正方体展开图：牢记“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”型，排除“田”“凹”型； 2.实物模拟：用纸片折叠验证相对面 正方体展开图中相对面判断；由展开图求几何体的表面积/体积 线段的分类讨论计算 1.确定动点/分点的位置：在线段上、线段延长线(两种方向)； 2.用参数表示线段长度(如设) 已知，点在直线上，，求的长(双解) 角的分类讨论计算 1.确定射线位置：在角内部、角外部； 2.旋转问题分顺时针/逆时针方向 已知，作射线，，求(双解) 线段与角的类比探究 1.迁移规律：中点↔角平分线、线段等分点↔角等分点； 2.从特殊到一般(如等分点) 线段中点问题结论迁移到角平分线问题；等分点对应的线段/角的长度关系 三、高频易错点警示(表格版) 易错点类型 错误表现 规避方法 概念混淆类 1.直线、射线、线段的“延伸性”混淆； 2.余角与补角的定义混淆； 3.视图与几何体的对应关系混淆 1.用“端点个数+延伸方向”区分三线； 2.牢记“余角和90°，补角和180°”口诀； 3.画视图时标注方向 计算失误类 1.度分秒换算进制错误(如)； 2.线段/角的和差计算漏加/漏减 1.换算时“度→分→秒”逐级换算，保留60进制； 2.计算前画图形标注已知条件 分类遗漏类 1.线段计算忽略“点在线段延长线上”； 2.角计算忽略“射线在角外部”； 3.旋转问题漏算旋转方向 1.审题时标记“直线”“射线”等关键词，明确位置范围； 2.用“分类树”列出所有可能情况 图形理解类 1.正方体展开图中相对面判断错误； 2.由三视图还原几何体时漏算小正方体 1.用“相对面不相邻”原则验证； 2.分层标注俯视图中各位置的小正方体个数 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】立体图形的三视图 1.核心知识点总结 主视图、左视图、俯视图的观察方向； 由三视图描述几何体的形状。 2.高频考点梳理 给出几何体画三视图； 由三视图判断小正方体的个数(最少/最多)。 3.易错点警示 左视图的观察方向错误(从左向右看而非从右向左)； 还原几何体时漏算隐藏的小正方体。 4.解题技巧拆解 画三视图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则； 用“俯视图定位置，主/左视图定高度”的方法确定小正方体个数。 【例题1】．（25-26七年级上·重庆·期中）用12个大小相同棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求出该几何体的表面积（含底面）； 【变式题1-1】．（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）如图，从上面看到的几何体的形状图，数字表示这个位置小正方体的个数，若正方体棱长为3，画出从正面看、从左面看的视图，并求该几何体的表面积． 【变式题1-2】．（24-25七年级上·河南南阳·期末）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数． (1)填空：__________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成，最多由__________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看该几何体的视图，并用阴影涂黑． 【变式题1-3】．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是______（包含底部）； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加______个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加______个小正方体． 【题型2】正方体展开图与相对面问题 1.核心知识点总结 正方体展开图的三种类型：“1-4-1”“2-3-1”“2-2-2”(无“田”“凹”型)； 相对面的判断：“Z”字形两端、间隔一行/一列。 2.高频考点梳理 由展开图判断相对面的数字/汉字； 排除不能围成正方体的展开图。 3.易错点警示 误将“田”型或“凹”型展开图当作正方体展开图； 相对面判断时忽略“间隔一个面”的原则。 4.解题技巧拆解 标记展开图中的相对面(用相同符号标注)； 折叠验证：想象将展开图沿棱折叠，相邻面一定不相对。 【例题2】．（25-26六年级上·山东烟台·期中）爱学习的小明将“数学很有趣”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则这五个字相对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．趣 【变式题2-1】．（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个小立方块的六个面分别涂上了六种不同的颜色，从三个不同方向看到的情形如图所示．下面说法正确的是（    ） A．白色的对面是黄色 B．黄色的对面是绿色 C．黑色的对面是白色 D．绿色的对面是蓝色 【变式题2-2】．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数之和相等，求的值． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是一个正方体的平面展开图，若还原成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则的值为 ． 【题型3】线段中点与等分点计算 1.核心知识点总结 中点：；等分点：(靠近端点)； 线段和差：(点在线段上)，(点在线段延长线上)。 2.高频考点梳理 已知中点求线段长度； 多中点/等分点的综合计算(如“中点+三等分点”)。 3.易错点警示 等分点的位置判断错误(如“靠近点”与“靠近点”混淆)； 忽略“点在线段延长线上”的情况，导致漏解。 4.解题技巧拆解 画线段图标注已知条件和所求线段； 用参数表示：设线段总长为，按比例计算各段长度。 【例题3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（   ） A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有 C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定 【变式题3-1】．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）两个钉子P和Q钉在细木棍上，且靠近木棍的同一端．钉子P在木棍的三等分点上，钉子Q分木棍的长度比为，测量得两个钉子间的距离为2，则木棍的长为 ． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，点C是线段外任意一点，点E是中点． (1)在图中画出射线和直线；延长线段到点D，使； (2)求线段的长． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【题型4】角平分线与角的和差倍分计算 1.核心知识点总结 角平分线：； 角的和差：(在内部)，(在外部)。 2.高频考点梳理 已知角平分线求角的度数； 多角平分线的综合计算(如“角平分线+角平分线”)。 3.易错点警示 角平分线的反向延长线判断错误； 忽略“射线在角外部”的分类讨论。 4.解题技巧拆解 画角的示意图，标注角平分线和已知角度； 利用“整体思想”：，无需单独求每个小角。 【例题4】．（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，直线与相交于点，，一个直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，当平分时，的值为 ． 【变式题4-1】．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·全国·周测）已知O是直线AB上一点，作射线OC． (1)如图①，若ON平分，则的度数为________． (2)如图②，若OC平分比大，求的度数． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【题型5】分类讨论求线段长度(提升) 1.核心知识点总结 点的位置分类：在线段上、线段的延长线(两种方向)； 线段长度公式：(数轴背景下)。 2.高频考点梳理 已知线段总长和部分线段长，求另一部分线段长(双解/多解)； 数轴上的线段问题(结合坐标计算)。 3.易错点警示 只考虑点在线段上的情况，忽略延长线的情况； 数轴上计算线段长度时，混淆“坐标差”与“绝对值”。 4.解题技巧拆解 审题时标记关键词“直线”“射线”(暗示需分类)； 用“分类树”列出所有可能位置：点在上、的延长线(侧)、的延长线(侧)。 【例题5】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段，反向延长线段至C，使，D为直线上一点，且，若，求t的值． 【变式题5-1】．（2025七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 【变式题5-2】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，求线段的长度． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·江西宜春·月考）数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．一般地，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，那么两点间的距离可以表示为，线段的中点所表示的数为．比如，，那么两点间的距离，线段的中点所表示的数为．如图，若数轴上的点表示的数为，点表示的数为8． 应用以上知识解决下列问题： (1) ______，的中点所表示的数为______； (2)数轴上另有一点，位于点右侧，且点到点，点的距离之和为16，求点表示的数； (3)若点是数轴上任意一点，点位于两点之间，已知点到点的距离为2，点到点的距离为3，为线段中点，为线段中点，求点到点的距离． 【题型6】分类讨论求角的度数(提升) 1.核心知识点总结 射线位置分类：在角内部、角外部； 角的旋转分类：顺时针旋转、逆时针旋转。 2.高频考点梳理 已知角的度数和射线位置关系，求未知角(双解/多解)； 角的旋转问题中，分阶段讨论旋转角度。 3.易错点警示 只考虑射线在角内部的情况，忽略外部情况； 旋转问题中漏算“旋转超过180°”的情况。 4.解题技巧拆解 画两种情况的示意图(内部/外部)，分别标注角度； 旋转问题中，用“旋转角=最终角度-初始角度”计算，注意正负号(顺时针为负，逆时针为正)。 【例题6】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【变式题6-1】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【变式题6-2】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【变式题6-3】．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【题型7】线段动点问题探究(培优) 1.核心知识点总结 动点速度公式：路程速度时间()； 线段长度的动态表示：用时间表示线段长度(如)。 2.高频考点梳理 动点运动过程中，线段长度的不变性探究； 动点相遇问题、中点问题的综合应用。 3.易错点警示 动点运动方向判断错误(如“往返运动”漏算返回过程)； 用静态思维解决动态问题，未用参数表示线段。 4.解题技巧拆解 设运动时间为，用表示各线段长度； 结合数轴或线段图，分析动点的运动范围(如的取值范围)； 不变性探究：化简含的表达式，若结果不含，则长度不变。 【例题7】．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，，是线段上一点，且．动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，运动的时间为 (1)，； (2)当时，的长为______； (3)用含有的代数式表示______； (4)当为的中点时，的值为______； (5)将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ①在点、点运动过程中，、的距离为时，直接写出的值为 ②在点、点运动过程中，时，直接写出的值为___． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）数轴是学习有理数的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，直观发现两个重要的结论：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．利用以上结论解决下列问题：如图，已知数轴上有A，B，C 三个点，它们表示的数分别是． (1)A，C两点之间的距离为 ，线段的中点表示的数为 ； (2)若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 当t为何值时，点P与点Q相遇？并求出相遇点所表示的数； (3)在（2）的条件下，若点P、Q均运动到对方起点后停止（不返回），若动点M同时从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，请问是否存在某一时刻，使得点M、P、Q三个点中的任意一点恰好是另外两点的中点．若存在，请直接写出符合条件t的值，并写出求解t的值的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【问题探究】 在一条数轴上，为原点，点对应的数为4，点对应的数为． （1）直接写出：的中点对应的数为 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒．求当为何值时，的中点所对应的数为5.5？ 【拓展延伸】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为； 若数轴上点的对应数为，点的对应数为，点为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为． 以此类推…… （3）在（2）的条件下，若点为最靠近的五等分点，点为的中点，是否存在，使得为定值？若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【题型8】角的旋转综合探究(培优) 1.核心知识点总结 旋转角的定义：射线旋转前后的夹角； 动态角的表示：用旋转时间表示角的度数(如)。 2.高频考点梳理 旋转过程中，角的和差倍分关系探究； 旋转问题中，角平分线的动态性质。 3.易错点警示 旋转方向混淆(顺时针/逆时针)导致角度计算错误； 忽略旋转的周期性(如旋转一周后重复)。 4.解题技巧拆解 设旋转时间为，用表示动态角(如每秒旋转，则旋转角为)； 分阶段讨论：当旋转角跨越特殊角(如、)时，角的和差关系变化。 【例题8】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式题8-1】．（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【变式题8-3】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【题型9】几何图形规律探究(培优) 1.核心知识点总结 线段计数规律：个点最多连条线段； 角的计数规律：从一点引条射线，最多有个角。 2.高频考点梳理 线段/角的计数规律探究； 由特殊到一般，推导项规律(如等分点对应的线段长度)。 3.易错点警示 计数时重复或遗漏(如线段计数时漏算隐藏线段)； 规律推导时，未验证特殊值(如、时是否成立)。 4.解题技巧拆解 从特殊值入手：计算、、时的结果，寻找规律； 用代数方法验证：推导一般式后，代入特殊值检验。 【例题9】．（25-26七年级上·广东清远·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·重庆·期末）如图1，点是直线上一点，射线从的位置开始绕点顺时针方向旋转，当转到位置时，立即反向旋转，当旋转到位置时，又立即反向旋转，……，如此反复． 按这种方式操作，第1秒从旋转得到射线，第2秒从射线旋转得到射线，第3秒从射线旋转得到射线，……，第秒从射线旋转得到射线．例如，图2所示，当，时，射线与射线恰好重合； 问题解决： (1)当，时，射线与射线，所成的角为，， 我们称的值为射线关于的关联值，记为． ①当时，的值是_____； ②的最大值是_____． (2)，时，射线平分，求的值． (3)，时，，直接写出可能的值．（选取一种情况说明理由） 【变式题9-2】．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【变式题9-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【题型10】新定义与材料阅读题（培优） 1.核心知识点总结 新定义本质：基于线段/角的和差、中点、角平分线等基础性质衍生； 阅读关键：提取定义中“限定条件”（如折线、特定位置、倍数关系）和“量化标准”（如长度/度数相等）。 2.高频考点梳理 定义理解：判断图形是否满足新定义； 计算应用：结合新定义求线段长度/角的度数； 规律探究：推导新定义下的特殊关系（如与中点、角平分线的联系）。 3.易错点警示 漏看新定义的“限定词”（如“折线”“射线在内部”）； 忽略分类讨论； 混淆新定义与已学概念。 4.解题技巧拆解 精读材料，圈画“关键词”（限定条件、量化标准）； 转化定义：将文字描述转化为数学表达式（如“长度平分”→）； 结合图形：标注已知条件，关联已学知识（和差、等分点）求解； 规律推导：从特殊值入手，验证一般结论。 【例题10】．【阅读新知】 如图①，射线在内，图中共有三个角、和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的倍，则称射线是的“巧线”． 【理解运用】 （1）的角平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） 【拓展提升】 如图②，一副三角板（分别含，，和，，）如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒． （2）求为何值时，射线是的“巧线”？ （3）若三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻，使三条射线、、中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 【变式题10-1】．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【变式题10-2】．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【变式题10-3】．（24-25七年级上·山西太原·期末）阅读与思考：下面是小钧课后思考的一部分笔记，请你认真阅读，并完成相应的任务． 线段与角的研究一致性 在第四章《基本平面图形》的学习中，我认识到“线段”和“角”在研究方法和研究路径上具有一致性，同时，我还发现，在解决线段和角的某些问题时，其方法也有许多一致性． 【问题1】如图1，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点，                              ①                            ② 若，，求的长． ③ 分析：在审题时，我用下划线和序号①②③分别标记了题目的已知条件，并逐次分析如下： 由条件①，可得；将条件②得到的部分结论和条件③标记在图1中． 解答：下面是我解决问题1的过程： ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是上一点， ∴． …… 反思1：我发现，根据题中的条件，能求出图1中所有线段的长度．若去掉任何一个条件，就无法求出所有线段了． 反思2：根据问题1的结果，可以发现与有特殊的数量关系，即__________． 反思3：我发现若将条件①改为“点是直线上的一点”，去掉题中的条件__________（选填“②”或“③”），与之间的关系也不会变化． 在练习中，我发现下面的问题2与问题1有许多一致性，分析时，我也用下划线和①②③标记了已知条件，可类比问题1的思路解答． 【问题2】如图2，，将射线绕点逆时针方向旋转得到射线（旋转的度数小于）．已知射线在内部，分别平分和． ①                                                        ②若，，求的度数． ③ 解答：…… 反思4：…… 任务： (1)请将阅读材料中问题1的解答过程和反思2、反思3补充完整； (2)请完成问题2的解答； (3)请类比小钧问题1的反思，写出完成问题2后你的一条反思． 同步练习 一、单选题 1．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“顺”字所在的面相对的面上标的字是（   ） A．考 B．试 C．顺 D．利 2．（2025六年级上·湖南长沙·专题练习）下列各图中，不属于正方体展开图形的是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）现要制作一个正方体文创产品，上面印有四个字（每个字各占一面，剩余两面为空白），若要使一组相对面印有“西”和“安”字，另一组相对面印有“文”和“旅”字，则下列展开图中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山西晋中·期中）用一个平面去截如图所示的五棱柱，所能截出的边数最多的截面是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 5．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．（25-26七年级上·山西晋中·期中）在今年的九三阅兵仪式上，7架歼-10表演机拉出14道彩烟，寓意着中华民族14年可歌可泣的抗战历程，也象征着14亿中国人民奔向强国复兴的绚丽前景．我们用数学的眼光看飞机拉出彩烟这类现象，抽象成的数学事实是 ． 7．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 8．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个顶点；它由 个面围成；这些面相交成 条棱． 9．（25-26七年级上·四川成都·期中）用小正方体搭一个几何体，从正面和上面看到的图形如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 10．（25-26六年级上·山东淄博·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示．搭成这个几何体用到的小正方形的个数最多是 个． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 12．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期中）西安某文化创意公司为推广古都文化，计划推出一款“长安印象”系列文创茶叶罐、该茶叶罐的设计灵感来源于西安大雁塔的唐代莲花纹样和城市徽章．设计者给出了茶叶罐的从不同方向看的视图，如图所示（单位：mm）． (1)图中的立体图形的名称是：_____． (2)请你按照视图求这个茶叶罐的表面积．（结果保留） 15．（25-26七年级上·福建三明·期中）（1）请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从正面、上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 16．（25-26七年级上·河北承德·期中）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，，点A、B在线段上，点C和点D分别是和的中点，则 ； ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，，求的度数； ②若，，用含α、β的代数式表示． 学科网（北京）股份有限公司 $