精品解析：河南省南阳市唐河县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期期中阶段性文化素质监测九年级 数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（ ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A. 第①步 B. 第②步 C. 第③步 D. 第④步 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 10. 如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 12. 若，求代数式的值为_____． 13. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 14. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线的距离为_______分米（结果保留根号）． 15. 如图，在和中，，，，，．将绕点旋转，当、、点在同一直线上时，的长是______     三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或解方程： （1）计算： （2）计算： （3）解方程： 17. 如图，在中，，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 18. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形中边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 19. 已知平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 21. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长． 22. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 23. 【阅读理解】如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图1，，求证：点E是四边形的边上的相似点； （2）如图2，在矩形ABCD中，四点均在正方形网格的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的强相似点E，并说明理由； （3）如图3，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中阶段性文化素质监测九年级 数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了化为最简二次根式，利用二次根式的性质化简，同类二次根式等知识点，牢记同类二次根式的定义是解题的关键． 先将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； D. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算，本选项运算错误； B. ，本选项运算错误； C. ，本选项运算正确； D. ，本选项运算错误； 故选：C． 3. 下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（ ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A. 第①步 B. 第②步 C. 第③步 D. 第④步 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．按照配方法的步骤逐步分析即可． 【详解】解：第③步出现错误，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上， 故选：C． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据解直角三角形的应用及三角函数值进行求解即可． 【详解】解：由题可得： ； 故选C 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 6. 如图，，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，整理得：， ∴， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点B的坐标是， ∴点的坐标为或． 故选C． 8. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为， ∵要使长方体盒子的底面积为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在RT△ABF中，∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4．故选D． 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线． 10. 如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ，故②正确； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故④正确； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ∴，故③错误． ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 若，求代数式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 13. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：坡比，， ，即， 解得， （米）， 故答案为：4． 14. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线的距离为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形， 利用勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米，分米， ∵分米，∴分米， ∴分米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在和中，，，，，．将绕点旋转，当、、点在同一直线上时，的长是______     【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．先根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，分为两种情况，结合直角三角形的两个锐角互余和锐角互余的三角形是直角三角形得出，分别结合勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图：     ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 如图： ∵、、点在同一直线上， ∴； 在中，， ∵， ∴， 故． 设， ∵， 故， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 故． 如图： ∵、、点在同一直线上， ∴； 在中，， ∵， ∴， 故． 设， ∵， 故， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 故． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或解方程： （1）计算： （2）计算： （3）解方程： 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，二次根式的性质进行计算，再根据实数的混合运算法则进行计算即可求解； （2）根据平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算法则进行计算即可求解； （3）根据配方法解一元二次方程的步骤逐步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 故， ∴，． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解一元二次方程等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 17. 如图，在中，，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 则点D即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，问题转化为过点A作的垂线，垂足即为所求． （2）根据勾股定理求得，结合列出比例式，代入计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，三角形相似的性质，熟练掌握基本作图，相似的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由，得， 故过点A作的垂线，垂足即为所求， 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 18. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形中边的长； （2）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）是黄金矩形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可． （2）求得CD，EC=BC-AB=，计算即可． 【小问1详解】 ∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． 【小问2详解】 矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴CD=，EC=BC-AB==， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 【点睛】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键． 19. 已知平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）m=1， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证； （2）根据题意可得方程有两个相等的实数根，即，可得到方程为，解出即可求解． 【详解】（1）由题意得， ， 无论取何值，方程总有两个实数根； （2）四边形是菱形， ， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ， 方程为， 解得： ， 即菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 21. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC， ∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC， ∵∠AFB+∠AFE=180°， ∴∠C=∠AFB， ∴△ABF∽△BEC； （2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE=90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得： BE=, 在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4， ∵BC=AD=5， 由（1）得：△ABF∽△BEC， ∴， 即， 解得：AF=2 ． 22. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 23. 【阅读理解】如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图1，，求证：点E是四边形的边上的相似点； （2）如图2，在矩形ABCD中，四点均在正方形网格的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的强相似点E，并说明理由； （3）如图3，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴点E是四边形的边上的相似点； （2） 解：两种情况：点E是靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， 即为直角三角形，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴点E是矩形的边上的强相似点； 点E靠近点B，边上的强相似点，如图所示； 同理可得， ∴点E是矩形的边上的强相似点. （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据三角形的外角的性质可得，再结合，再证明，结论可证； 对于（2），根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时.根据矩形的性质得 ，再根据勾股定理的逆定理说明为直角三角形， 然后证明，接下来证明，则答案可得；同理可解答第二种情况； 对于（3），根据强相似点定义得出，可得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据三角函数值得出，即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点E是四边形的边上的一个强相似点， ∴， ∴. 根据折叠的得, ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，特殊角的三角函数值等，理解新定义与相似三角形之间的关系是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $