2.5直线与圆的位置关系培优练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.5 直线与圆的位置关系 知识梳理 一、核心定义 1. 直线与圆的位置关系：包括相交（直线与圆有两个公共点）、相切（直线与圆有一个公共点，直线叫切线，公共点叫切点）、相离（直线与圆无公共点）。 1. 切线相关：从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长叫切线长。 二、核心定理与性质 （一）切线的性质 1. 切线垂直于过切点的半径（直线是圆的切线，必垂直于过切点的半径）； 1. 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 （二）切线的判定 1. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 1. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 （三）相关衍生性质 1. 圆的切线垂直于过切点的半径，反之，过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 1. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可结合切线性质推导角度关系； 1. 圆内接四边形的对角互补，可辅助求解切线相关角度问题。 三、常见题型与方法 1. 切线性质应用：已知切线，连接切点与圆心得垂直关系，结合勾股定理、角度关系求解线段长度或角度； 1. 切线判定证明：先连接半径，证明半径与直线垂直；或计算直线到圆心的距离，证明等于半径； 1. 切线长定理应用：利用切线长相等转化线段长度，求三角形周长或线段长度； 1. 角度计算：结合圆周角定理、切线性质、三角形内角和等，推导未知角度； 1. 综合计算：结合勾股定理、全等三角形、等腰三角形性质，求解线段长度、圆的半径等。 四、易错点 1. 证明切线时，遗漏“经过半径外端”或“垂直于半径”的条件； 1. 忽略切线长定理中“从圆外一点”的前提，误用定理； 1. 计算时未正确构造直角三角形，导致线段或角度关系出错； 1. 混淆圆周角与圆心角的关系，影响角度推导； 1. 综合题中未合理连接辅助线（如连接半径、直径、切线等），无法转化问题。 培优练习 一、单选题 1．如图，已知是的切线，切点为A，连接交于D，点C在上，设，，则α，β满足的关系为（     ） A． B． C． D． 2．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 3．如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 5．如图，是的直径，是的两条弦，是过点E的切线，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 7．在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 8．如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ． 9．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．当度，则 度；当，，则的周长为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 11．如图，是的切线，连接并延长交于点，点，在上，且．若，则的度数是 ． 三、解答题 12．如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 13．已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为的中点，，求线段的长． 14．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 15．如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求CD的长． 16．如图，为的直径，为的弦，C为上一点，，，垂足为D． (1)连结，判断与的位置关系．并证明； (2)若，，求的半径． 17．如图，在中，点A在上，边交于点C，于点D．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 连接，在外的上找一点，连接，根据切线的性质得出直角三角形，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质列出算式即可． 【详解】解：如图，连接，在外的上找一点，连接， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 根据圆内接四边形的性质得，， ∴， ∴， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D， ∴， ∵的周长：，，， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．由切线的性质可得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 边与相切， ， ， ，与是所对的圆心角和圆周角， ， ， 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 即圆的半径为． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接交于F，连接，由圆周角定理可得，易得，即；再根据切线的性质、平行线的性质、垂径定理可得，易得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接交于F，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是过点E的切线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选B． 6．C 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，从而可求． 【详解】解：， 又是的切线， ∴， ， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查正方形的性质、三角形的内切圆，根据正方形的性质及已知条件判断E为正方形的中心，为等腰直角三角形，根据等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】解：如图： ∵正方形的对角线互相垂直且平分，，为等腰三角形， ∴E即为正方形的中心， ∴为等腰直角三角形， 其中， 设的内切圆半径为r，周长为C， 则利用等面积法可得， 则， 故选：D． 8． 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键． 连接，根据切线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，最后利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，． 故答案为：． 9． / 【分析】利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；过点作于点G，连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，证明；然后依次求出，，即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 过点作于点G，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10． 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解： ∵直线与x轴正方向夹角为， ∴设直线的解析式为，切点为C，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴． 11． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理等知识，连接，由切线性质可得，又，则，所以，则，根据是的直径，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明： 是的直径， ， ， ； （2）证明：连接，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3）解：过点作于点，    ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 13．(1)的度数是； (2)线段的长为． 【分析】（）连接，则，所以，因为切于点，所以，而于点，交于点，则，所以，则，推导出，求得，则； （）连接，由，且为的中点，得，则，所以是等边三角形，则，所以，因为，所以． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵切于点， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：如图，连接，则，由（）得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14．与相等，理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又 是大圆的弦，， ，， ． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线得到，而，再由互余关系即可证明，则； （2）设的半径为.在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得，再由，得到方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，，即， ∴， ∴； （2）解：设的半径为. 在中，， 即. 在中，， 即. ∵， ∴， 解得. 在中， ∴． 16．(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可； （2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长交于点，连接，   ， ， ； （2）解：由（1）中结论，，， ∴， ， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用，根据直角三角形的性质得到，然后由，根据等腰三角形的性质可得，紧接着根据是的平分线，得到，最后通过等量代换得出，即，因为是的半径，根据圆的切线的判定定理证明结论； （2）先根据，可判断是等腰直角三角形，得出，然后在中，利用勾股定理，结合，计算的长度，最后利用线段的和差关系求出的长度． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定定理，三角形内角和定理及勾股定理等知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $