5.5用二次函数解决问题同步训练2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.5 用二次函数解决问题 知识梳理 一、核心原理 待定系数法的本质是根据二次函数的表达式形式，结合已知条件列出关于系数（、、或、、）的方程（组），求解系数后确定函数表达式。核心依据是“函数图象经过某点，则该点坐标满足函数表达式”。 二、三种表达式形式及适用场景 （一）一般式：（） 1. 适用场景：已知函数图象经过三个不共线的点（如、、）； 1. 求解步骤：将三个点的坐标分别代入一般式，得到三元一次方程组，解方程组求出、、的值，代入即可得到表达式。 （二）顶点式：（） 1. 适用场景：已知顶点坐标，或已知函数的最值（最值为），且知道另一个点的坐标； 1. 求解步骤：先将顶点坐标代入顶点式，再将另一个点的坐标代入，得到关于的一元一次方程，求出的值，整理即可得到表达式。 （三）交点式：（） 1. 适用场景：已知函数图象与轴的两个交点坐标、，且知道另一个点的坐标； 1. 求解步骤：将两个交点坐标代入交点式，再将第三个点的坐标代入，得到关于的一元一次方程，求出的值，展开后可化为一般式。 三、常见题型与解题方法 1. 已知三点求表达式：优先选择一般式，若其中两点为与轴交点，选交点式更简便； 1. 已知顶点和一点求表达式：直接用顶点式，快速求出的值； 1. 已知与轴交点和一点求表达式：用交点式，简化计算； 1. 已知图象特征求表达式：结合开口方向（判断的符号）、对称轴、最值等特征，选择合适的表达式形式，再结合已知点求解； 1. 综合场景：如已知“蛋圆”的切线、正方形与抛物线的交点等，先根据题意确定关键条件（如顶点、交点），再选择对应形式求解。 四、关键技巧 1. 表达式选择技巧：根据已知条件灵活选择，优先选择能减少未知数个数的形式（如已知顶点选顶点式，已知交点选交点式），降低计算难度； 1. 验证技巧：求出表达式后，可将已知点的坐标代入验证，确保系数求解正确； 1. 转化技巧：交点式、顶点式可通过展开、配方等转化为一般式，满足题目对表达式形式的要求。 五、易错点 1. 代入坐标时计算错误：尤其是负数坐标代入时，符号处理不当（如代入一般式时，需平方，避免漏算符号）； 1. 选错表达式形式：如已知顶点却用一般式，增加计算量且易出错； 1. 忽略的前提：求解后未验证的值是否为0，导致函数不是二次函数； 1. 交点式中混淆交点坐标符号：如交点代入时，应为，而非； 1. 未结合图象特征验证：如已知开口向下，却求出，未及时检查纠错。 同步训练 一、单选题 1．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 3．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A．13米 B．28米 C．15米 D．16米 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 5．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．22 B．21 C．16 D．12 6．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 二、填空题 7．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为 s． 8．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是 米． 9．已知函数，其图像如图中的实曲线部分，图像上两个最高点是，，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 10．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只．设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式． (3)物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？（注：每只毛利润=每只销售价−每只进价） 12．福建历史悠久，文化底蕴深厚，专属特色文化更是数不胜数．为弘扬地方文化，让更多游客了解德化瓷器文化，某文旅公司推出多款瓷器产品．已知某小型德化瓷器的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出20件． (1)设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出___________件． (2)为让利于游客且文旅公司每天获得利润3200元，该小型德化瓷器应该降价多少元？ (3)文旅公司某职员根据日常销售情况进行分析：“按照我们这样的销售模式进行售卖，每天的利润不可能达到4000元．”你认为他分析得是否正确？若不正确，请说明理由． 13．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 14．如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m． (1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． (2)计算水柱喷射的最大高度． (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可； 【详解】解：令，则， 解得：（舍）， ∴他推出铅球的距离为m； 故选：D 3．B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数解析式与点坐标的对应关系是解题的关键． 先根据点、的高度确定其纵坐标，代入抛物线解析式求出对应的横坐标，再计算两点的水平距离． 【详解】解：∵点、距水面高为米， ∴点、的纵坐标为， 将代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴水平距离（米）， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 5．D 【分析】首先由求出点的坐标为   ，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 7． 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程，掌握以上性质是解题的关键．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得， 即， ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故答案为：． 8．200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再求出时的y值，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： ∴，，，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴内侧抛物线的解析式为， 当时，， ∴米， 故答案为：200． 9． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，矩形的面积计算，找到图中阴影部分的面积矩形的面积是解题的关键．过A作轴于D，过B作轴于E，得到四边形是矩形，根据图中阴影部分的面积矩形的面积即可得到结论． 【详解】解：过A作轴于D，过B作轴于E， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， 图中阴影部分的面积矩形的面积， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．(1) (2) (3)当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）平均每天销售量原来的销售量相对于30元的单价提高的价格； （2）销售利润单价的利润平均每天的销售量，代入即可得出与的函数关系式； （3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 规定每件售价不得高于35元， 当时，取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元． 12．(1) (2)降价10元 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该小型德化瓷器降价元，根据每件的利润销售数量销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该小型德化瓷器降价元，根据每件的利润销售数量销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该小型德化瓷器降价元，则每天可以售出的数量是 件， 故答案为：； （2）解：设该小型德化瓷器降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 让利于游客， ， 该小型德化瓷器降价元时，文旅公司每天获得利润3200元； （3）解：正确，理由如下： 设该小型德化瓷器降价元， 则 ， ， 当时，取最大值为元， ， 故他分析得正确． 13．(1) (2)不会喷射到护栏上，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为． （2）水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时，， ， 水柱不会喷射到护栏上． 14．(1) (2)水柱喷射的最大高度为22m (3)喷口高度的可调节范围为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与不等式的结合，根据题意进行平面直角坐标系的建模是解题关键． （1）根据题意可得抛物线的三个点为，，，采用待定系数法即可求出解析式． （2）将抛物线解析式化为顶点式求出最值即可． （3）设喷口高度为h，重新建立抛物线解析式，利用抛物线分别经过，，建立不等式求解． 【详解】（1）解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， ∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． （2）解： ． ，∴当时，取最大值22， ∴水柱喷射的最大高度为22m． 答：水柱喷射的最大高度为22m． （3）解：设平移后的抛物线的函数解析式为． 将代入，得，解得， 将代入，得，解得， ，即． 答：喷口高度的可调节范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $