5.5用二次函数解决问题（1）导学案2024-2025学年苏科版数学九年级下册

九年级数学导学案 课题： 5.5用二次函数解决问题（1） 主备人： 审核人： 班级： 姓 名： 学号： 【学习目标】 1. 经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识． 2. 能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值和最小值． 【学习重点】如何找出相等关系，列出函数关系式，运用二次函数求面积问题中的最大值或最小值 【学习难点】能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。 【情境创设】 如何确定二次函数 的最值. 1、当x的范围不受限制时，①当时，y有最_____值. 当x= __________时， ②当时，y有最_____值. 当x= __________时， 2、当x的范围受限制时，可以画出函数图像的简图，由简图的最高点和最低点来确定最值. ( 图一 图二 )【探索活动】 活动一：利用二次函数求解几何图形最值问题 1. 如图一，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长的篱笆围成一个矩形花圃， 设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？ 变式：如图二，其他条件和问题不变． 2.（1）若用一段长12m的铝合金型材做一个如图所示的矩形窗框，那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大？ （2）若用一段长12m的铝合金型材做一个上部是半圆、下部是矩形的窗框，那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大？ 【例题分析】 例1.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。 （1） 若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2） 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 例2．某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 问题（1）总利润= × ，单件利润= — 。 （2）在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （3）根据前面的分析我们若设每个降价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。 这里y是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。 归纳：列二次函数解应用题步骤： (1)审清题意，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，同时注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式。 (4)按结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 【拓展延伸】 1．东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y(件)的关系如下表： x(元) … 35 40 45 50 … y（件） … 750 700 650 600 … 若每天的销售量y(件)是销售单价x（元）的一次函数 （1）求y与x的函数关系式； （2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？ （3）若东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该如何确定“童乐”牌玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围． 【课后作业】 1．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？ 2．某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如果售价为x元，总利润为y元。 （1）写出y与x的函数关系式； （2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？ 3.某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为. （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式 （2）每件销售为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 4．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？ 5．一块三角形废料如图所示，∠C＝90º，∠A＝30º，AB=12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？ 6．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．求当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？ 7．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 8．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上， （1） 试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？ （2） 求这样截下的矩形铁皮周长最大值是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$