18.3分式的加法与减法讲义2025-2026学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦分式的加法与减法核心知识点，系统梳理同分母分式加减（分母不变、分子相加减）和异分母分式加减（先通分再加减）的法则，明确混合运算顺序（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号）及有意义条件（分母不为0等），构建从基础法则到运算步骤（通分、加减、因式分解、约分）再到综合应用的递进学习支架。 该资料特色在于题型系统（9种常考题型），典例与变式结合，注重方法指导（如作差法比较大小、整体代入法求值），并融入实际问题（如行程问题、农药清洗方案）。通过分层练习培养运算能力和推理意识，实际应用发展模型意识和应用意识，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识运用。

第18章 分式 第04讲 分式的加法与减法 第04讲 分式的加法与减法知识清单 知识点1——分式的加法与减法 1、 加减法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 即； . 2、 加减的一般步骤：①通分. 把各分母因式分解，找到最简公分母，运用分式的基本性质化为同分母分式； ②加减. 分母不变，分子相加减； ③因式分解. 把合并后的分子因式分解； ④约分. 约去分子分母的公因式，把结果化成最简分式. 注：分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体. 知识点2——分式的混合运算 1、 混合运算：式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号先算括号里的，能简便运算的用简便运算. 2、 分式计算有意义的条件：①分式的分母不为0； ②除数不为0（即作为除数的分式分子不为0）； ③若有0次幂则底数不为0（即作为底数的分式分子不为0）. 注：任何分式或分式计算中未知数的值都必须满足分式或分式计算有意义的条件. 常考题型 题型1——分式的加减计算…………………………………………………………………………………………01 题型2——分式的混合计算…………………………………………………………………………………………02 题型3——求分式运算中的未知部分………………………………………………………………………………03 题型4——判断分式计算结果的大小………………………………………………………………………………04 题型5——有关分式计算的特殊值…………………………………………………………………………………04 题型6——根据代数式的求值方法求分式的值……………………………………………………………………05 题型7——根据有关分式计算的条件求值…………………………………………………………………………05 题型8——利用分式的运算解决实际问题…………………………………………………………………………06 题型9——综合提升题………………………………………………………………………………………………07 知识点运用 知识点运用1 分式的加法与减法 【题型一 分式的加减计算】 【典例1】化简. （1）； （2）. 【变式1】计算. （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式2】计算的结果为_________. 【变式3】计算的结果为_________. 知识点运用2 分式的混合运算 【题型一 分式的混合计算】 【典例1】化简. （1）； （2）. 【变式1】计算. （1）； （2）； （3）； （4）. 【典例2】先化简，再求值：，再从-2、-1、0、1、2中取一个数代入其中求值. 【变式1】（1）先化简，再从-1、0、1、2、3中选一个合适的数代入求值. （2）先化简，再求值：，其中满足. 【题型二 求分式运算中的未知部分】 【典例1】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）. A. B. C. D. 【变式1】已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）. A. B. C. D. 【典例2】若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（ ）. A. B. C. D. 【变式2】若的运算结果为整式，则“”中的式子不能为（ ）. A. B. C. D. 【题型三 判断分式计算结果的大小】 方 法 作差法. 【典例1】实数满足，，若，，则M与N的大小关系是（ ）. A. B. C. D.无法确定 【变式1】已知，若分式的分子、分母都加上1，所得分式的值较原来分式的值是增大了还是减小了？请说明理由. 【题型四 有关分式计算的特殊值】 方 法 计算结果若是假分式，先化为带分式（此阶段题目一般化完之后分子不含未知数），再根据条件求特殊值. 需注意：求出的特殊值要使原式与计算结果都有意义. 【典例1】已知是整数，且为整数，则所有符号条件的的值的和为（ ）. A.12 B.15 C.18 D.20 【典例2】根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数. 结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0； 结论Ⅱ：若使M的值为整数，则的值有3个.（ ） A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对 【变式1】若为整数，则使分式的值为整数的的个数有_________个. 【变式2】若为整数，则使分式的值为整数的的个数有_________个. 【变式3】已知：，. （1） 当时，比较P与Q的大小，并说明理由； （2） 设，若是整数，求整数的值. 【题型五 根据代数式的求值方法求分式的值】 方 法 ①直接代入法：直接代入字母的数值进行代数式求值； ②整体代入法：多是倍数关系； ③消元法：根据条件用一个字母表示出另一个字母，再代入代数式进行消元求值； ④换元法：多用于条件是比值相等的形式，设比值为，用表示出字母，再代入代数式最终消去求值. 【典例1】已知且，则的值为（ ）. A. B. C.3 D.-1 【变式1】已知，计算的值是（ ）. A.-1 B.1 C.3 D. 【变式2】若分式，则分式的值等于（ ）. A. B. C. D. 【变式3】已知，，则_________. 【题型六 根据有关分式计算的条件求值】 【典例1】若的值小于-6，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【变式1】已知实数满足，且，则的值为（ ）. A.12 B.14 C. D.9 【变式2】若对任意自然数都成立，则_________，_________. 【变式3】对于代数式，定义运算“”：，例如：，若，则_________. 【典例2】设，，则的关系式是（ ）. A. B. C. D. 【题型七 利用分式的运算解决实际问题】 【典例1】某商店有A、B两种糖果，原价分别为元/千克和元/千克. 据调查发现，将两种糖果按A种糖果千克与B种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果. 现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变，则为_________. 【变式1】小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以达到，但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少才能按时到达单位？ 【变式2】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，乙旅客一半的时间以速度行走，另一半时间以速度行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度≠速度） 【变式3】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用（）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，现有（）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由. 综合提升题 【题型一 新方法】 【典例1】阅读材料：已知，求的值. 解：由得，则有，由此可得，所以. 请理解上述材料后求： （1） 已知，求分式的值； （2） 已知，用的代数式表示的值. 【题型二 找规律】 【典例1】阅读材料： 小明在做分式运算时发现如下几个等式， ；① ；② ；③ …… 小明经过思考写出了第①个等式的证明过程： ∵，∴等式成立. 解答下列问题： （1） 第⑤个等式是_________； （2） 第个等式是_________； （3） 请你写出第个等式的证明过程. 知识点运用 知识点运用1 分式的加法与减法 【题型一 分式的加减计算】 【典例1】化简. （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【变式1】计算. （1）； （2）； 解：原式 解：原式 （3）； （4）. 解：原式 解：原式 【变式2】计算的结果为____. 解析：原式. 【变式3】计算的结果为____. 解析：原式. 知识点运用2 分式的混合运算 【题型一 分式的混合计算】 【典例1】化简. （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【变式1】计算. （1）； （2）； 解：原式 解：原式 （3）； （4）. 解：原式 解：原式 【典例2】先化简，再求值：，再从-2、-1、0、1、2中取一个数代入其中求值. 解：原式. ∵， ∴当时，原式. 【变式1】（1）先化简，再从-1、0、1、2、3中选一个合适的数代入求值. （2）先化简，再求值：，其中满足. 解：（1）原式. ∵， ∴当时，原式. （2）原式， ∵，∴， ∴原式. 【题型二 求分式运算中的未知部分】 【典例1】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ A ）. A. B. C. D. 解析：■. 【变式1】已知A为整式，若计算的结果为，则（ A ）. A. B. C. D. 解析：. 【典例2】若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ D ）. A. B. C. D. 解析：原式. 【变式1】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（ A ）. A. B. C. D. 解析：原式. 【变式2】若的运算结果为整式，则“”中的式子不能为（ D ）. A. B. C. D. 解析：原式. 只要能把约去即可. 【题型三 判断分式计算结果的大小】 方 法 作差法. 【典例1】实数满足，，若，，则M与N的大小关系是（ A ）. A. B. C. D.无法确定 解析：，∴. 【变式1】已知，若分式的分子、分母都加上1，所得分式的值较原来分式的值是增大了还是减小了？请说明理由. 解：增大了，理由如下： ∵，∴增大了. 【题型四 有关分式计算的特殊值】 方 法 计算结果若是假分式，先化为带分式（此阶段题目一般化完之后分子不含未知数），再根据条件求特殊值. 需注意：求出的特殊值要使原式与计算结果都有意义. 【典例1】已知是整数，且为整数，则所有符号条件的的值的和为（ A ）. A.12 B.15 C.18 D.20 解析：∵，且，∴. 【典例2】根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数. 结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0； 结论Ⅱ：若使M的值为整数，则的值有3个.（ C ） A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对 解析：结论Ⅰ：因为，所以M的值不可以为0；结论Ⅱ：因为，若使M的值为整数，. 【变式1】若为整数，则使分式的值为整数的的个数有____3____个. 解析：∵，且，∴. 【变式2】若为整数，则使分式的值为整数的的个数有____3____个. 解析：∵，且，∴. 【变式3】已知：，. （1） 当时，比较P与Q的大小，并说明理由； （2） 设，若是整数，求整数的值. 解：（1），理由如下：，∵，∴，∴. （2）， ∵是整数，且，∴. ∴整数. 【题型五 根据代数式的求值方法求分式的值】 方 法 ①直接代入法：直接代入字母的数值进行代数式求值； ②整体代入法：多是倍数关系； ③消元法：根据条件用一个字母表示出另一个字母，再代入代数式进行消元求值； ④换元法：多用于条件是比值相等的形式，设比值为，用表示出字母，再代入代数式最终消去求值. 【典例1】已知且，则的值为（ A ）. A. B. C.3 D.-1 解析：原式，∵且，∴，∴原式. 【变式1】已知，计算的值是（ A ）. A.-1 B.1 C.3 D. 解析：原式，∵，∴，∴原式. 【变式2】若分式，则分式的值等于（ B ）. A. B. C. D. 解析：∵，∴，即，原式. 【变式3】已知，，则____1____. 解析：∵，，∴为一正两负，∴原式. 【题型六 根据有关分式计算的条件求值】 【典例1】若的值小于-6，则的取值范围为（ C ）. A. B. C. D. 解析：原式，∴. 【变式1】已知实数满足，且，则的值为（ A ）. A.12 B.14 C. D.9 解析：∵，∴即，即，∵，∴. 【变式2】若对任意自然数都成立，则________，_______. 解析：∵，∴，即，∵对任意自然数都成立，∴，，即，. 【变式3】对于代数式，定义运算“”：，例如：，若，则____5____. 解析：∵，，∴， 即，∴，,解得，. 【典例2】设，，则的关系式是（ C ）. A. B. C. D. 解析：，∴. 【题型七 利用分式的运算解决实际问题】 【典例1】某商店有A、B两种糖果，原价分别为元/千克和元/千克. 据调查发现，将两种糖果按A种糖果千克与B种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果. 现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变，则为_______. 解析：原混合单价：，调整后混合单价，∴，即， ∴，即. 【变式1】小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以达到，但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少才能按时到达单位？ 解：原速度： 应有速度： 每小时应多走： 答：小强的爸爸每小时应该多走才能按时到达单位. 【变式2】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，乙旅客一半的时间以速度行走，另一半时间以速度行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度≠速度） 解：设路程为. 则甲旅客所用时间： 乙旅客所用时间： ∵且速度≠速度，∴. ∴乙旅客先到达目的地. 【变式3】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用（）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，现有（）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由. 解：平均分成两份清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，理由如下： 设最先的农药量为1. 一次清洗： 平均分成两份清洗： ∵，∵，∴. ∴平均分成两份清洗后蔬菜上残留的农药量比较少. 综合提升题 【题型一 新方法】 【典例1】阅读材料：已知，求的值. 解：由得，则有，由此可得，所以. 请理解上述材料后求： （1） 已知，求分式的值； （2） 已知，用的代数式表示的值. 解：（1）由得，则有，即，由此可得，所以. （2）由得，则有，即，由此可得，所以. 【题型二 找规律】 【典例1】阅读材料： 小明在做分式运算时发现如下几个等式， ；① ；② ；③ …… 小明经过思考写出了第①个等式的证明过程： ∵，∴等式成立. 解答下列问题： （1） 第⑤个等式是____； （2） 第个等式是____； （3） 请你写出第个等式的证明过程. 解：（3）， ∴等式成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $