18.1.2分式的基本性质 讲义2025-2026学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦分式的基本性质这一核心知识点，系统梳理分式基本性质（分子分母乘除非零整式值不变及符号法则）、约分（定义、步骤、最简分式）、通分（定义、最简公分母、步骤）等内容，构建从基础性质到应用技能的学习支架。 资料以8类常考题型为框架，通过典例与变式结合强化知识点运用，新定义题型（如“和谐分式”“巧分式”）培养抽象能力与创新意识，综合提升题中的整体代入、换元法发展推理意识与运算能力。课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过易错点提示与综合题查漏补缺，夯实基础。

第18章 分式 第02讲 分式的基本性质 第02讲 分式的基本性质知识清单 知识点1——分式的基本性质 1、 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 即. 其中是整式. 2、 分式的符号改变法则：分式的分子、分母和分式本身均有符号，改变其中任意两个符号，分式的值不变. 即. 知识点2——分式的约分 1、 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2、 约分的一般步骤：①把分子、分母因式分解；②找到分子和分母所有的公因式（系数的最大公因数与除系数外相同因式的最低次幂的积）；③将分子、分母都除以所有的公因式. 3、 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4、 已知两个整式且其中一个能整除另一个，求商的方法：①因式分解法；②用竖式计算. 知识点3——分式的通分 1、 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2、 最简公分母：几个分式各分母的所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母. 3、 通分的一般步骤：①把各分母因式分解；②确定最简公分母（所有系数的最小公倍数与除系数外所有因式的最高次幂的积）；③根据分式的基本性质通分. 常考题型 题型1——根据分式的基本性质进行分式的变形…………………………………………………………………01 题型2——分式的倍数变化…………………………………………………………………………………………02 题型3——分式符号的改变…………………………………………………………………………………………02 题型4——最简分式…………………………………………………………………………………………………02 题型5——分式的约分………………………………………………………………………………………………03 题型6——求分式的最简公分母……………………………………………………………………………………03 题型7——分式的通分………………………………………………………………………………………………03 题型8——综合提升题………………………………………………………………………………………………04 知识点运用 知识点运用1 分式的基本性质 【题型一 根据分式的基本性质进行分式的变形】知识点易错 分式的基本性质. 其中是整式. 注意：①乘法变形中不能为0；②分式分母不能为0（分母不为0，即约分的公因式不为0）. 【典例1】下列各式从左到右变形正确的是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】下列各式中，正确的是（ ）. A. B. C. D. 【典例2】若成立，则的取值范围是_________. 【变式1】分式化简得，则应满足的条件是_________. 【典例3】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数化为整数： （1）_________；（2）_________. 【题型二 分式的倍数变化】 【典例1】若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）. A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 【变式1】将分式中的、的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）. A.扩大为原来的6倍 B.扩大为原来的9倍 C.不变 D.扩大为原来的3倍 【变式2】若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）. A. B. C. D. 【题型三 分式符号的改变】 【典例1】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ ）. ① ② ③ ④ A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 知识点运用2 分式的约分 【题型一 最简分式】 【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】分式，，，中，最简分式有（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【典例2】若为实数，分式不是最简分式，则_________. 【典例3】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”. 下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）. A. B. C. D. 【题型二 分式的约分】 【典例1】化简的结果是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】下列约分结果正确的是（ ）. A. B. C. D. 【典例2】化简： （1）； （2）. 【典例3】先约分，再求值：，其中，. 知识点运用3 分式的通分 【题型一 求分式的最简公分母】 【典例1】分式与的最简公分母是_________. 【变式1】下列三个分式，，中的最简公分母是_________. 【题型二 分式的通分】 【典例1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为_________. 【变式1】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为_________. 【典例2】通分： （1），，； （2），，. 【变式1】已知，不改变分式的值使分式，的分母与的分母相同. 综合提升题 【题型一 新定义】 方 法 已知两个整式且其中一个能整除另一个，求商的方法：①因式分解法；②用竖式计算. 【典例1】阅读下列材料，通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式. 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）. 如：，. 解决下列问题： （1） 分式是_________分式（填“真”或“假”）； （2） 将假分式化为带分式； （3） 如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值. 【典例2】我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”. 根据上述定义，解决下列问题： （1） 下列分式中是“巧分式”的有_________（填序号）. ①；②；③. （2） 若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值. （3） 若分式的“巧整式”为. ①求整式A； ②是“巧分式”吗？ 【题型二 新方法】 【典例1】阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（互不相等），求的值. 解：设，则，，. 所以，所以. 仿照上述方法解答下列问题： 已知，其中，求的值. 【变式1】已知实数满足，则_________. 【题型三 根据条件求值】 方 法 ①直接代入法：直接代入字母的数值进行代数式求值； ②整体代入法：多是倍数关系； ③消元法：根据条件用一个字母表示出另一个字母，再代入代数式进行消元求值； ④换元法：多用于条件是比值相等的形式，设比值为，用表示出字母，再代入代数式最终消去求值. 【典例1】若，则的值为_________. 【典例2】已知，，若，则的值为_________. 知识点运用 知识点运用1 分式的基本性质 【题型一 根据分式的基本性质进行分式的变形】知识点易错 分式的基本性质. 其中是整式. 注意：①乘法变形中不能为0；②分式分母不能为0（分母不为0，即约分的公因式不为0）. 【典例1】下列各式从左到右变形正确的是（ B ）. A. B. C. D. 【变式1】下列各式中，正确的是（ C ）. A. B. C. D. 【典例2】若成立，则的取值范围是____. 【变式1】分式化简得，则应满足的条件是____. 【典例3】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数化为整数： （1）____；（2）_____. 【题型二 分式的倍数变化】 【典例1】若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ C ）. A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 【变式1】将分式中的、的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ B ）. A.扩大为原来的6倍 B.扩大为原来的9倍 C.不变 D.扩大为原来的3倍 【变式2】若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ A ）. A. B. C. D. 【题型三 分式符号的改变】 【典例1】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ D ）. A. B. C. D. 【变式1】如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ B ）. ① ② ③ ④ A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 知识点运用2 分式的约分 【题型一 最简分式】 【典例1】下列分式中，不是最简分式的是（ D ）. A. B. C. D. 【变式1】分式，，，中，最简分式有（ C ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【典例2】若为实数，分式不是最简分式，则____. 解析：由题意得可能有因式或或都有，∵为实数，∴①若有因式，则；②若有因式，则，综上. 【典例3】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”. 下列分式中，是“和谐分式”的是（ B ）. A. B. C. D. 【题型二 分式的约分】 【典例1】化简的结果是（ D ）. A. B. C. D. 【变式1】下列约分结果正确的是（ C ）. A. B. C. D. 【典例2】化简： （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【典例3】先约分，再求值：，其中，. 解：原式， 当，时，原式. 知识点运用3 分式的通分 【题型一 求分式的最简公分母】 【典例1】分式与的最简公分母是____. 【变式1】下列三个分式，，中的最简公分母是____. 【题型二 分式的通分】 【典例1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为______. 【变式1】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为______. 【典例2】通分： （1），，； （2），，. 解：； 解：； ； ； . . 【变式1】已知，不改变分式的值使分式，的分母与的分母相同. 解：∵， ∴， . 综合提升题 【题型一 新定义】 方 法 已知两个整式且其中一个能整除另一个，求商的方法：①因式分解法；②用竖式计算. 【典例1】阅读下列材料，通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式. 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）. 如：，. 解决下列问题： （1） 分式是___真____分式（填“真”或“假”）； （2） 将假分式化为带分式； （3） 如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值. 解：（2）. （3）， ∵为整数，分式的值为整数，∴. 【典例2】我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”. 根据上述定义，解决下列问题： （1） 下列分式中是“巧分式”的有___①③___（填序号）. ①；②；③. （2） 若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值. （3） 若分式的“巧整式”为. ①求整式A； ②是“巧分式”吗？ 解：（2）由题意得，∴. （3）①由题意得. ②∵，∴是“巧分式”. 【题型二 新方法】 【典例1】阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（互不相等），求的值. 解：设，则，，. 所以，所以. 仿照上述方法解答下列问题： 已知，其中，求的值. 解：设，则，，， ∴， ∴，即， ∵，∴， ∴. 【变式1】已知实数满足，则__或__. 解析：设，则，，， ∴，解得或， ∴①当时，原式；②当时，原式. 综上，或. 【题型三 根据条件求值】 方 法 ①直接代入法：直接代入字母的数值进行代数式求值； ②整体代入法：多是倍数关系； ③消元法：根据条件用一个字母表示出另一个字母，再代入代数式进行消元求值； ④换元法：多用于条件是比值相等的形式，设比值为，用表示出字母，再代入代数式最终消去求值. 【典例1】若，则的值为______. 解析：方法一：. 方法二：由题意得，∴原式. 【典例2】已知，，若，则的值为____5____. 解析：由题意得，化简得， 把代入得， ∵，∴，即，变形得，又∵，∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $