21.4二次函数 应用专项训练2025-2026学年沪科版数学九年级上册

二次函数的实际应用专项训练 1．（天津中考）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192㎡；③菜园ABCD面积的最大值为200㎡．其中，正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2．（西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为15米，若平行于墙的一边长不小于8米，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为( ) A.48㎡,37.5㎡ B.550㎡, C.50㎡,37.5㎡ D.48㎡,32㎡ 3.（宜昌中考）如图，一名学生推铅球，铅球进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）间的关系是，则铅求推出的距OA= 4.（沈阳中考）如图，王叔叔想用长为60米的栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈CD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边＝ 米时，羊圈的面积最大. 5.（湖北中考）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000㎡的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元／㎡）与其种植面积x（单位：㎡）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700;乙种蔬菜的种植成本为50元／㎡ （1）当 （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这1000㎡土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10％，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a％，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 6．（益阳中考）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为： （1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ （2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m >0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m 的值是多少？ （3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 7．（温州中考）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 8．（鞍山中考）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元／kg，销售价格不高于18元／kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元／kg）之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求y与x的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 9．（丹东中考）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系. （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 10．（辽宁中考）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） ··· 50 60 70 ... 月销量y（台） ··· 90 80 70 ... （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 11．（菏泽中考）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B 两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米． （1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； （2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 12．（湖州中考）某水产经销商以每千克30元的价格购进-批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元／千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元／千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x 为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 13．（盘锦中考）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元／件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价 x／万元 ··· 24 26 28 30 32 ··· 月销售量 y／件 ··· 52 48 44 40 36 ··· （1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围） （2）该产品今年三月份的售价为35万元／件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元／件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元. 14．（丹东中考）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元／件） 60 65 70 销售量y（件） 1400 1300 1200 （1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30％，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 15．（呼和浩特中考）已知某厂以t小时／千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0．1<t ≤1），且每小时可获得利润60元. （1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t =1时，y=180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明； （2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克； （3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润. 16．（宿迁中考）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元／千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元／千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元／千克）之间的函数表达式： （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 参考答案 1．解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m,当AB=6时，，解得x=28, AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确； 菜园ABCD面积为192㎡， 整理得：，解得x=24或x=16,AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192㎡，故②正确； 设矩形菜园的面积为y㎡，根据题意得：20<26,∴当x=20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴正确的有2个，故选：C． 2． 解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为，则(8≤x≤15） ∴S有最大值，当x=10时，此时 墙长为15m，∴当x=15时，S取最小 此时 ∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50㎡，37.5㎡．故选：C． 3． 解：令y=0,则(x+4)=0,解得： x=10或x=-4（不合题意，舍去），∴A(10,0) ∴0A=10m. 故答案为：10． 4． 解：设AB为x米，面积为S平方米，由题意可得：：当x=15时，S取得最大值，即AB=15米时，羊圈的面积最大，故答案为：15． 5．解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元／㎡）与其种植面积x（单位：㎡）的函数关系式为y=kx+b,把（200,20），（600,40）代入得：解得： 当600<x≤700时， y=40, ∴当y=35时， ，解得：x=500,故答案为：500； （2）当200≤x≤600时，W=x( ：.抛物线开口向上， ：当x=400时，W有最小值，最小值为42000，此时，1000-x=1000-400=600,当600≤x≤700时， W=40x+50(1000-x)=-10x+50000, ∵-10<0,∴当x=700时，W有最小值为：-10×700+50000=43000, ∵42000<43000, ∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400㎡，乙种蔬菜的种植面积为600㎡时，W最小； （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600=30000（元），则甲种蔬菜的种植成本为42000-30000=12000(元), 由题意得：=28920, 设a%=m,，整理得： 解得：（不符合题意，舍去），∴a%=20%,∴a=20, 答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元. 6．解：（1）当x=10时，答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元； （2）由题意得：当x=m时， （舍去），∴m=8 （3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32-t），一年后获利为W万元，由题意得， ∴当t=4时，W最大＝16，32-t=28（万元），∴投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元. 7．解：（1）∵8-6=2，抛物线的顶点坐标为（2,3），设抛物线为 y=a，把点A（8,0）代入得：36a+3=0,，解得：.抛物线的函数表达式为当x=0时，44,球不能射进球门. （2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为 把点（0,2.25）代入得：2. 解得m=-5（舍去）或m=1, ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 8．解：（1）设每日销售量y（kg）与销售价格x（元／kg）之间满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b,解得∴y与x的函数解析式为y=-100x+3000; （2）设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元， 根据题意得，W=(x-6-2)(-100x+3000) ∵a=-100<0 对称轴为x=19，销售价格不高于18元／kg， ∴当x＝18时，w有最大值为12000元， ∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元． 9．解：（1）根据题意设y=kx+b, 当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则解得：，则y与x 的函数关系式；y=-50x+1200(4≤x≤7) （2）定价为x元，每千克利润（x-4）元， 由（1）知销售量为y=-50x+1200(4≤x≤7) ,则(x-4) (-50x+1200)=1800, 解得：（舍去）， 超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元； （3）设利润为W元， 根据题意可得：W=(x-4)(-50x+1200)即 ∴a=-50<0，对称轴为x=14, ∴当x<14时，W随x的增大而增大， 又∵4≤x≤7, ∴x=7 ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．10．解：（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y=kx+b，把（50，90）和（60,80）代入得：解得∴y=-x+140; （2）规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，.40≤x≤80 设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元， 根据题意得，W=(x-40)y=(x-40)(-x+140) ∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 11．解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120-3x)米，根据题意得： S=x(120-3x)= ∴当x=20时，S取最大值1200， ∴120-3x=120-3×20=60, ∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米； （2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2-m ＝（2400-m）株， 学校计划购买费用不超过5万元， ∴25m＋15（2400-m）≤50000，解得m≤1400 ∴最多可以购买1400株牡丹． 12．解：（1）设y关于x的函数表达式为y=kx+b (k≠0)，将x=50,y=100和x=40, y=200分别代入，得：，解得：∴y关于x的函数表达式是：y=-10x+600. (2) 该二次函数的对称轴是x=45，在30≤x<60的范围内，W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 13．解：（1）在表格取点（30,40），（32,36），设一次函数的表达式为：y=kx+b, 则，解得：则一次函数的表达式为：y=-2x+100; （2）①设三月的成本为m万元， 当x=35时， y=-2x+100=30, 由题意得：450=30(35-m)，解得： m=20,即三月份每件产品的成本是20万元； ②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20-14=6, 由题意得：W=y(x-6)-450=(-2x+100) 则抛物线的对称轴为x=28, 则x=25时，w取得最小值，此时，W=500即四月份最少利润是500万元. 14．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y =kx+b, 60k+b=1400 解得，即y与x之间的函数表达式是y=-20x+2600;(2)(x-50)(-20x+2600)=24000,解得， 尽量给客户优惠，这种衬衫定价为70元； （3）由题意可得， 该衬衫的每件利润不允许高于进货价的 30％，每件售价不低于进货价， ∴50≤x, (x-50)÷50≤30% 解得， 50≤x≤65，∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500,答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 15．解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 令，当t=1时，y=180, ∵当0.1<t≤1时，t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小， 的值随t的增大而减小， 随t的增大而减小， ∴当t=1时，y取最小，他的结论正确. （2）由题意得：60整理得： 解得：（舍）， 即以小时／千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品 ∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克； （3）生产680千克该产品获得的利润为： 整理得： ∴当，y最大，且最大值为207400元． ∴该厂应该选取小时／千克的速度生产，此时最大利润为207400元． 16．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y =kx+b(k≠0) ，将表中数据（55,70）、 （60，60）代入得： 解得： ∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+180. （2）由题意得：（x-50）(-2x+180)=600,整理得： 解得. 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元／千克或80元／千克． （3） 设当天的销售利润为w元，则： ∵-2<0,∴当x=70时， 答：当销售单价定为70元／千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $