精品解析：山东省德州市陵城区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年义务教育学业质量素养监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，属于全等图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 已知三角形的两条边长分别为和，则第三条边长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中：①，②，③，④能确定是直角三角形的有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 5. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 6. 如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 8. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知点P（﹣3，4），关于x轴对称的点的坐标为_____． 12. 如图，已知∠BDC=142º，∠B =34º，∠C=28º，则∠A= _______ . 13. 如图，在中，是高，是中线，，，则的长为______． 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接．若，则_______． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 三、解答题（8小题，共90分） 16. 如图， （1）写出中各顶点的坐标，并画出关于轴对称的； （2）在轴上找一点，使得最小． 17. （1）等腰三角形的两边长满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|－|c＋b－a|． 18. 如图，已知．求证：． 19. 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ 20. 如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数． 21. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 22. 如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证： ⑴∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB） ⑵∠BGC=90°+∠A 23. 【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年义务教育学业质量素养监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，属于全等图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断即可． 【详解】A、两个图形不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形能完全重合，故本选项正确； C、两个图形不能完全重合，故本选项错误； D、两个图形不能完全重合，故本选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 2. 已知三角形的两条边长分别为和，则第三条边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：设三角形的第三条边长为， 则，即， 第三条边长可以是， 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 3. 下列条件中：①，②，③，④能确定是直角三角形的有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理逐一计算判断即得答案. 【详解】解：①若，因为， 所以，即， 所以是直角三角形； ②若，则, 所以是直角三角形； ③若，则， 所以不是直角三角形； ④若，则，所以， 所以是直角三角形； 综上，能确定是直角三角形的有①②④； 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的内角和和直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和是是关键. 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 5. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 6. 如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格可推出，据此即可求解； 【详解】解：由网格可知： ∴ ∴ ∴ 故选：C 7. 如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 8. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等， 设给定角为． 若为顶角，则底角度数为． 若为底角，则底角度数为． ∴ 底角为或． 故选：D． 9. 如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查翻折图形的性质，解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形，利用折叠的性质，正方形的性质，以及图形的对称性特点解题． 【详解】解：由折叠可知：，点，是关于的对称， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知点P（﹣3，4），关于x轴对称的点的坐标为_____． 【答案】(-3，-4) 【解析】 【详解】试题分析：关于x轴对称，则有横坐标不变，纵坐标互为相反数． 故为(-3，-4) 12. 如图，已知∠BDC=142º，∠B =34º，∠C=28º，则∠A= _______ . 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质得到∠1=∠DAC+∠C，∠2=∠DAB+∠B，则有∠1+∠2=∠DAC+∠C+∠DAB+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，然后把∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°代入进行计算即可得到∠BAC的度数． 【详解】解：连AD并延长，如图， ∵∠1=∠DAC+∠C，∠2=∠DAB+∠B， ∴∠1+∠2=∠DAC+∠C+∠DAB+∠B， ∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C， 而∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°， ∴142°=∠BAC+34°+28°， ∴∠BAC=142°-34°-28°=80°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的外角解决问题，属于中考常考题型． 13. 如图，在中，是高，是中线，，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】 ∵是中线 故答案为：3 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据垂直平分线的性质可得，进而求得，，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 三、解答题（8小题，共90分） 16. 如图， （1）写出中各顶点的坐标，并画出关于轴对称的； （2）在轴上找一点，使得最小． 【答案】（1） 如图所示，即为所求 ，， （2） 如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，轴对称的性质求线段和的最短距离； （1）根据坐标系写出中各顶点的坐标，根据轴对称的性质画出轴对称图形； （2）连接和的对称点，该直线与y轴的交点就是值的最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. （1）等腰三角形的两边长满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|－|c＋b－a|． 【答案】（1）22；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出、，再根据三角形三边关系分情况讨论求解．（2）三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， 解得：， ①4是腰长时，三角形的三边分别是4、4、9， ∵， ∴不能组成三角形． ②4是底边时，三角形的三边分别是4、9、9， 能组成三角形， 周长， 综上所述，等腰三角形的周长是22． （2）的三边长分别是、、， ，，， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是根据三角形三边的关系来判定是否能构成三角形或绝对值内式子的正负． 18. 如图，已知．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中，， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】略 19. 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ 【答案】立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m 【解析】 【分析】根据“在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半”，可得BC=AB，DE=AD，结合条件，即可得到答案. 【详解】解：∵DE⊥AB，BC⊥AC，∠A=30°， BC=AB，DE=AD ∴BC=X7.4=3.7(m) 又AD=AB ∴DE=XAD=X3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m 【点睛】直角三角形的性质及其重要推论，时解题的关键.三角形中出现，30°，60°或45°角时，往往需要考虑构造直角三角形，并利用三角形的性质和推论求解. 20. 如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E的度数． 【答案】∠E的度数是25° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，根据角平分线的定义求出∠ECD的度数，根据三角形外角的性质计算得到答案． 【详解】解：∵∠ACD是ABC的外角， ∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+80°=110°， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠ECD=∠ACD=×110°=55°， ∵∠ECD是EBC的外角， ∴∠ECD=∠B+∠E， ∴∠E=∠ECD∠B=55°-30°=25°． 答：∠E的度数是25°． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 21. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】 证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证： ⑴∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB） ⑵∠BGC=90°+∠A 【答案】 （1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G， ∴∠GBC= ∠ABC，∠GCB= ∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°- （∠ABC+∠ACB）； （2）证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A， 即：∠BGC=90°+ ∠A． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠GBC= ∠ABC，∠GCB= ∠ACB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可； （2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，然后代入整理即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用． 23. 【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长． 【答案】【尝试探究】， 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； 【拓展应用】16 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究] 略 [模型建立]略 [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $