第5章 一元一次方程（单元测试）2025-2026学年人教版数学七年级上册

第5章 一元一次方程（单元测试）2025-2026学年人教版数学七年级上册 一、选择题 1．下列各式中，是方程的是 (　　) A．3-2=1 B．y-5 C．3m>5 D．x-1=3 2．已知，下列等式变形不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2 ，2 B．3 ，2 C．2 ，0 D．3 ，0 4．下列说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 6．若x=2是关于x的一元一次方程ax+3=b的解，则6a-3b+2的值是（　　） A．-1 B．-7 C．7 D．11 7．在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且.点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点.设点运动的时间为，若三角形的面积为，则的值为（　　） A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 二、填空题 10．多项式合并同类项后不含xy项，则k的值是　 　. 11．当m=　 　时，关于x的方程是一元二次方程；当m=　 　时，此方程是一元一次方程. 12．已知方程的解是，则方程的解是　 　． 13．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是　 　． 14．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折.一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款　 　元. 15．任何一个无限循环小数都可以写成分数（p，q是整数，）的形式，以为例，设，由…可知，…，所以，解方程得，于是，类比上述方法得到的分数形式是　 　． 三、解答题 16．解方程： （1） （2） 17．已知关于x的方程2k-3(x+1)=0与 有相同的解，求k的值. 18．已知数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，其中 ，b是最大的负整数， c满足， （1）求a、b、c的值； （2）若将点C向左移动t个单位长度后与点A 的距离为2，求t的值． 19．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． （1）和5关于4的“友谊数”为　 　； （2）若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； （3）若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为　 　；最小值为　 　． ②的最小值为　 　． 20．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了． 21．如图，在一条数轴上从左至右取A，B，C三点，使得A，B到原点O的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度，C到B的距离为8个单位长度． （1）在数轴上点A表示的数是　，点C表示的数是　． （2）在数轴上，甲从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点B出发也向右做匀速运动． ①若甲恰好在点C追上乙，求乙的运动速度． ②若丙从点C出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲､乙､丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为2个单位长度，求乙的运动速度． 22．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B所表示的数为b，且满足点C所表示的数为18 （1）a的值为　 　，b的值为　 　； （2）动点P从A点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点Q从点B往数轴右边以为每秒2个单位的速度运动. ①点P运动到C点需要　 　秒，点Q运动到C点需要　 　秒. ②在运动过程中点P所表示的数为x，且PB+PC的值为12，求x的值. ③若点P到达C点后，立即以同样的速度返回，点Q到达点C后，两点同时停止运动，设运动时间为t（t>0）秒，当P，Q之间的距离为2时，求t的值. 23．定义：关于的方程与（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”.例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”. （1）若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则　 　； （2）若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； （3）若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、3-2=1是等式，不含未知数，不属于方程； B、y-5是代数式，不是等式，不属于方程； C、 3m>5虽含有未知数，但是不等式，不属于方程； D、 x-1=3是等式且含有未知数x，满足方程的两个条件，因此是方程. 故答案为：D. 【分析】方程的定义：含有未知数的等式. 根据定义判断各选项即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、将x=y等号两边同时乘以-1，然后同时加1，所得结果仍是等式，选项变形成立，A不符合题意； B、若b为0，则等式无意义，B符合题意； C、等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，C不符合题意； D、由于恒为正数，且不为零，因此等式两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立，D不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据等式的基本性质判断各选项变形即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵单项式与可以合并同类项， ∴． ∴． 故答案为：A． 【分析】利用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）可得，再求解即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】A、如果，那么，故A错误； B、如果，那么，故B错误； C、如果，那么，故C正确； D、由于不知道是否为零，故D错误； 故答案为：C. 【分析】根据等式的基本性质逐项进行分析判断即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵是关于x，y的三次二项式， ∴， 解得：， 故答案为：B． 【分析】根据多项式的定义列式为，计算即可解答. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：将代入一元一次方程得：，即 将代入得：原式 故选：B. 【分析】先将代入一元一次方程得到关于a，b的等式，再对所求代数式变形，最后代入计算即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得，， 故选：D． 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，找准等量关系（杏的总数不变）.设牧童人数为x，分别根据两种分组方式表示出杏的总数，再根据总数不变列出方程． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解总是 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：A. 【分析】将x=1代入方程中可得，根据方程解总是 ，可知该方程的解与k的值无关，故可得字母k的系数应该等于0，据此推出4+b=0，7-2a=0，据此解答即可. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：如图①，当点在上，即时. ∵四边形是长方形， ∴，. ∵， ∴， ∴； ①② 如图②，当点在上，即时， ∵， ∴. ∵， ∴. ∴， 解得； 如图③，当点在上，即时，. ∴， 解得（舍去）. 综上，当的值为或6时，三角形的面积为. 故答案为：C. 【分析】根据题意， 点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点，分点P在线段CD上时；点P在线段AD上时，点P在线段AE上时三种情况，结合三角形的面积公式，分别求出点P的路程，进而求出t的值. 10．【答案】1 【解析】【解答】解：x2−2kxy−5y2＋2xy−6 ＝x2＋（2−2k）xy−5y2−6， ∵多项式x2−2kxy−5y2＋2xy−6合并同类项后不含xy项， ∴2−2k＝0， ∴2k＝2， ∴k＝1， 故答案为：1． 【分析】先将代数式变形为x2＋（2−2k）xy−5y2−6，再结合“多项式x2−2kxy−5y2＋2xy−6合并同类项后不含xy项”可得2−2k＝0，最后求出k的值即可. 11．【答案】-3；或3或 12．【答案】 13．【答案】 【解析】【解答】解：， ， 整理得，， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 【分析】先把关于y的一元一次方程整理成形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 14．【答案】288元或316元 15．【答案】 16．【答案】解：（1）去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，得：； （2）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【解析】【分析】（1）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可. 17．【答案】解：由方程2k-3(x+1)=0，得. 由方程 得 由题意，知 解得k=-1 【解析】【分析】先分别求解两个方程中的x(用k表示)，再根据两方程解相同建立关于k的方程，解出k的值. 18．【答案】（1）解：，，， ∴或， ∴或． ∴，，或1. （2）解：∵点C向左移动t个单位长度后与点A的距离为2， ∴， 当时，， ∴或， ∴或； 当时，， ∴或， ∴或； 综上所述，t的值为8或12或14或18． 【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质和最大负整数直接求出a、b、c的值即可； （2）先求出c的值，再利用数轴上两点之间的距离公式可得，再求解即可. （1）解：，，， ∴或， ∴或． ∴，，或1； （2）解：∵点C向左移动t个单位长度后与点A的距离为2， ∴， 当时，， ∴或， ∴或； 当时，， ∴或， ∴或； 综上所述，t的值为8或12或14或18． 19．【答案】（1）6 （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）3；1；1275 【解析】【解答】解：（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； 故答案为：6. （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 故答案为：3；1；1275. 【分析】(1)根据“友谊数"定义，进行求解即可； (2)根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； (3)①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出x1+x2+···+x50的最小值即可. 20．【答案】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元． 由题意得：30x+45（x+4）＝1755 解得：x＝21 则x+4＝25． 答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元． （2）设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支． 根据题意，得21y+25（105﹣y）＝2447． 解得：y＝44.5 （不符合题意）． 所以王老师肯定搞错了． 【解析】【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元，再根据等量关系“ 钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元 ”列方程组并求解即可； （2）设单价为21元的钢笔为y支，则单价为25元的毛笔为（105-y）支，再根据等量关系“ 买这两种笔需支领2447元 ”列方程并求解发现y＝44.5 ，显然答案与生活实际不相符. 21．【答案】（1），10； （2）①乙的速度为：（个单位长度/秒），②乙的运动速度为或个单位长度/秒 22．【答案】（1）-12；8 （2）3；5 【解析】【解答】解：（1）∵|a＋12|＋（b−8）2＝0， ∴a＋12＝0，b−8＝0， ∴a＝−12，b＝8． 故答案为：−12，8； （2）①根据题意得：点P运动到C点需要（秒）； 点Q运动到C点需要＝5（秒）． 故答案为：3，5； ②根据题意得：|x−8|＋|x−18|＝12， 当x＜8时，8−x＋18−x＝12， 解得：x＝7； 当8≤x≤18时，x−8＋18−x＝10≠12，不符合题意，舍去； 当x＞18时，x−8＋x−18＝12， 解得：x＝19． 答：x的值为7或19； ③当0＜t≤3时，点P表示的数为−12＋10t，点Q表示的数为8＋2t， 根据题意得：|−12＋10t−（8＋2t）|＝2， 即20−8t＝2或8t−20＝2， 解得：t＝或； 当3＜t≤5时，点P表示的数为18−10（t−3）＝48−10t，点Q表示的数为8＋2t， 根据题意得：|48−10t−（8＋2t）|＝2， 即40−12t＝2或12t−40＝2， 解得：t＝或t＝． 答：t的值为或或或t＝． 【分析】（1）利用非负数之和为0的性质可得a＋12＝0，b−8＝0，再求出a、b的值即可； （2）①利用速度、时间和路程之间的关系求解即可； ②先求出PB和PC的长，再结合PB+PC的值为12，列出方程|x−8|＋|x−18|＝12，再求解即可； ③分类讨论：第一种情况：当0＜t≤3时，点P表示的数为−12＋10t，点Q表示的数为8＋2t；第二种情况：当3＜t≤5时，点P表示的数为18−10（t−3）＝48−10t，点Q表示的数为8＋2t，再结合P，Q之间的距离为2，列出方程求解即可. 23．【答案】（1）3 （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴，解得， ∴方程化成的形式为， ∴关于的方程（为不等于0的常数）的“反对方程”为，解得 （3） 【解析】【解答】解：（1）根据“反对方程“的定义，在方程ax-b=0与方程bx-a=0中，这里a=3，b=2， 那么方程3x-2=0的"反对方程"即为2x-3=0， ∴a=3， 故答案为：3； （3），，. ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， 所以， 解得， ∴关于的方程（为不等于0的常数）的“反对方程”为， 把代入， 解得， ∴方程的解为. 【分析】（1）根据“反对方程“的定义，在方程ax-b=0与方程bx-a=0中，对照本题中关于x的方程的形式，可以确定a的值； （2）将x=3代入方程，求出b的值，然后根据"反对方程"的定义，即可确定，进而解之即可； （3）根据"反对方程"的定义可知，关于的方程与为"反对方程"，进而在第二问的基础上，发现其规律，即可确定的解. 学科网（北京）股份有限公司 $