2.7角的和与差 课件2025-2026学年 冀教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕“角的和与差”“角平分线”“余角与补角”展开，通过线段和差、中点知识类比导入，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生迁移理解角的相关概念与运算。 其亮点在于融合数学活动与核心素养，如折纸活动理解角平分线发展几何直观，小组讨论余角补角性质培养推理意识，竖式计算度分秒强化运算能力。课堂小结用表格归纳互余互补关系，清晰呈现知识结构。学生能在探究中提升数学思维，教师可直接使用结构化内容提高教学效率。

2.7 角的和与差 第二章 几何图形的初步认识 1.结合具体图形，理解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差运算，发展运算能力. 2.理解角平分线的概念及其表示方法，通过折纸活动进一步理解角平分线的意义,积累数学活动经验,发展推理能力. 学习目标 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 线段的和、差 线段中点 那么 若点C是线段AB的中点 新课导入 1.图中有几个角？它们之间有什么关系？ 2.对于角的关系，如何用数学式表示. 1.图中有3个角：. 它们的关系：与的和； 是与的差； A B O C 探究一.角的和差关系 活动1.观察下图，回答问题. 2. 新知探究 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 1.如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和． 2.如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差. 归纳 已知∠1＝103°24′28" ，∠2＝ 30°54"，求∠1+∠2 和∠1－∠2的度数. 解： 103°24′ 28" ＋30° 54" 133°24′ 82" (82" ＝ 1′22" ) 所以. 活动2.计算下列角的和与差，并归纳计算技巧. 103°24′ 28" －30° 54" 73°23′ 34" (24′28"＝ 23′88") 所以 注意：1.角的和差运算要是同单位制的加减；2.度、分、秒是60进制的. 新知探究 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 (1) 如图1，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，则 ∠AOB= °； (2) 如图2，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，则 ∠AOC= °． (3)若∠AOB =60°，∠AOC =30°，则∠BOC= ． A B O C A B O C 图1 图2 计算下列角的度数. 图3 巩固练习 B A O C 在纸上画，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边与重合.将角展开，折痕上任取一点记作点，以点为端点，沿折痕画射线.类比线段中点的定义，填空： = 2 探究二.角平分线的概念 活动1.动手完成下面的操作，并填空. 思考：如果把这样的线称之为角平分线，那么同学们用自己的话描述下它的概念. 新知探究 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 如果从一个角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成的两个角相等， 那么这条射线叫作这个角的角平分线. O B A C 几何语言 因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB， ∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC. 注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线 归纳 类似地，还有角的三等分线等. O B A C 因为 OB，OC 是∠AOD 的三等分线， 所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD， ∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD. D 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 1.射线 OC 在∠AOB的内部，下列给出的条件不能得出 OC 是∠AOB的平分线的是( ) A. ∠AOC=∠BOC B. ∠AOC+∠BOC=∠AOB C. ∠AOB=2∠AOC D. ∠BOC= ∠AOB B C B A O 巩固练习 角平分线的判定方法 当 OD 在∠AOB 的内部且满足下列情况之一时， 就可以判定 OD 是∠AOB的平分线： ① ∠AOD=∠BOD； ② ∠AOD= ∠AOB； ③ ∠BOD= ∠AOB； ④ ∠AOB=2∠AOD； ⑤ ∠AOB=2∠BOD. 归纳 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 角的 和与差 角的和与差 如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫作另两个角的和． 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差． 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线. 角的平分线 角的计算 课堂小结 1.如图，下列各式中错误的是（　　） A.∠AOC=∠AOB+∠BOC B.∠AOC=∠AOD-∠COD C.∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC C 随堂小练 基础 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是( ) A O A B C D 3.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　) A．50° B．60° C．140° D．150° C 16 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 4．如图，把一张长方形的纸条折叠后，折痕OE是∠BOB′的 ． 5．如图，OC是∠AOB内的一条射线． (1)∠AOB＝∠BOC＋ ，∠AOC＝ －∠BOC. (2)若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝____． 平分线 ∠AOC ∠AOB 10° 解：（1）原式； （2）原式 6.计算: 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 7.如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°． （1）求∠COE的度数是多少？ （2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数． 解：（1）因为是的平分线，是的平分线，所以 所以 ； （2）因为是∠AOD的平分线，，所以， 因为， 所以， 因为是的平分线， 所以. 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 2.7 课时2 余角与补角 第二章 几何图形的初步认识 1.理解补角、余角的有关概念，知道它是两角之间的数量关系； 2.掌握补角、余角的相关结论，并能利用结论进行计算和推理. 学习目标 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 如图1，将一三角板(尺)的直角顶点放在直线l上(三角板和直线在同一平面内)， 随意绕该顶点在同一平面内转动三角板(三角板总在直线的上方)，∠1与∠2 的和是否会发生变化? 1 2 图1 ∠1与∠2的和不会发生变化，都等于90°. l 情境导入 如图2，将一条线段的一个端点放在直线l上，随意绕该顶点在同一平面内转动线段(线段总在直线的上方)，∠3与∠4的和是否会发生变化? 3 4 l ∠3与∠4的和不会发生变化，都等于180°. 图2 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 补角、互补： 如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补. 例如，， ，则∠1和∠2互为补角. 余角、互余： 如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余. 例如，， ，则和互为余角. 归纳 1.判断对错 （1）90度的角叫余角，180度的角叫补角. （ ） （2）若∠1＋∠2＋∠3=90°，则∠1，∠2，∠3 互为余角. （ ） （3）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角. （ ） （4）互补的两个角不可能相等. （ ） 2.完成教材P87的做一做. 错 错 错 错 思考：在补角和余角的概念中有哪些关键？ 两个角；数量关系. 巩固练习 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 探究一.补角、余角的性质 活动1：小组讨论，∠1与∠α互为补角，∠2与∠α互为补角，∠1与∠2 的数量关系，并说明理由. 因为与互为补角，即， 所以.同理，. 所以. 结论：同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等. 思考：结合上面的分析，用自己话说说余角、补角有什么性质？ 新知探究 活动2.观察下图中由三角板摆成图形，判断∠α与∠β的关系. ∠α与∠β互为余角. ∠α＋∠β=90°. ∠α与∠β互为补角. ∠α＋∠β=180°. 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°. 解：根据题意，得∠β=∠α＋30°， 因为∠α与∠β互为补角，即∠α＋∠β=180°， 所以 ∠α＋(∠α＋30°)=180°，所以 ∠α = 75°，∠β =105° 探究二.利用补角、余角的性质求解 活动1：独自完成下列材料的问题. 问题1.∠α与∠β有哪些等量关系？ 问题2.求出∠α，∠β的大小. ∠α＋∠β=180° ∠β=∠α＋30° 活动2.填表，回答下列问题 思考：同一个锐角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？ ∠α的度数 50° n°（0＜n＜90） ∠α的余角 45° ∠α的补角 120° 40° 130° 45° 135° 60° 30° 90°－n° 180°－n° 同一个锐角的补角比它的余角多90°. 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 互 余 互 补 数量 关系 对 应 图 形 性 质 ∠1＋∠2=90° ∠1＋∠2=180° 同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等． 2 1 1 2 的余角是 ， 的补角是 . 则一个锐角的补角比它的余角大　 . 90° 课堂小结 1. 判断对错 （1）钝角没有余角，但一定有补角。 （ ） （2）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. （ ） （3）如果∠1=25°，∠2=75°，那么∠1与∠2互为余角. （ ） （4）如果∠A=x°，∠B=(90-x)°，那么∠A与∠B互余. （ ） 错 对 错 对 随堂小练 基础 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 2. 下列说法正确的是 ( ) A.互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 B.在三角形中，互余的两个角一定都是锐角 C.平角就是一条直线 D.若∠A+∠B+∠C=180°,则∠A,∠B,∠C三角互补 B 3.填空： ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 62°23′ 70°39′ x 85° 175° 58° 148° 117°37′ 109°21′ 27°37′ 90°－x 180°－x 19°21′ 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在海伦公式的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在三角形高线的探究活动中，学生需要自主升华。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过分类思想的学习，可以培养学生的规范化能力。 4.已知∠α=73°，求∠α的补角和余角. 解：∠α的补角为， ∠α的余角为. 5.如图， ∠AOC与∠COB互为余角，∠COB 与∠BOD 互为余角， ∠BOC=52°.求∠AOD的大小. 解：因为∠AOC与∠COB互为余角， 所以∠AOC=90°－∠COB=38°. 因为∠COB 与∠BOD 互为余角， 所以∠COB ＋∠BOD =90°. 所以∠AOD=∠AOC＋∠COB ＋∠BOD =128°. $