精品解析：山东省威海市环翠区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

2025—2026第一学期初三数学期中试题 一、选择题（共30分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 3. 利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式不成立的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 九（1）班名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 人数（人） 时间（小时） 那么该班名同学一周参加体育锻炼时间的平均数、众数、中位数分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知整式，整式．若是完全平方式，则a的值（） A. B. 1 C. 1或 D. 或7 9. 已知一组数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，则下列说法： ①平均数不变；②众数不变； ③中位数不变；④ 方差不变；⑤ 极差不变；其中说法正确的有（　　） A. ①②③⑤ B. ①⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 10. 的三边满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 二、填空题（共18分） 11. 已知，则值为________________． 12. 若关于的分式方程无解，则_________． 13. 若分式的值为0，则x的值为______． 14. 一组数据，，…，的平均数为10，方差为3，则，，…，的平均数为______，方差为______． 15. 根据方差公式，则这组数据的方差为______． 16. 计算：的值为______． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1） （2） 18. （1）化简． （2）先化简，再求值：，从，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 解分式方程． （1） （2） 20. 为展现川维青少年的活跃思维与良好风貌，进一步培养德智体美劳全面发展的新时代青年，重市川维中学校举办了“新岁序开，蛇全蛇美”，喜迎新年云端海报设计大赛，现从七年级和八年级参与设计大赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D： 其中，七年级学生的比赛成绩为：68，76，78，78，79，82，83，83，85，86，86，88，88，88，91，92，93，95，95，96； 八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 86 b 50.15 八年级 85.5 a 91 80.56 （1）填空：_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为在活动一设计大赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若七年级有900名学生参赛，八年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 21. 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） （1）请算出三人的民主评议得分； （2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； （3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 22. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ 23. 某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 24. 某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少； （2）在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026第一学期初三数学期中试题 一、选择题（共30分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 3. 利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积的两种表示方法求解即可得出结论． 【详解】由图可知： 原图的面积为：， 变化后图形的面积为：， 所以 故选：D 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练利用面积的两种表示方法得到平方差公式的是解题的关键． 4. 下列等式不成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A、原变形正确，故此选项不符合题意； B、原变形正确，故此选项不符合题意； C、必须规定，原变形错误，故此选项符合题意； D、原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，能够正确化简分式是解题的关键． 5. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【详解】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， ∵原分式方程的解为非负数， ∴， 即， 解得且， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件． 6. 为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意． 7. 九（1）班名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 人数（人） 时间（小时） 那么该班名同学一周参加体育锻炼时间的平均数、众数、中位数分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得． 【详解】由平均数的公式得：平均数为 由众数的定义得：众数为7 由中位数的定义得：中位数为7（这组数据按从小到大进行排序后，第23个位置上的数即为中位数） 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数的计算公式、众数和中位数的定义，熟练掌握平均数、众数、中位数的相关概念是解题关键． 8. 已知整式，整式．若是完全平方式，则a的值（） A. B. 1 C. 1或 D. 或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； 【详解】解： ， 为完全平方式 ， 或； 故选C． 9. 已知一组数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，则下列说法： ①平均数不变；②众数不变； ③中位数不变；④ 方差不变；⑤ 极差不变；其中说法正确的有（　　） A. ①②③⑤ B. ①⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差和极差的概念求解即可． 【详解】一组数据的平均数为，设这组数据的个数为个，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，则一组新的数据的平均数为，平均数不变，说法正确； 一组数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，众数可能会变，说法错误； 一组数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，中位数可能会变，说法错误； 一组数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，数据个数增加，每个数据减去平均数的平方的和不变，方差变小，说法错误； 一组数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新的数据，最大的数据和最小的数据没有改变，极差不变，说法正确． 说法正确的是． 故选：B． 【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，方差和极差的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10. 的三边满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得，由三边相等判定是等边三角形． 【详解】解： 解得：， ∴是等边三角形， 故选：C． 二、填空题（共18分） 11. 已知，则值为________________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，分式的化简．根据题意可得，再代入化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ 故答案为：5 12. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 13. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得或，且，． ∴． 故答案为：1． 14. 一组数据，，…，的平均数为10，方差为3，则，，…，的平均数为______，方差为______． 【答案】 ①. 15 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变． 已知一组数据的平均数和方差，求这组数据变换后的平均数和方差，有这样的规律平均数只要和变换一致，而方差要乘以这个数字的平方，据此计算可得答案． 【详解】解：∵一组数据，，…，的平均数为10， ∴数据，，…，的平均数是； ∵数据，，…，的方差为3， ∴数据的方差是： ， ， ， ． 故答案为：15，12． 15. 根据方差公式，则这组数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的计算公式，平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据方差公式，平均数为3，，先利用平均数的定义求出未知数据 ，再将 的值代入公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可知，数据的平均值为3， 数据组为 ，即， 则平均值为：， 解得， ． 故答案为： ． 16. 计算：的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，积的乘方，整式的加减，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据完全平方公式因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，最后进行积的乘方运算即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再进行整式的加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. （1）化简． （2）先化简，再求值：，从，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简与求值，分式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则运算即可； （2）根据分式的混合运算法则化简，再找一个合适的数作为x的值代入求值即可． 【详解】解：（1） ． （2） ， ∵且， ∴且， 取，原式． 19. 解分式方程． （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算，求出a的值，最后检验是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤计算，求出x的值，最后检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【小问2详解】 方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 20. 为展现川维青少年的活跃思维与良好风貌，进一步培养德智体美劳全面发展的新时代青年，重市川维中学校举办了“新岁序开，蛇全蛇美”，喜迎新年云端海报设计大赛，现从七年级和八年级参与设计大赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D： 其中，七年级学生的比赛成绩为：68，76，78，78，79，82，83，83，85，86，86，88，88，88，91，92，93，95，95，96； 八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 86 b 50.15 八年级 85.5 a 91 80.56 （1）填空：_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为在活动一设计大赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若七年级有900名学生参赛，八年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）87.5，88，40 （2）八年级的中位数为88分大于七年级的中位数87.5分，八年级成绩更好； （3）510人 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图，平均数，中位数，众数，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由众数，中位数的含义可求解的值，由D级所占的百分比可得m的值， （2）从中位数的角度出发进行分析可得答案； （3）由各年级的总人数乘以各自的优秀率，再求解代数和即可． 【小问1详解】 解：由七年级的成绩当中88分出现的次数最多，所以众数（分）， 由题意可得：八年级学生当中A等级人，B等级人，C等级7人，D等级人， 所以中位数落在C等级，第10个，第11个数据分别为87分，88分， 所以中位数为：（分）， 所以即， 故答案为：87.5，88，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：两个年级参赛学生中成绩优秀的学生共有510人． 21. 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） （1）请算出三人的民主评议得分； （2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； （3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】（1）甲50分；乙80分；丙70分 （2）乙将被录用 （3）丙将被录用 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，根据公式列出算式是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出每部分所占的百分比，求出甲、乙、丙民主评议的得分， （2）根据平均数的计算公式求出各自的平均数，然后进行比较，即可得出答案； （3）利用加权平均数的计算公式列式计算求出三人的得分，然后即可判断录用的候选人． 【小问1详解】 解：甲的民主评议得分为：（分）， 乙的民主评议得分为：（分）， 丙的民主评议得分为：（分）， 【小问2详解】 解：甲的平均成绩是：（分）， 乙的平均成绩是：（分）， 丙的平均成绩是：（分）， 根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么乙被录用； 【小问3详解】 解：将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例， 则甲得分：（分）， 乙得分：（分）， 丙得分：（分）， ， 丙将被录用． 22. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ 【答案】大巴的平均速度为40公里/小时，则小车的平均速度为60公里/小时 【解析】 【分析】根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间＋小车晚出发的时间＋小车早到的时间”列分式方程求解可得． 【详解】解：设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时， 根据题意，得：＝＋＋， 解得：x＝40， 经检验：x＝40是原方程的解， 所以1.5x＝1.5×4＝60． 答：大巴的平均速度为40公里/小时，则小车的平均速度为60公里/小时． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程． 23. 某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】方案最节省工程款 【解析】 【分析】设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得，经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元）， 但乙单独做超过了日期，因此不能选． 方案的工程款为（万元）， 所以选择方案． 【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．解题的关键是熟练掌握路程＝速度×时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题． 24. 某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少； （2）在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出． 【答案】（1）甲种品牌服装每套进价是80元，乙种品牌服装每套进价是50元 （2）有20套甲品牌服装打九折售出 【解析】 【分析】（1）设甲种品牌服装每套的进价是元，则乙种品牌服装每套的进价是元，根据用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设有套甲品牌服装打九折售出，则有套甲品牌服装原价销售，根据这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲种品牌服装每套的进价是元，则乙种品牌服装每套的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种品牌服装每套的进价是80元，乙种品牌服装每套的进价是50元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，甲品牌服装有（套，乙品牌服装有（套， 设有套甲品牌服装打九折售出，则有套甲品牌服装原价销售， 由题意得：， 解得：， 答：有20套甲品牌服装打九折售出． 【点睛】本题考查了分式方程的应用原价一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $