第四章平面直角坐标系同步作业 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第4章平面直角坐标系 作业27认识平面直角坐标系 基础过关 1.(2024·溧阳期末)平面直角坐标系中，对于坐标P(1，2)，下列说法错误的是 ( ) A. P(1，2)表示这个点在平面内的位置 B.点 P 的纵坐标是2 C.点 P到y轴的距离是1 D.它与点(2，1)表示同一个坐标 2.在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是 ( ) A.(5,-3) B.(-5,3) C.(3,-5) D.(-3,5) 3.(2024春·南通月考)已知点 P(2m-6,m+2)在y轴上,则点 P 的坐标为 ( ) A.(0,5) B.(5,0) C.(0,3) D.(3,0) 4.已知a-b=1，则在平面直角坐标系中，点P(a，b)不可能出现在第 象限. 5.点P(x-2,x+3)在第一象限,则x的取值范围是 . 6.如图，若图中每个小方格的边长为1个单位长度，写出图中点A，B，C，D,E,F的坐标. 7.在平面直角坐标系中有三点A(-2,1),B(3,1),C(2,3). (1)在如图所示坐标系内描出点 A，B，C； (2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积. 能力提升 8.在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-4,3), AB∥y轴,AB=5,则点 B的坐标为() A.(1,3) B.(-4,8) C.(-4,8)或(-4,-2) D.(1,3)或(-9,3) 9.在平面直角坐标系中,A(0,1),B(3,1),C(4,3),要使△ABD与△ABC全等，那么点 D的坐标是 ( ) A.(4,-1) B.(-1,3) C.(-1,-1) D.以上都可以 10.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2,3),则点 F 的坐标为 . 11.(2023春·通州区期末)已知点P(3m+6,m-3)..请分别根据下列条件，求出点 P 的坐标. (1)点 P在x轴上; (2)点P 的纵坐标比横坐标大5； (3)点 P 在过点A(3,-2)且与y轴平行的直线上. 12.先阅读文字，再回答问题.已知平面内两个点分别为 其两点间距离公式为 当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴时，两点间的距离公式可简化成 或 (1)已知A，B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点间的距离为 ； (2)线段AB平行于x轴，且AB=3,,若点 B 的坐标为(2,4),则点 A 的坐标是 ; (3)已知 三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,5),C(-1,2),请判断此三角形的形状,并说明理由. 拓展延伸 13.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),其中a,b满足 (2)如果在第二象限内有一点M(m，1)，请用含m的式子表示四边形ABOM 的面积； (3)在(2)的条件下,当 时，在坐标轴的负半轴上找一点 N，使得 的面积与四边形ABOM 的面积相等，求点 N 的坐标. 作业28建立合适的平面直角坐标系 基础过关 1.在A(-5,3),B(-3,3),C(-5,-3),D(5,3)四个点中,由其中两个点确定的直线与y轴平行的是 ( ) A.点A,B B.点 B,D C.点A,C D.点C,D 2.(2024·泰兴期末)如图，已知小红的坐标为(2，1)，小亮的坐标为(1，-1)，那么小华的坐标为( ) A.(-2,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(-1,2) 3.(2024春·港闸区月考)平面直角坐标系中,点A(-3,2),B(3,4),C(x,y),若AC∥x轴,则线段 BC 的长度最小时，点C的坐标为 ( ) A.(-3,4) B.(3,2) C.(3,0) D.(4,2) 4.如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是(2，2)，中山桥的坐标是(3，0)，那么黄河母亲像的坐标是 . 5.如图是某中学的平面结构示意图.(图中每个小正方形的边长均为1个单位长度) (1)若以大门为坐标原点，以水平向右为x轴的正方向，以竖直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，请用坐标表示下列位置：实验楼 ，食堂 ，教学楼 ； (2)不以大门为坐标原点，请你在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出宿舍楼、实验楼和大门的坐标. 能力提升 6.五子棋的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜.如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是(1，-1)，黑②的位置是(2，0)，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在下面哪个位置就胜了 () A.(5,3) B.(3,0) C.(7,0) D.(2,4) 7.如图,长方形OABC的顶点A,C分别在坐标轴上,B(8,7),D(5,0),点 P是边AB 或边BC 上的一点,连接OP,DP,当 为等腰三角形时，点P 的坐标为 . 8.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，若学校位置的坐标为A(1,2),解答以下问题: (1)请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆(B)位置的坐标； (2)若体育馆位置的坐标为(C(-3,3),，请在坐标系中标出体育馆的位置，并顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到 求 的面积. 拓展延伸 9.如图是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，每级台阶凸出的角的顶点记作 Pk，k为正整数，点 的坐标为(-1,0),点 的坐标为(0,1). (1)根据 两点的坐标，画出x轴、y轴，并标出原点O的位置. (2)①直接用含k的代数式表示点. 的坐标； ②判断点(2025，2024)是否在台阶上?并说明理由. (3)把台阶上点 到x轴的距离与点. 到y轴的距离中的较小值称为 的“短距”，若台阶中某一点 的“短距”为1，直接写出该点的坐标. 作业29平移与坐标变化 基础过关 1.(2024春·启东期末)在平面直角坐标系内，将M(5，2)先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则移动后点的坐标是 ( ) A.(2,0) B.(3,5) C.(8,4) D.(2,3) 2.如图,线段AB经过平移得到线段CD,已知点A(-3,0),C(4,0),D(0,—3),则点 B的坐标为 ( ) A.(-5,-3) B.(-6,-4) C.(-7,-2) D.(-7,-3) 3.在平面直角坐标系中，将点A(-2，3)向右平移4个单位长度后得到点 A',则点 A'的坐标为 . 4.将点(4，-4)先向上移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，所得点的坐标为 . 5.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，C(0，6)，点B在第一象限内，已知点 P 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿长方形OABC匀速移动一周(即沿O→A→B→C→O的路线移动).当点 P 移动了4秒时，求点 P 的坐标. 能力提升 6.如图,点A,B的坐标分别为(0,-3),(3,1).若将线段AB平移至A'B',点 A'，B'的坐标分别为(m,1),(1,n),则m+n的值为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图,在平面直角坐标系中,A(2,1),B(-2,1),C(-2,-1),D(2,-1),一个动点从点A出发沿A→B→C→D→A方向移动，移动了 2025个单位长度后动点的坐标为 ( ) A.(1,1) B.(0,-1) C.(1,-1) D.(2,-1) 8.(2024·苏州期末)在平面直角坐标系中，把点 P(3，a-1)向下平移5个单位长度得到点 Q(3，2—2b),则代数式 的值为 . 9.已知点 A(1,3),B(2,1),C(4,4),其中点A的位置如图所示. (1)在图中建立平面直角坐标系，并画出△ABC； (2)平移 ，使点 A，B的对应点A'，B'均落在坐标轴上，求此时点C的对应点C'的坐标. 10.在平面直角坐标系xOy中,对于点 P(x,y)给出如下定义:当|x|≤|y|时,我们称点 P 为“纵高点”.例如,点(1,2),(-2,-3),(1,-1)都是“纵高点”. (1)在点 A(2,2),B(-3,2),C(3.14,π),D(-1,- 中，“纵高点”是点 . (2)将点M(m，n)先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 M'. ①当点 M在y轴上时，如果点M是纵高点，求n的取值范围； ②当n=2时，连接MM'，若线段MM'上任意一点都是“纵高点”，求m的取值范围. 拓展延伸 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,点B(1,0),点 C(5,0),以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD,点M(-5,0),N(0,5).将正方形ABCD 向左平移m个单位长度,得到正方形A'B'C'D',记正方形A'B'C'D'与 重叠的区域(不含边界)为W. (1)当m=3时，区域W 内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为 ； (2)若区域W 内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围. 作业 30 轴对称与坐标变化 基础过关 1.若点 A(a,-1)与点 B(2,b)关于y轴对称,则a-b的值是 ( ) A.-1 B.-3 C.1 D.2 2.如图,在平面直角坐标系内,正方形ABCD中顶点B,D的坐标分别是(0,0),(2,0),且A,C两点关于x轴对称，则点 C的坐标是 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(1,-2) D.(2,-2) 3.如图是阅兵时，战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.若飞机 E的坐标为(40，-35)，则飞机 D的坐标为 . 4.若点 P(3m—12，2—m)在第三象限，且m为整数，则点 P 关于x 轴对称的点的坐标为 . 5.△ABC 在直角坐标系内的位置如图. (1)分别写出点 A，B的坐标； (2)请在这个坐标系内画出△A₁B₁C₁,使△A₁B₁C₁与△ABC关于x轴对称； (3)若△A₂B₂C₂与△ABC关于y轴对称,请写出点B₂和C₂的坐标. 能力提升 6.在平面直角坐标系xOy中，点A与点A₁关于x轴对称，点A与点A₂关于y轴对称.已知点A₁(1,2),则点 A₂的坐标是 ( ) A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(-1,2) D.(-1,-2) 7.如图,长方形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D,E分别在AB,BC边上,BD=BE=1.沿直线DE将△BDE 翻折,点B落在点B'处.若点B'的坐标为(3,2),则长方形OABC 的面积为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.12 8.如图,已知A(0,1),B(3,2),将线段AB绕点A 按顺时针方向旋转90°后,得到线段AB',则点 B'的坐标是 . 9.在平面直角坐标系中，直线l是经过点(2，0)且平行于 y轴的直线，若点 P(a，-2)与点 Q(4,b)关于直线l对称,则a-b= . 10.(2024·鼓楼区月考)如图，已知方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A 的坐标为(-4，1)，点B 的坐标为(1,1). (1)请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标； (2)依次连接A,B,C,A,得到△ABC,请判断△ABC的形状,并说明理由； (3)若点 C 关于直线AB 的对称点为点 D，则点 D 的坐标为 ; (4)在y轴上找一点F，使△ABF的面积等于△ABD的面积，则点F的坐标为 . 拓展延伸 11.如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴. (1)如果 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是 关于直线l的对称图形是 写出 的三个顶点的坐标； (2)如果点P的坐标是(-a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P₁，点 P₁关于直线l的对称点是P₂,求 PP₂的长. 作业31特殊线上的点的坐标规律 基础过关 1.(2024·建邺区期末)过点(2，-1)且平行于 y轴的直线上的点的坐标特征是 ( ) A.横坐标都是2 B.纵坐标都是2 C.横坐标都是-1 D.纵坐标都是-1 2.(2024春·通州区月考)在平面直角坐标系中,点A(1,5),B(m-2,m+1),若直线AB与y轴垂直，则m的值为 ( ) A.0 B.3 C.4 D.7 3.平面直角坐标系中，点A与点B 的横坐标相同，纵坐标不同，那么直线AB与y轴的位置关系是 . 4.已知点 P 的坐标是(a，2a-1)，且点P 在第一、三象限的两坐标轴夹角的平分线上，则点P 的坐标是 . 5.(2024·吴江区二模)已知点 P(2a-2,a+5),回答下列问题: (1)若点 P 在y 轴上,求点 P 的坐标; (2)若点 P 在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 的值. 能力提升 6.已知点 M(3，-1)与点M'(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且点 M'到y轴的距离等于4，那么点 M'的坐标是 ( ) A.(4,1)或(-4,1) B.(4,-1)或(-4,-1) C.(4,-1)或(-5,-1) D.(4,-1)或(-1,-1) 7.(2023秋·镇江期末)已知点 M(-3,-2),MN∥y轴,且MN=2,则点N的坐标是 ( ) A.(-3,0) B.(-1,-2) C.(-3,0)或(-3,-4) D.(-1,-2)或(-5,-2) 8.已知平面直角坐标系内的不同点A(3，a-1)，B(b+1，-2)，则下列说法中正确的是 ( ) A.若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则a=3 B.若点 B在第二、四象限的角平分线上，则b=-4 C.若直线AB平行于x轴,则a=-1且b≠2 D.若直线AB平行于y轴,且AB=3,则b=2,a=2 9.已知点M(3，2)与点N(x，y)在同一条垂直于x轴的直线上，且点 N到x轴的距离为5，那么点 N 的坐标是 . 10.如图，等边 的边AB 垂直于x轴，点C在x轴上.已知点A(2，2)，求点C的坐标. 11.如图，已知点 P(4m+7，2m+5)在第一象限的角平分线上，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上， (1)求点 P 的坐标; (2)若点 B为(0,2),求点 A 的坐标. 拓展延伸 12.(2023春·海门月考)我们规定:若 就称(a，b)为“n倍理想坐标”.例如，因为 所以称(1，-1)为-2倍理想坐标；因为 所以称(1，2)为2.5倍理想坐标.根据材料，解答下列问题： (1)( , ) 2倍理想坐标(填“是”或“不是”)；(2，3)是 倍理想坐标. (2)当(a，b)在坐标轴上时，若(a，b)为n倍理想坐标，求(a，b)，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置. (3)若(a，b)是象限角平分线上的点(原点除外)，求(a，b)是几倍理想坐标. 专题6 坐标平面内的面积问题 类型一 已知点的坐标求面积 1.如图，平面直角坐标系中四边形ABCD的面积是 ( ) A.4 B.5.5 C.4.5 D.5 2.点A，B在平面直角坐标系中的位置如图所示，则 的面积为 . 3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),点B(3,0).在第三象限内有一点M(-2,m),则用含 m的式子表示 的面积为 . 4.如图，已知四边形ABCD.(网格中每个小正方形的边长均为1) (1)写出点A,B,C,D的坐标; (2)试求四边形ABCD 的面积. 类型二 已知面积求点的坐标 5.如图，已知 将 经过平移得到 点 B 平移后的对应点B'的坐标是(4,2),在y轴上找点D,使 的面积等于 的面积的2倍，则满足条件的点 D 的坐标是 ( ) A.(0,5) B.(0,6) C.(0,5)或(0,6) D.(0,5)或(0,-5) 6.(2023 ·丹阳期末)如图,在直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,其中a,b,c满足表达式： (1)求a,b,c的值. (2)在直线BC上是否存在点Q，使△ABQ的面积是△ABC 面积的 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如果在第二象限内有一点 是否存在点 P，使四边形ABOP 的面积与 的面积相等?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 专题7 坐标平面内的存在性问题 类型一 距离的存在性问题 1.已知在平面直角坐标系中,线段AB∥y轴,A(-3,4),且AB=4,则点B的坐标为 . 2.在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为(2-t，2t)，将点M到x轴的距离记作 到y轴的距离记作d₂. (1)若t=3,则 (2)若 求点 M的坐标； (3)若点 M在第二象限，且 m为常数)，求m的值. 类型二 图形的存在性问题 3.在平面直角坐标系中，已知点A(-2，-1)，点B(1，3)，过点A 且垂直于y轴的直线上有一点C，且△ABC的面积为8，则点C的坐标为 . 4.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，0)，点B的坐标为(1，4)，点C的坐标为((-2,6),如果存在点 D,使得△ABD与△ABC全等,那么点D 的坐标为 .(写出所有可能的情况) 5.如图，已知点A(4，3)，若点 P在x轴上且△POA为等腰三角形，求点 P 的坐标. 6.如图，在直角坐标系中， 是等腰直角三角形， ,点A(0,3),点 B(4,0),( x轴，垂足为点 D. (1)说明 与 全等； (2)求C点坐标; (3)若点E(-3,0),，连接EA，在直角坐标系中求点 P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标. 综合与实践 1.如图是一个简单的平面示意图，已知OA=2km,OB=6km,OC=BD=4km,点E为OC的中点. (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西 方向6 km处.请用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相等的是哪些地方? (3)若小强家在小明家北偏西( 方向 2k m处，请在图中标出小强家的位置. 2.“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下行驶，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统.以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 17.7 分钟 10分钟 行程总时间=红灯等待时间+行驶时间.如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟 红灯等待次数 6次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的40% 行驶速度 600米/分 900米/分 行驶速度=总路程÷行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为t分钟. (1)优化前的行驶时间为 分钟，优化后的行驶时间为 分钟；(用含 t的代数式表示) (2)求优化前的单次红灯平均等待时长及该路段的总路程. 小结与思考 一、选择题 1.如果单项式 与单项式 的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m,n)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2023·聊城)如图,在直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A₁B₁C₁,再把△A₁B₁C₁平移后得到△A₂B₂C₂.若B₂(2,1),则点 A₂的坐标为 ( ) A.(1,5) B.(1,3) C.(5,3) D.(5,5) 3.点 P(a+2，2a-5)关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是 ( ) A. a<-2 4.(2024春·海门期末)在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点(10—a，a—4)到x轴的距离等于到y 轴距离的一半，则a 的值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC 边上的点E 处，则点 D的坐标为 ( ) A.(0,3) B.(0,4) C.(0,5) D.(0,6) 二、填空题 6.(2024春·南通月考)已知点 P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),则aᵇ的值为 . 7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点 C 的坐标为 . 8.在平面直角坐标系中，A(-2，1)，B(-3，-2)，平移线段AB，使点B的对应点刚好与坐标原点O重合，则线段AB在平移过程中扫过的面积是 . 9.(2023·贵州)如图是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是(-2，7)，则龙洞堡机场的坐标是 . 10.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点.已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的点，且点 B 的横坐标为n(n为正整数)，记 内部(不包括边界)的整点个数为m.当n=12时,m的值为 ;当n=2022时,m的值为 . 三、解答题 11.在如图所示的网格(每个小正方形的边长为1)中， 的顶点A 的坐标为((-2,1),顶点 B的坐标为(-1,2). (1)在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； (2)作△A'B'C'关于x 轴对称的图形 (3)连接 BB',求 BB"的长. 12.(2024·泰兴期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点 Q为“完美点”. (1)点 A(-1,3)的“长距”为 ; (2)若点 B(4a-1,-3)是“完美点”,求a的值; (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4,且点C在第二象限内,点 D的坐标为((9-2b,-5),试说明：点D 是“完美点”. 13.在平原上有一条笔直的公路，在公路同侧有A，B两个村庄.以公路所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图.已知A，B两个村庄的坐标分别为(2，2)，(7，4)，一辆汽车(看成点 P)在公路(x轴)上行驶. (1)汽车行驶过程中，到A，B两村距离之和最小为多少? (2)汽车行驶过程中，到A，B两村距离之差最大为多少? 作业27 认识平面直角坐标系 1. D 2. B 3. A 4.二 5. x>2 6.解:A(-3,-2),B(-5,4),C(5,-4),D(0,-3),E(2,5),F(-3,0). 7.解:(1)描点如答图. (2)依题意,得AB∥x轴,且AB=5, 8. C 9. D 10.(-1,5) 11.解:(1)∵点P在x轴上, ∴点 P 的纵坐标为0,即m-3=0,得m=3, ∴3m+6=9+6=15,∴点 P 的坐标为(15,0). (2)∵点 P 的纵坐标比横坐标大5， ∴m-3-5=3m+6,解得m=-7, ∴3m+6=-15,m-3=-10, 故点 P的坐标为(-15,-10). (3)由题意可知AP∥y轴, ∴点A 和点 P 的横坐标相同,即3m+6=3,得m=-1, ∴点 P 的坐标为(3,-4). 12.(1)3 (2)(-1,4)或(5,4) (3)解：△ABC为等腰直角三角形.理由如下： ∵A(3,4),B(0,5),C(-1,2), ,且AB=BC, ∴△ABC 为等腰直角三角形. 13.(1)2 3 (2)解:∵在第二象限内有一点M(m,1), 又 ∴四边形ABOM的面积为3-m. (3)解：当点 N在x轴的负半轴上时，设点 N的坐标为(c,0), 则 解得 故 当点 N在y轴的负半轴上时，设点 N 的坐标为(0，d)，则 解得d=-1,故N(0,-1). 综上所述，点N的坐标为 或(0,-1). 作业28 建立合适的平面直角坐标系 1. C 2. D 3. B 4.(-4,1) 5.(1)(2,3) (4,1) (5,6) (2)解：如答图，以实验楼为坐标原点，以水平向右为x轴的正方向，以竖直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，宿舍楼的坐标为(-1，3)，实验楼的坐标为(0，0)，大门的坐标为(-2,-3). 6. D 7.(8,4)或( ,7) 8.解：(1)建立直角坐标系如答图所示. 图书馆位置的坐标为B(-3，-2). (2)标出体育馆(C)的位置如答图所示，观察可得，△ABC中BC边的长为5，BC边上的高为4，所以△ABC的面积为 9.解：(1)画出x轴、y轴，并标出原点O的位置如答图所示. (2)①Pₖ(k-3,k-2)(k为正整数). ②不在.理由:当k-3=2025时,k=2028, 则k-2=2028-2=2026≠2024, ∴点(2025,2024)不在台阶上. (3)P₁(-2,-1),P₄(1,2). 作业29 平移与坐标变化 1. A 2. D 3.(2,3)4.(-3,1) 5.解:(1)∵A(4,0),C(0,6),∴OA=4,OC=6, 在长方形OABC中,AB=OC=6,BC=OA=4,点 P 移动了4秒,移动的距离为4×2=8,即OA+AP=8, ∴AP=4且点 P在AB上, ∴点 P 的坐标为(4,4). 6. B 7. C 8.5 9.解:(1)如答图. (2)点 A(1,3),B(2,1)先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度，点A，B的对应点A'落在y轴上，B'落在x轴上，则点C的对应点C'的坐标为(3，3)； 点A(1，3)，B(2，1)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，点A，B的对应点A'落在x轴上，B'落在y轴上，则点 C的对应点C'的坐标为(2，1). 故点 C的对应点C'的坐标为(3,3)或(2,1). 10.解:(1)A,C,D (2)①∵点M(m,n)在y轴上,∴m=0, ∵将点 M(m，n)先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 M',∴M'(2,n+2), ∵点M'是纵高点,∴|n+2|≥|2|, ∴n+2≥2或n+2≤-2,∴n≥0或n≤-4. ②∵n=2,∴M(m,2),∵将点 M(m,2)先向右平移2个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到点 M'，∴M'(m+2,4),∵线段MM'上任意一点都是“纵高点”, 11.(1)3 (2)解:2<m≤3或6≤m<7. 作业30 轴对称与坐标变化 1. A 2. B 3.(-40,-35) 4.(-3,1) 5.解:(1)由题意可知,A(0,3),B(-4,4). (2)如答图. (3)根据轴对称的性质,可得B₂(4,4),C₂(2,1). 6. D 7. D 8.(1,-2) 9.2 10.(1)解:建立平面直角坐标系如答图,C(-3,3). (2)解：△ABC为直角三角形.理由：由图，可知. , ∵20+5=25,即 ∴△ABC为直角三角形. (3)(-3,-1) (4)(0,-1)或(0,3) 11.解:(1)△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标分别是A₂(4,0),B₂(5,0),C₂(5,2). (2)∵点 P 与点 P₁关于y轴对称,P(-a,0),∴P₁(a,0). 设P₂(x,0),又∵点 P₁与点 P₂关于直线l:x=3对称, 即.x=6-a,∴P₂(6-a,0), 则 作业31 特殊线上的点的坐标规律 1. A 2. C 3.平行 4.(1,1) 5.解:(1)∵点P在y轴上,∴2a-2=0,解得a=1,∴a+5=6,∴点 P 的坐标为(0,6). (2)∵点 P到x轴和y轴的距离相等， ∴|2a-2|=|a+5|,∵点 P在第二象限, ∴2a-2<0,a+5>0,∴|2a-2|=2-2a,|a+5|=a+5, ∴2-2a=a+5,解得a=-1, 6. B 7. C 8. C 9.(3,5)或(3,-5) 10.解:设AB⊥x轴于点D.∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACD=30°. ∵点A(2,2),∴AD=OD=2,∴CD=2 .点C的坐标为( 11.解:(1)∵点 P(4m+7,2m+5)在第一象限的角平分线上， ∴4m+7=2m+5, ∴m=-1,∴P(3,3). (2)如答图,过点 P 分别作PD⊥x轴于点 D,作 PC⊥y轴于点C， ∴PC=PD,∠PCO=∠PDO=∠COD=90°, ∴∠CPD=90°,∴∠CPB+∠BPD=90°. ∵∠BPA=90°,∴∠BPD+∠APD=90°, ∴∠APD=∠CPB,又∵CP=PD, ∴△CPB≌△DPA(ASA),∴BC=DA, ∵B(0,2),P(3,3),∴OB=2,OC=3,∴BC=1=DA, ∴OA=1+3=4,∴A(4,0). 12.(1)是 (2)解:当(a,b)在坐标轴上时,a=0或b=0,∴ab=0, ∵(a,b)为n倍理想坐标, ∴a=0且b=0, ∴(a，b)为(0，0)，它是平面直角坐标系中的原点. (3)解：∵(a，b)是象限角平分线上的点(原点除外)， ∴a=±b≠0. 分两种情况： ①当(a，b)是第一、三象限角平分线上的点(原点除外)时,a=b, ,∴(a,b)是2倍理想坐标; ②当(a，b)是第二、四象限角平分线上的点(原点除外)时,a=-b, ∴(a,b)是-2倍理想坐标. 综上所述，(a，b)是2倍或-2倍理想坐标. 专题6 坐标平面内的面积问题 1. C 2.2 3.-2m 4.解:(1)A(-2,1),B(-3,-2),C(3,-2),D(1,2). 5. D 6.解:( ∴a+b-5=0,2a-b-1=0,c-4=0, ∴a=2,b=3,c=4. (2)∵△ABQ的面积是△ABC 面积的 ∴点 Q的坐标为(3,2)或(3,-2). (3)∵a=2,b=3,c=4, ∴△ABC各顶点的坐标为A(0,2),B(3,0),C(3,4). 四边形ABOP 的面积与△ABC的面积相等， 6,∴|m|=3,即m=±3, ∵点P(m, )在第二象限内，. 专题7 坐标平面内的存在性问题 1.(-3,0)或(-3,8) 2.(1)7 (2)解:∵t<0,∴2-t>0,2t<0, ∴2-t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4, ∴M(4,-4). (3)解:∵点M在第二象限,∴2-t<0,2t>0, ∴m×2t-5×(t-2)=10,解得 3.(2,-1)或(-6,-1) 4.(4,6),(-2,-2)或(4,-2) 5.解:如答图,过点A作AE⊥x轴于点E,则OE=4,AE=3，由勾股定理得 当O为顶角顶点时，以点O为圆心，OA 长为半径作弧交x轴于点.P₁,P₂,则 ∴P₁(-5,0),P₂(5,0). 当A为顶角顶点时，以点A 为圆心，AO长为半径作弧交x轴于点P₃,则.AP₃=AO,∴P₃E=OE=4, 当P为顶角顶点时，作OA 的垂直平分线交x轴于点 P₄，设 ,则P₄E=4-x,在 Rt△AP₄E中,由勾股定理得( 解得 综上所述，点P 的坐标为(-5，0)或 )或(5,0)或(8,0). 6.解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,CD⊥x轴, ∴∠ABO+∠BAO=90°,∠CBD+∠BCD=90°,∠ABO+∠CBD=90°,AB=BC, ∴∠ABO=∠BCD,∠BAO=∠CBD, 在△AOB与△BDC中 ∴△AOB≌△BDC(ASA). (2)∵△AOB≌△BDC, ∴CD=OB=4,BD=OA=3, ∴点 C的坐标为(7,4). (3)∵A(0,3),E(-3,0)到原点的距离都为3, ∴要使△APE为等腰直角三角形，点 P 的坐标为(0，0)或(-3,3)或(0,-3)或(-6,3)或(-3,6)或(3,0). 综合与实践 1.解：(1)学校在小明家北偏东45°方向2k m处，博物馆在小明家南偏东50°方向 4k m处. (2)图中到小明家距离相等的是学校、公园和电影院. (3)如答图，点F 即为小强家. 2.(1)17.7-6t 10-40%t (2)解:根据题意得600(17.7-6t)=900(10-40%t),解得t=0.5, ∴600(17.7-6t)=600×(17.7-6×0.5)=8820. 答：优化前的单次红灯平均等待时长为0.5分钟，该路段的总路程为8820米. 小结与思考 1. D 2. B 3. D 4. B 5. C 6.257.(-1,0) 8.7 9.(9,-4)10.15 3031 11.解:(1)如答图. (2)画出△A"B"C"如答图. 12.(1)3 (2)解:∵点B(4a-1,-3)是“完美点”, ∴|4a-1|=|-3|, ∴4a-1=3或4a-1=-3,解得a=1或 (3)解:∵点C(-2,3b-2)的长距为4,且点 C 在第二象限内， ∴3b-2=4,解得b=2,∴9-2b=5, ∴点D的坐标为(5,-5), ∴点 D到x轴、y轴的距离都是5,∴点 D 是“完美点”. 13.解:(1)如答图①,作点A关于x轴的对称点A'(2,-2),连接A'B交x轴于点 P，则A'B 的长即为汽车到A，B两村距离之和的最小值. ∵B(7,4),∵ (2)如答图②，当点 P为BA 的延长线与x轴的交点时，汽车到A，B两村距离之差最大， 学科网（北京）股份有限公司 $