幂函数知识总结与题型讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理定义（形如y=x^α，α为常数）、常见图像（不同α值的图像特征）及性质（过定点(1,1)、单调性、凹凸性等）。以定义为基础，通过图像直观感知，提炼性质，再结合考点（概念辨析、定点问题、图像性质应用、综合比较）构建学习支架，帮助学生逐步深化理解。 资料通过分层设计（基础例题、变式训练、题组A/B），引导学生用数学思维分析图像与性质关系，用数学语言表达幂函数特征（如命题判断、图像辨析）。课中辅助教师引导探究，课后学生可通过题组巩固，查漏补缺，提升数学应用意识与推理能力。

第三章 3.3幂函数 知识点1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 知识点2　常见幂函数都的图像 知识点3 幂函数的性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸； ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 考点一 幂函数的概念 【例1-1】已知幂函数的图象经过点，则的值为 　． 变式1： 已知是幂函数，则 . 变式2： 幂函数的图象过点，则_________． 考点二 幂函数的定点 【例2-1】函数恒过定点______． 变式1：幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 变式2：幂函数的图像一定经过第______象限 考点二 幂函数的图像与性质 【例2-1】已知幂函数过点则 (　　) ，且在上单调递减 ，且在单调递增 且在上单调递减 ，且在上单调递增 【例2-2】下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 变式1：幂函数在上为减函数，则的值为______. 变式2：已知幂函数满足，则______. 考点三 幂函数的综合应用 【例3-1】已知，若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1：已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 变式2：已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 题组A 基础过关练 1、图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为(　　) ． ． 2、函数的图象是(　　) A． B．C． D． 3、已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　 　． 4、已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则(　　) 或 题组B 能力提升练 5、若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________． 6、已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　) 均为奇数，且 为偶数，为奇数，且 为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且 7、已知，，，则( ) A． B． C． D． 8、 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数， 实数满足，则a的取值范围是　 　． 9、已知幂函数 (1)若为偶函数，且在上是增函数，求的解析式； (2)若在上是减函数，求的取值范围． 10、已知幂函数为奇函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第三章幂函数 知识梳理 知识点1幂函数的定义 一般地，形如y=X的函数称为幂函数，其中x是自变量，《为常数. 知识，点2常见幂函数都的图像 y=T v=x=VT A1,0 =0=1 2 34567 知识点3幂函数的性质 ①所有的幂函数在(0，十0)都有定义，并且图象都过点(1,1)： ②《>0时，幂函数的图象通过原点，并且在0，+∞)上是增函数 特别地，当《>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<《<1时，幂函数变化慢，图象上凸； ③α<0时，幂函数的图象在(0，十0)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右 方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+oo时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 第1页 g 考点精析 考点一幂函数的概念 【例1.】已知幂函数似的图象经过点上，号)。 则f(4)的值为 【解析】：幂函数似=心过点2，号)。 纪=2=9，解得a=支) :f(x)=xf(4)= 变式1：已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a十b= 【答案】2 【解析】函数f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数， a=1 根据幂函数的定义知， (-b+1=0,解得a=1,b=1: 所以a十b=2: 第2页 变式2：幂函数f(x)的图象过点(2，寺)，则f3)= 【答案】寺 【解析】设fx)=xa,则2=寺，所以a=-2 所以f(x)=x2.所以f3=32=寸. 考点二幂函数的定点 【例2-1】函数y=（x-1)“+1(<0)恒过定点 【答案】(2,2) 【详解】当x-1=1,即x=2时，y=2,“函数恒过定点(2,2) 故答案为：(2,2) 变式1：幂函数f(x的图象过点2，V2),则函数g(x)=af(x-3+1(a∈R,a≠0的图象经过定点 【答案】(3,1 【详解】因为幂函数f)=x产过点(2,2)，可解得a=2 所以fx)=x2, 故g(x)=a(x-3)2+1' 当x=3时，g(3)=a×0+1=1, 故g(x)恒过定点(3，). 第3页 故答案为(3， 变式2：幂函数y=x+m(neN)的图像一定经过第 象限 【答案】一、三 【详解】因为n为自然数，所以(n+)为偶数，所以n2+n+1为奇数， 所以y=x+(n∈N是奇函数， 且函数的图像经过O0,0)和点(L,)并且在(0，+0单调递增， 所以幂函数y=x+m(n∈N)的图像一定经过第一、三象限， 故答案为：一、三 考点二幂函数的图像与性质 【例21已灯幂函数网过点2，号)则 () A.fx)=x克，且在(0，+o0)上单调递减 B.f(x)=xi,且在(0，+o∞)单调递增 C.f(x)=x且在(0，+∞上单调递减 D.fx)=x2,且在(0，+o∞)上单调递增 【解折1：希函数6似=x过点2，号).“2=2=号、解得a=》 :f(x)=xt,在(0，+o∞)上单调递减. 故选：A 【例2-2】下列命题中： 第4页 ①幂函数的图象都经过点(1,1和点(0,0)： ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当n=0时，幂函数y=x的图象是一条直线； ④当n>0时，幂函数y=xP是增函数； ⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小. 其中正确的是() A.①和④ B.④和⑤ C.②和③ D.②和⑤ 【解析】①幂函数的图象都经过点(1,1)，但不一定经过点(0,0)，比如y=袁，故错误； ②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确： ③当n=0时，幂函数y=x的图象是一条直线去除(0,1)点，故错误； ④当n>0时，如y=x2,幂函数y=x在(0，十∞)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错 误 ⑤当n<0时，幂函数y=x在(0，十∞上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小， 故正确。 故选：D 变式1：幂函数f(=(m-2m-2列在0，+0)上为减函数，则m的值为 【答案】-1 【详解】由函数f(x)=m2-2m-2x2m-是幂函数，则m2-2m-2=1, 解得m=-1或m=3; 当m=-1时，f(x)=x3,在(0，+0）上为减函数，满足题意： 当m=3时，f(x)=x,在(0，+0）上为增函数，不合题意. 故答案为：-1. 弟5贝 变式2：已知幂函数f(x)=(m2-2m-2x"满足∫(2)<f(3),则m=一 【答案】3 【详解】因为函数f(x)=(m2-2m-2)x"为幂函数， 则m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1, 又因为f(2)<f(3),所以m=3, 故答案为：3 考点三幂函数的综合应用 【例3】已知f=京若0<a<61,则下列各式中正确的是() 创<日} B.f8a c.fa<ia<8}日 )nasra)sso 【答案】B 【详解】=是=x在0，+0上单调递减，0<a<B1,放0<a<b<1<<分 b a 故日8<f 故选：B. 变式1：己知a= 则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 【答案】C 第6页 因为函数y=x是实数集上的增函数， ) 即c<a<b, 故选：C 变式2：己知幂函数f(x)=m2-m-5)xm-的图像关于y轴对称. (1)求m的值； (2)若函数g(x)=f(x)-4Vf(x),求gx)的单调递增区间. 【答案】(1)m=3 (2)(-2,0),(2,+00) 【详解】(1)解：由题意知m2-m-5=1,解得m=-2,或m=3. 又因为f()的图像关于y轴对称，所以fx)为偶函数，从而m=3. 所以，f(x)=x2 (2)解：由(1)知，g(x)=f(x)-4fx)=x2-4=x2-4x, 当x≥0时，g(x)=x2-4x=x2-4x,对称轴为x=2, 所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+0）上单调递增. 当x<0时，g(x)=x2-4x=x2+4x,对称轴为x=-2, 所以g(x)在(-0，-2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增， 所以，g(x)的单调递增区间为(-2,0)，(2，+∞). 第7页 分层提分 题组A基础过关练 1、图中曲线是幂函数y=x在第一象限的图象，已知n取士2，士专四个值，则相应于曲线C1,C2,C3,C4 的n依次为() A.-2,-克，克，2B.2,克，-2，-克C.-克，-2,2，克D.2,,-，-2 【答案】D 【解析】根据指数函数的单调性，x>1时，x2>x>x>X2, :相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为2，专，-吉，-2. 故选：D 2、函数y=x的图象是() A 【答案】C 【解析】：函数y=x的定义域是[0，十O,·排除选项A和B, 又：号>1，：曲线应该是下凸型递增抛物线，故选：C 第8页 3、已知a∈{-2，-1，-吉，克，1,2,3}，若幂函数f(x)=x为奇函数，且在(0，+∞)上递减，则 = 【答案】-1 【解析】：ae{-2,-1,-克，克，1,2,3}， 幂函数fx)=x为奇函数，且在(0，十oo)上递减， ·a是奇数，且a<0, 4a=-1 4、已知幂函数f(x)=xm22m(m∈Z的图象关于原点对称，且在(0，+o)上是减函数，则m=() A.0 B.0或2 C.0 D.2 【答案】B 【解析】幂函数f(x)=xm22m(m∈Z在(0，+o∞上是减函数， 则m2-2m-3<0,解得-1<m<3; 又m∈Z,÷m=0,1,2: 当m=0时，f8)=x3,图象关于原点对称； 当m=1时，f(x)=x4,其图象不关于原点对称： 当m=2时，f(x)=x3,其图象关于原点对称； 综上，m的值是0或2 故选：B 题组B能力提升练 第9页 5、若幂函数f(x)过点(4,2)，则满足不等式f(2-a>f(a-1的实数a的取值范围是 【答案】 2 【详解】设幂函数y=f四=，其图像过点42，则4P=2,解得α=)了 六fx)=x2=√，函数定义域为0，+0)，在0，+∞)上单调递增， 不等式f2-a)>f(a-刂等价于2-a>a-1≥0，解得1≤a< 2 则实数a的取值范围是 故答案为： 6、已知幂函数y=x号，(p,9∈Z的图象如图所示，则() A.p,9均为奇数，且号>0 B.q为偶数，p为奇数，且号<0 C.9为奇数，p为偶数，且号>0 D.9为奇数，p为偶数，且号<0 【答案】D 【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定P<0, 又因为p与q互质，所以9为奇数， 故选：D 第10页